偏微分方程理论学习-中国科学技术大学

偏微分方程理论学习

一． 偏微分方程发展简介

1. 常微分方程

十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了性的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。 2. 偏微分方程

偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。

J.达朗贝尔（D’Alembert）（1717-1783）、L.欧拉（Euler）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli)（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange)（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace)（1749-1827）、S.泊松(Poisson)（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier)（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。

十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程

?2T?2T?2T2?T， ???k222?x?y?z?x其中k是一个参数，其值依赖于物体的质料。傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度0度、表面绝热且无热流通过的柱轴。在此情形下求解上述热传导方程，因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是求解偏微分方程

??2T2?T?k，??x2?x??T(0,t)?0,T(l,t)?0,t?0, ?T(x,0)?f(x),0?x?l,??其中后面两项分别是边界条件和初始条件。傅里叶为解这个方程用了分离变量法，他得到满足方程和边界条件的级数解为

T(x,t)??bnen?1??(n2?2/k2l2)tsinn?x. l为了满足初始条件，必须有

f(x)??bnsinn?1?n?x. l这就促使傅里叶不得不考虑任给一个函数，能否将它表示成三角级数的问题。傅里叶得出的结论是：每个函数都可以表示成

f(x)??bnsinnx,0?x??.

n?1?这样，每个bn可由上式乘以sinnx(n?1,2,...)，再从0到?积分而得到。他还指出这个程序可以应用于表达式 a0?f(x)???ancosnx,0?x??. 2n?1接着，他考虑了任何函数f(x)在区间(??,?)的表达式，利用对称区间上的任何函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和这一事实，傅里叶可以将区间

(??,?)上的任何函数f(x)表示为

其系数由

?a0f(x)???(ancosnx?bnsinnx), 2n?1 an?1???f(x)cosnxdx, ??bn?f(x)sinnxdx,n?1 ????1?确定，这就是我们通常所称的傅里叶级数。

为了处理无穷区域上的热传导问题，傅里叶同时还导出了现在所谓的“傅里叶积分”： f(x)?du?f(t)cosu(x?t)dt. ??0??1?? 需要指出的是，傅里叶从没有对“任意”函数可以展成傅里叶级数这一断言给出过任何完全的证明，它也没有说出一个函数可以展开为三角级数必须满足的条件。然而傅里叶本人对此充满信心，因为他的信念有几何上的根据。傅里叶的工作不仅发展了偏微分方程的理论，而且使函数概念得以改进，同时也标志着人们从解析函数或可展成泰勒级数的函数中解放出来。傅里叶的前辈都曾坚持一个函数必须是可用单个式子表示的，而傅里叶级数却可以表示那些在区间(0,?)或

(??,?)的不同部分有不同解析式的函数，不论这些表示式相互是否连续地接合

着。特别是，一个傅里叶级数是在一整段区间上表示一个函数的，而一个泰勒级数仅在函数的解析点附近表示该函数。 事实上，傅里叶的主要思想早在1807年他提交巴黎科学院的一篇关于热传

导的论文中就出现了，但是这篇论文在拉格朗日等人评审后遭到拒绝。1811年，他又提交了经过修改的论文，以争取科学院为热传导问题所设立的高额奖金。这次他虽然获了奖，但仍因受到缺乏严格性的批评而未能将论文发表在当时科学院的《报告》里。1824年，傅里叶成为科学院的秘书，这回他终于能够把他1811年的论文原封不动地发表在《报告》里，而这已经是在他的名著《热的解析理论》出版两年以后的事情了。

十九世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G.. Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家。位势方程也称拉普拉斯方程：

?2V?2V?2V ?V?2?2?2?0. ?x?y?z拉普拉斯曾采用球面调和函数法解这个方程，不过他得到一个错误的结论，认为

这个方程当被吸引的点(x,y,z)位于物体内部时也成立。这个错误由泊松加以更正。泊松指出，如果点(x,y,z)在吸引体内部，则满足方程?V??4??，其中?是吸引体密度，它也是x,y,z的一个函数。拉普拉斯和泊松的方法都只适用于特殊的几何体，格林则认识到函数V的重要性，并赋予它“位势”(potential)的名称，与前人不同的是，格林发展了函数V的一般理论。他求解位势方程的方法与用特殊函数的级数方法相反，称为奇异点方法。他在1828年私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中，建立了许多推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中以格林公式

?V?U ???(U?V?V?U)dv???(U?V)d?

