直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率

课前热身

1.下列说法中正确的是( )

A.一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角.

B.直线的倾斜角α的取值范围是第一或第二象限角. C.和x轴平行的直线，它的倾斜角为180°.

D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率. 2.下列多组点中，三点共线的是( ) A.(1，4)，(-1，2)，(3，5) C.(1,0),(0,-13B.(-2,-5),(7,6),(-5,3) D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)

),(7，2)

3.已知直线l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是( )

4.设点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )

A.k≥

34或k≤-4

34

B.k≥D.-

3434或k≤-

14

C.-4≤k≤

知识要点

≤k≤4

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.

当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

斜率公式:

3.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

经典例题透析

类型一：倾斜角与斜率的关系

1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；

类型二：斜率定义

2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平

分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率. 思路点拨：

本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.

举一反三： 【变式1】 如图，直线 A．

的斜率分别为

，则( )

B． C． D．

类型三：斜率公式的应用

，

直线的斜率并判断倾斜角

3．求经过点

为锐角还是钝角． 思路点拨：

已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可.

举一反三： 【变式1】 过两点

【变式2】

4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 思路点拨：

如果过点AB，BC的斜率相等，那么A，B，C三点共线.

举一反三：

为何值时，经过两点

(-，6)，

(1，

)的直线的斜率是12．

，

的直线的倾斜角为

，求的值．

【变式1】 已知

【变式2】 已知直线的斜率的值．

类型四：两直线平行与垂直

，，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？

，，，是这条直线上的三个点，求和

，

，

，

，

5．四边形的顶点为的形状．

试判断四边形 思路点拨：

证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.

举一反三： 【变式1】 已知四边形

为矩形．

的顶点为

，

，

，

，求证：四边形

【变式2】 已知

【变式3】

（2011浙江12）若直线=__________． ．

课堂检测：

1、下列说法正确的有（ ）(注：两直线可以重合) ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l1∥l2，则k1=k2；

③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2、直线l1、l2的斜率是方程x－3x－1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（ ） A、平行 B、重合 C、相交但不垂直 D、垂直

3、给定三点A（1，0）、B（－1，0）、C（1，2），则过A点且与直线BC垂直的直线经过点（ ）

A、（0，1） B、（0，0） C、（－1，0） D、（0，－1）

4、已知直线x+my+6=0和(m－2)x+3y+2 m =0互相平行，则实数m的取值为（ ）

2

，，三点，求点，使直线，且．

与直线互相垂直，则实数

A．—1或3 B．—1 C．—3 D．1或—3

5、如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（ ） A． 2 B．－2 C．2,－2 D．2,0,－2 6、两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是 A.A1A2+B1B2=0 B.A1A2－B1B2=0 7、求过下列两点的直线l的斜率k: (1)A(a,b)、B(ma,mb)(m≠1,a≠0); (2)P(2,1)、Q(m,2).

C.

A1A2B1B2=－1 D.

B1B2A1A2=－1

8、已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD。

9、已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线l1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线l2互相垂直，求实数a的值。

作业：

1、两条直线mx+y－n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（ ） A m=1 B m=±1

C ??m?1?n??1 D ??m?1?m??1 或?n??1n?1??2、下列三点能构成三角形的三个顶点的为( )

A.(1，3)，(5，7)，(10，12) B.(-1，4)，(2，1)，(-2，5) C.(0，2)，(2，5)，(3，7) D.(1，-1)，(3，3)，(5，7)

3、顺次连结A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点所组成的图形是( ) A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对 4、直线x=1的倾斜角和斜率分别是( )

A.45°,1 B.135°,-1 C.90°,不存在 D.180°,不存在

5.若图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则有( )

A.k1

A.2 B.3 C.9 D.-9

7.如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C＝0，不通过( )

A.第一象限 C.第三象限

8、已知直线l1: x+(1+m)y+m－2=0 , l2: 2mx+4y+16=0 当且仅当m为何值时直线l1与l2分别有下列关系？ (1) l1⊥l2

(2). l1∥l2

B.第二象限 D.第四象限

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3da6.html