江苏省徐州市邳州市运河中学2014-2015学年九年级上第一

2014-2015学年江苏省徐州市邳州市运河中学九年级（上）第一

次月考数学试卷

一、选择题：（本题共8个小题，每题3分，共24分）（把选择题答案填写在下面的表格中） 1．用配方法解一元二次方程x﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（ ）

2222

A． （x+2）=1 B． （x﹣2）=1 C． （x+2）=9 D． （x﹣2）=9

2．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ） A． 点A在圆外 B． 点A在圆上C． 点A在圆内 D． 不能确定

3．如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（ ）

2

A． a＞b＞c B． b＞c＞a C． c＞a＞b D． a=b=c

4．关于x的方程x﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A． ﹣1或5 B． 1 C． 5 D． ﹣1

5．已知反比例函数y=

，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax﹣2x+b=0

2

2

的根的情况是（ ）

A． 有两个正根 B． 有两个负根

C． 有一个正根一个负根 D． 没有实数根 6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A． x（x+1）=1035 B． x（x﹣1）=1035×2 C． x（x﹣1）=1035 D． 2x（x+1）=1035

7．设a，b是方程x+x﹣2015=0的两个实数根，则a+2a+b的值为（ ） A． 2012 B． 2013 C． 2014 D． 2015

8．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）

2

2

A． 点P B． 点Q C． 点R D． 点M

二、填空题：（本题共11个小题，每题3分，共33分）（把填空题答案填下面相应的横线上） 9．方程

是一元二次方程，则m= ．

10．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 度．

11．已知弧AB、CD是同圆的两段弧，且弧AB为弧CD的2倍，则弦AB与CD之间的关系为：AB 2CD（填“＞”“﹦”或“＜”）

12．如果方程ax+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是 ．

13．若一元二次方程x﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= ．

14．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 ．

15．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=

2

2

2

2

．例如4﹡2，因为4＞2，

所以4﹡2=4﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= ．

16．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为 米．

17．根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A（3，0）、B（0，﹣4）、C（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．

18．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm，则该半圆的半径为 cm．

2

19．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E从A点出发沿着A→B方向运动，连接EF、CE，则EF+CE最小值是 ．

三、解答题：（本题共8个小题，共计63分） 20．选用适当的方法解下列方程：

（1）x﹣6x=7

2

（2）2x﹣6x﹣1=0 （3）3x（x+2）=5（x+2）

21．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．

2

22．已知关于x的方程x﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0

（1）判断方程根的情况；

（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根． 23．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？

2

24．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4，求EC的长．

25．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E．求AB、AD的长．

26．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1050元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

27．在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

（3）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积；若不存在，说明理由．

2014-2015学年江苏省徐州市邳州市运河中学九年级

（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本题共8个小题，每题3分，共24分）（把选择题答案填写在下面的表格中） 1．用配方法解一元二次方程x﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（ ）

2222

A． （x+2）=1 B． （x﹣2）=1 C． （x+2）=9 D． （x﹣2）=9

考点： 解一元二次方程-配方法．

分析： 先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．

解答： 解：移项得：x﹣4x=5，

222

配方得：x﹣4x+2=5+2，

2

（x﹣2）=9， 故选D．

点评： 本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方．

2．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ） A． 点A在圆外 B． 点A在圆上 C． 点A在圆内 D． 不能确定

考点： 点与圆的位置关系．

分析： 要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可． 解答： 解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm， ∴d＜r，

∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内， 故选：C．

点评： 此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

3．如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（ ）

2

2

A． a＞b＞c B． b＞c＞a C． c＞a＞b D． a=b=c

考点： 矩形的性质；垂径定理．

专题： 压轴题．

分析： 本题主要根据矩形的性质以及垂径定理进行做题．

解答： 解：连接OM、OD、OA、根据矩形的对角线相等，得BC=OA，EF=OD，NH=OM．再根据同圆的半径相等，得a=b=c． 故选D．

点评： 此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即可证明．

4．关于x的方程x﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A． ﹣1或5 B． 1 C． 5 D． ﹣1

考点： 根与系数的关系；根的判别式． 专题： 计算题．

分析： 设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1?x2=2a，由于x1+x2=5，

22

变形得到（x1+x2）﹣2x1?x2=5，则a﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求． 解答： 解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1?x2=2a，

