角的概念推广的导学案1

导学案—角的概念的推广

一、导语

函数来自现实生活，是描述现实世界变化规律的重要数学模型。三角函数的内容一直是高考的重要内容，频频在各省高考试题中出现，难度虽有降低，却是经久不衰的高考考查内容。

二、三维目标

1．通过实例的展示，理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、

零角、象限角、终边相同角的概念及表示，树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广之后的角的概念。

2．认识集合S中k、α的准确含义，明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍，形成科学的世界观、人生观、价值观。

3．通过类比正、负数的规定，认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用，为今后的学习与发展打下良好的基础。 三、本节重点：将0°—360°范围的角推广到任意角，终边相同的角的集合。

本节难点：用集合来表示终边相同的角。

四、思考讨论(一)

1.初中所学角的概念

2.你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角? 3.体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?

4.请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度?

归纳（一）

1. 知识点：角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。设一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，则形成了一个角α,点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边。

规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角，为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”。 如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,那么α=0°. 2. 顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°. 3. 顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°. 4. -180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 080°…… 思考讨论(二)

1. 能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°. 2. 如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思? 0°角又是什么意思?

知识点：为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。

归纳（二） 1. 能.

2. 使角的顶点与坐标原点重合,，的始边与x轴的非负半轴重合。角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。这样: 210°角是第三象限角; -45°角是第四象限角; -150°角是第三象限角. 特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.

引申: 1.锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何? 2.将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角,就有唯一一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一?如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系?

思考讨论(三)

1.在直角坐标系中标出210°，-150°的角的终边，你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?

2.所有与α终边相同的角，连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?

归纳（三） 1. 210°与-150°角的终边相同；328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍. 设S={β｜β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素，-32°角也是S的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.

2. 所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S={β｜β=k·360°+α,k∈Z}.

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和。 适时引导学生认识:① k∈Z ; ②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍. 五、跟踪练习 1.把 A． C．

化成

B． D．

的终边互相垂直，则 与

的形式是（ ）

2．在直角坐标系中，若 与 A． C．

的关系为（ ）

B．

D．

3．角 终边落在第二、四象限的角的平分线上，则角 的集合是________。 4.在0°—360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角。

5.分别写出终边在x轴、y轴、坐标轴上的角的集合.

6.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元

素β写出来。

7.写出在下列象限的角的集合: ①第一象限; ②第二象限; ③第三象限; ④第四象限.

六、反馈检测

1.若角α与β终边相同，则一定有( )

A.α+β=180° B.α+β=0° C.α-β=k·360° (k∈Z) D.α+β=k·360° (k∈Z) 2.集合A={α｜α=k·90°-36°,k∈Z}，B={β｜-180°<β<180°}，则A∩B等于( ) A.{-36°,54°} B.{-126°,144°} C.{-126°,-36°,54°,144°} D.{-126°,54°} 3.在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是( ) A. β=α+90° B. β=α±90° C. β=α+90°+k·360°(k∈Z) D. β=α±90°+k·360°(k∈Z) 4.集合Z={x｜x=(2n+1)·180°,n∈Z},Y={x｜x=(4k±1)·180°,k∈Z}之间的关系是( )

A.ZY B.ZY

C.Z=Y D.Z与Y之间的关系不确定 5．若 是第三象限的角，则

是（ ）

A．第一、二、三象限角 B．第一、二、四象限角 C．第一、三、四象限角 D．第二、三、四象限角

6.已知角θ的终边与168°角的终边相同,则在(0°,360°)范围内终边与同的角是_______.

7．设集合：

,

则A、B、C的关系是_________。

，

?角的终边相3 ，

8．角

9．角

，

，

的终边关于原点对称，则

的终边关于

轴对称，则

， 满足关系__________________。

， 满足关系________________________。

10.若集合A={α｜k·180°+30°<α

B={β｜k·360°+315°<β

11.写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.

12．当12点过15分的时候，时钟长短针的夹角是多少度？ 13．已知

，

角的7倍角的终边和

角的终边重合，试求这个角

。

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