22

∵x1+x2=5，

2

∴（x1+x2）﹣2x1?x2=5， 2

∴a﹣4a﹣5=0， ∴a1=5，a2=﹣1，

2

∵△=a﹣8a≥0， ∴a=﹣1． 故选：D．

点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．

5．已知反比例函数y=

，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax﹣2x+b=0

2

2

2

2

2

的根的情况是（ ）

A． 有两个正根 B． 有两个负根

C． 有一个正根一个负根 D． 没有实数根

考点： 根与系数的关系；根的判别式；反比例函数的图象． 专题： 压轴题．

分析： 本题是对反比例函数的图象性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系的综合考查，可以根据反比例函数的图象性质判断出ab的符号，从而得出解的个数，然后利用根与系数的关系求出两个根的符号关系． 解答： 解：因为反比例函数y=所以ab＜0，

所以△=4﹣4ab＞0， 所以方程有两个实数根， 再根据x1x2=＜0，

故方程有一个正根和一个负根． 故选C．

点评： 本题重点考查了反比例函数的性质及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目． 6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）

A． x（x+1）=1035 B． x（x﹣1）=1035×2 C． x（x﹣1）=1035 D． 2x（x+1）=1035

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 其他问题．

分析： 如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程． 解答： 解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x﹣1）张； 又∵是互送照片，

∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035． 故选C．

点评： 本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．

7．设a，b是方程x+x﹣2015=0的两个实数根，则a+2a+b的值为（ ） A． 2012 B． 2013 C． 2014 D． 2015

考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 专题： 计算题．

分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到a+a﹣2015=0，即a+a=2015，则a+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 解答： 解：∵a是方程x+x﹣2015=0的根， 22

∴a+a﹣2015=0，即a+a=2015， 2

∴a+2a+b=a+b+2015，

2

∵a，b是方程x+x﹣2015=0的两个实数根 ∴a+b=﹣1，

∴a+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．

2

2

2

2

2

2

2

，当x＞0时，y随x的增大而增大，

故选C．

点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=

，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．

2

8．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）

A． 点P B． 点Q C． 点R D． 点M

考点： 垂径定理．

分析： 作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为Q点． 解答： 解：连结BC，

作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点． 故选B．

点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

二、填空题：（本题共11个小题，每题3分，共33分）（把填空题答案填下面相应的横线上） 9．方程

是一元二次方程，则m= ﹣2 ．

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得m的取值范围．

解答： 解：∵关于x的方程是一元二次方，

∴，

解得：m=﹣2． 故答案为：﹣2．

点评： 本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题，注意掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．

10．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 90 度．

考点： 圆心角、弧、弦的关系．

分析： 运用同圆或等圆中圆心角、弧和所对弦的关系则可解． 解答： 解：∵一条弦把圆分成1：3两部分， ∴整个圆分为四等分，

则劣弧的度数为360°÷4=90°， ∴弦所对的圆心角为90°．

点评： 本题考查了同圆或等圆中圆中圆心角、弧和所对弦的关系．

11．已知弧AB、CD是同圆的两段弧，且弧AB为弧CD的2倍，则弦AB与CD之间的关系为：AB ＜ 2CD（填“＞”“﹦”或“＜”）

考点： 圆心角、弧、弦的关系．

分析： 先画图，再根据弧、弦、圆心角的关系得出∠AOB=2∠COD，取

的中点E，连接AE、

BE，根据三角形的三边关系定理可得出AB＜AE+BE，从而得出AB＜2CD． 解答： 解：取∴∵

==2

， ，

的中点E，连接AE、BE，

∴∠AOB=2∠COD， ∴

=

=

，

∵AE+BE＞AB， ∴2CD＞AB， ∴AB＜2CD， 故答案为＜．

点评： 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，弧相等所对的圆心角相等，弦相等，还考查了三角形的三边关系定理．

12．如果方程ax+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是 a＜1且a≠0 ．

考点： 根的判别式．

分析： 在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零；

（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b﹣4ac＞0． 解答： 解：根据题意列出不等式组

，

2

2

解之得a＜1且a≠0． 故答案为：a＜1且a≠0．

点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

13．若一元二次方程x﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= 5 ．

考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 专题： 判别式法．

分析： 欲求a+b的值，先把x=3代入一元二次方程x﹣（a+2）x+2a=0，求出a，再由根与系数的关系，求得b，代入数值计算即可．

解答： 解：把x=3代入一元二次方程x﹣（a+2）x+2a=0， 解得：a=3，

由根与系数的关系得3+b=﹣

=5，

2

2

2

解得：b=2， ∴a+b=3+2=5． 故答案为：5．

点评： 此题主要考查了根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．

14．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 10或8 ．

考点： 三角形的外接圆与外心；勾股定理． 专题： 探究型．

分析： 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①16为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．

解答： 解：由勾股定理可知：

①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8； ②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长=

=20，

因此这个三角形的外接圆半径为10．

综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10． 故答案为：10或8．

点评： 本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．

15．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=

2

2

．例如4﹡2，因为4＞2，

所以4﹡2=4﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= 3或﹣3 ．

考点： 解一元二次方程-因式分解法． 专题： 压轴题；新定义．

分析： 首先解方程x﹣5x+6=0，再根据a﹡b=

解答： 解：∵x1，x2是一元二次方程x﹣5x+6=0的两个根， ∴（x﹣3）（x﹣2）=0， 解得：x=3或2，

①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=3﹣3×2=3；

2

②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣3=﹣3． 故答案为：3或﹣3．

点评： 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．

16．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为 0.4 米．

2

2

2

，求出x1﹡x2的值即可．

考点： 垂径定理的应用；勾股定理． 专题： 应用题．

分析： 利用垂径定理，以及勾股定理即可求解．

解答： 解：作出弧AB的中点D，连接OD，交AB于点C．

则OD⊥AB．AC=AB=0.8m． 在直角△OAC中，OC=

=

=0.6m．

则水深CD=OD﹣OC=1﹣0.6=0.4m．

点评： 此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．

17．根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A（3，0）、B（0，﹣4）、C（2，﹣3） 能 确定一个圆（填“能”或“不能”）．

考点： 确定圆的条件． 专题： 计算题．

分析： 先设出过A，B两点函数的解析式，把A（3，0）、B（0，﹣4）代入即可求出其解析式，再把C（2，﹣3）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可． 解答： 解：设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b， 由A（3，0）、B（0，﹣4）， 得

，

解得．

∴经过A，B两点的直线解析式为y=x﹣4； 当x=2时y=x﹣4=﹣≠﹣3，

所以点C（2，﹣3）不在直线AB上， 即A，B，C三点不在同一直线上， 因为“两点确定一条直线”，

所以A，B，C三点可以确定一个圆． 故答案为能．

点评： 本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，及三点能确定圆的条件．

18．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm，则该半圆的半径为 cm．

2

考点： 勾股定理；正方形的性质；圆的认识．

分析： 已知小正方形的面积即可求得边长，在直角△ACE中，利用勾股定理即可求解． 解答： 解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，

∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧， ∴AE=BC=x，CE=2x； ∵小正方形的面积为16cm， ∴小正方形的边长EF=DF=4，

由勾股定理得，R=AE+CE=AF+DF，

2222

即x+4x=（x+4）+4， 解得，x=4， ∴R=4cm， 故答案为：4

点评： 本题考查了勾股定理的运用和正方形的性质，解题的关键是正确的做出辅助线构造直角三角形．

19．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E从A点出发沿着A→B方向运动，连接EF、CE，则EF+CE最小值是 ．

2

2

2

2

2

2

考点： 轴对称-最短路线问题；圆周角定理．

分析： 作C关于AB的对称点D，连接AD，作F关于AB的对称点Z，连接BZ，CZ，CZ交AB于E，连接EF，过C作CH⊥ZB，交ZB的延长线于H，求出BH，CH，在Rt△CZH中，根据勾股定理求出CZ，即可得出CE+EF的最小值．

解答： 如图作C关于AB的对称点D，连接AD，作F关于AB的对称点Z，连接BZ，CZ，CZ交AB于E，连接EF，

则此时CE+EF的值最小，过C作CH⊥ZB，交ZB的延长线于H，则Z在BD上，BF=BZ，EF=EZ 即CE+EF=CE+EZ=CZ， ∵F和Z关于AB对称，

∴∠FBE=∠ZBE=60°，

∴∠CBH=180°﹣60°﹣60°=60°，

∵在Rt△CHB中，BC=2，∠BCH=90°﹣60°=30°， ∴BH=BC=1，由勾股定理得：CH=在Rt△CZH中，由勾股定理得：CZ=故答案为：

．

，

=

．

点评： 本题考查了平面展开﹣最短路线问题，轴对称性质，含30度角的直角三角形，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．

三、解答题：（本题共8个小题，共计63分） 20．选用适当的方法解下列方程：

（1）x﹣6x=7

2

（2）2x﹣6x﹣1=0 （3）3x（x+2）=5（x+2）

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法． 专题： 计算题．

分析： （1）方程变形后，利用因式分解法求出解即可；

（2）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 解答： 解：（1）方程变形得：x﹣6x﹣7=0， 分解因式得：（x﹣7）（x+1）=0， 解得：x1=7，x2=﹣1；

（2）这里a=2，b=﹣6，c=﹣1， ∵△=36+8=44， ∴x=

=

；

2

2

（3）方程变形得：（3x﹣5）（x+2）=0， 解得：x1=，x2=﹣2．

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

21．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．

考点： 确定圆的条件． 专题： 证明题．

分析： 求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以． 解答： 证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF． ∵BD，CE是△ABC的高，

∴△BCD和△BCE都是直角三角形．

∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线， ∴DF=EF=BF=CF．

∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．

点评： 求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等．

22．已知关于x的方程x﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0

（1）判断方程根的情况；

（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．

考点： 根的判别式．

分析： （1）根据△=b﹣4ac是大于零还是等于零还是小于零的情况来判断方程根的情况；

22

（2）根据方程有两个相等的实数根的情况直接说明b﹣4ac=0得出（2k﹣3）=0，解出k的值，再把k的值代入原式求出方程的根．

解答： ，解：①∵△=（2k+1）﹣4×1×4（k﹣）=4k+4k+1﹣16k+8=4k﹣12k+9=（2k﹣3）≥0，

∴该方程有两个实根；

②若方程有两个相等的实数根，则△=b﹣4ac=0，

2

∴（2k﹣3）=0， 解得：k=，

∴k=时，方程有两个相等的实数根；

2

2

2

2

2

22

把k=时代入原式得： x﹣（2×+1）x+4（﹣）=0

x﹣4x+4=0， 解得：x=2；

∴方程两根均为2．

点评： 本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根． 23．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？

考点： 一元二次方程的应用． 专题： 增长率问题．

分析： （1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）

222

=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；

（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可． 解答： 解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得， 10000×（1+x）=12100，

解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）； 答：捐款增长率为10%．

（2）12100×（1+10%）=13310元．

答：第四天该单位能收到13310元捐款．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第三天收到捐款钱数．

24．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4

22

，求EC的长．

考点： 相交弦定理． 专题： 计算题．

分析： 设EC=x，则ED=CD﹣CE=4元二次方程即可．

﹣x，根据相交弦定理x（4﹣x）=5?1，然后解一

解答： 解：设EC=x，则ED=CD﹣CE=4﹣x， 根据题意得AE?BE=CE?DE， 所以x（4﹣x）=5?1，

2

整理得x﹣4x+5=0， 解得x=2±，

即EC的乘为2+或2﹣．

点评： 本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

25．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E．求AB、AD的长．

考点： 切割线定理；勾股定理．

分析： Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；

延长BC交⊙C于点F，根据割线定理，得BE?BF=BD?BA，由此可求出BD的长，进而可求得AD的长．

解答： 解：法1：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4； 根据勾股定理，得AB=5． 延长BC交⊙C于点F，则有： EC=CF=AC=3（⊙C的半径）， BE=BC﹣EC=1，BF=BC+CF=7； 由割线定理得，BE?BF=BD?BA， 于是BD=所以AD=AB﹣BD=

； ；

法2：过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，

由垂径定理可得M为AD的中点，

∵S△ABC=AC?BC=AB?CM，且AC=3，BC=4，AB=5，

∴CM=，

2

2

2

2

在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC=AM+CM，即9=AM+（解得：AM=， ∴AD=2AM=

．

），

2

点评： 此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用．

26．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1050元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

考点： 一元二次方程的应用． 专题： 销售问题．

分析： 根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．

解答： 解：由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣（200+50x）]=1050，

整理得：x﹣2x﹣3=0， 解得：x1=3，x2=﹣1（舍去）， ∴10﹣3=7．

答：第二周的销售价格为7元．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．

27．在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

（3）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积；若不存在，说明理由．

2

考点： 一元二次方程的应用． 专题： 几何动点问题．

分析： （1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，用x表示出△PCQ的边长，根据面积是8可列方程求解．

（2）假设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有解；

（3）得到有关运动时间的二次函数，求二次函数的最大值即可． 解答： 解：（1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，由题意得： （6﹣x）?2x=8，

x=2或x=4，

当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米；

（2）不存在．

理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得： （6﹣y）?2y=××6×8

y﹣6y+12=0．

△=36﹣4×12＜0． 方程无解，所以不存在

（3）设运动时间为z秒时，△PQC的面积为s，则 s=（6﹣z）?2z=﹣z+6z=﹣（z﹣3）+9，

故当运动时间为3秒时，最大面积为9．

点评： 本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．

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