?n?n（n为物体表面指向外部的法向，dv是体积元，d?是面积元）和作为一种带奇异性的特殊位势的格林函数概念影响最为深远。 格林是剑桥数学物理学派的开山祖师，他的工作培育了汤姆逊(W.Thomson)、斯托克斯(G.Stokes)、麦克斯韦(J.C.Maxwell)等强有力的后继者，他们是十九世纪典型的数学物理学家。他们的主要目标，是发展求解重要物理问题的一般数学方法，而他们手中的主要武器就是偏微分方程，以至于在十九世纪，偏微分方程几乎变成了数学物理的同义词。

剑桥数学物理学派的贡献使经历了一个多世纪沉寂后英国数学在十九世纪得以复兴，麦克斯韦1864年导出的电磁场方程

1?(?E) rotH?,

c?t1?(?H), rotE??c?t div(?E)??, div(?H)?0

是十九世纪数学物理最壮观的胜利，正是根据对这组方程的研究，麦克斯韦预言了电磁波的存在，不仅给科学和技术带来巨大的冲击，同时也是偏微分方程威名大振。爱因斯坦在一次纪念麦克斯韦的演讲中说：“偏微分方程进入理论物理学

时是婢女，但逐渐变成了主妇，”他认为这是从十九世纪开始的，而剑桥数学物理学派尤其是麦克斯韦在这一转变中起了重要的作用。 除了麦克斯韦方程，十九世纪导出的著名偏微分方程组还有粘性流体运动的纳维(C.L.M.H. Navier)-斯托克斯和弹性介质的柯西方程等。所有这些方程都不存在普遍解法。不过，十九世纪的数学家们已经逐渐认识到在偏微分方程的情形，无论是单个方程还是方程组，通解实际上不如初始条件和边界条件已给出的特殊问题的解有用。因此他们在求解定结问题方面作了大量工作。

对18、19世纪建立起来类型众多的微分方程，数学家们求显式解的努力往往归于失败，这种情况促使他们转而证明解的存在性。最先考虑微分方程解的存在性问题的数学家是柯西。他指出：在求显式解无效的场合常常可以证明解的存在性。他在19世纪20年代对形如y'?f(x,y)的常微分方程给出了第一个存在性定理，这方面的工作被德国数学家李普希茨(R. Lipschitz)、法国数学家刘维尔(J.Liouville)和皮卡(C.E. Picard)等追随。柯西也是讨论偏微分方程解的存在性的第一人，他在1848年的一系列论文中论述了如何将任意阶数大于1的偏微分方程化为偏微分方程组，然后讨论了偏微分方程组解的存在性并提出了证明存在性的强函数方法。柯西的工作后来被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅(C.B. Ковалевская)独立地发展为包括拟线性方程和高阶组在内非常一般的形式。有关偏微分方程解的存在唯一性定理在现代文献中就称为“柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理”。

柯瓦列夫斯卡娅是历史上为数不多的杰出女数学家之一。她出生于莫斯科一个贵族家庭，17岁时就在彼得堡一位海军学校教师指导下掌握了微积分。然而当时俄国的大学拒收女生，为了求学深造，他只好出走德国，先在海德堡大学学习一年，后来慕名到柏林求见威尔斯特拉斯。初次见面，威尔斯特拉斯出了一堆难题考她，估计她多半做不出来，但一周以后，当柯瓦列夫斯卡娅如期带着完满的答卷回来见他时，这位名重一时的数学家对她的数学才能不再怀疑。当时的柏林大学跟俄国的大学一样不收女生，威尔斯特拉斯决定为柯瓦列夫斯卡娅单独授课，每星期日下午一次，四年不曾中断。在这四年时间里，柯瓦列夫斯卡娅不仅学完了大学的全部数学课程，而且还写出了三篇重要论文，其中一篇就是前面提到的关于偏微分方程解存在性的研究。这些工作是那么出色，以至于哥廷根大学在没有经过考试和答辩的情况下破格授予她博士学位，使她成为历史上第一位女数学博士。

由于18世纪的大量开发，常微分方程的求解在19世纪反而局限于用分离变量法解偏微分方程时所得到的那些方程，并且多半使用级数解，这引导出一串特殊函数，如贝塞尔(Bessel)函数、高斯(Gauss)超几何函数等等。在十九世纪后半叶，对常微分方程研究的理论方面变得突出，并且在常微分方程解析理论和定性理论两个大的方向上开拓了常微分研究的新局面，其中重大发展都与庞加莱(H. Poincare)的名字联系着。

庞加莱从27岁起任巴黎大学教授，直到他去世。他是欧拉、柯西之后最多产的数学家，并且在研究领域的广泛方面很少有人能与他相比。每年他在巴黎大学讲授一门不同的科目，而在每一门科目中，他都留着他自己的创造印记。 庞加莱、克莱因和希尔伯特，是在19和20世纪数学交界线上高耸着的三个巨大身影。他们放射着19世纪数学的光辉，同时照耀着通往20世纪数学的道路。在19世纪末，数学发展呈现出一派生机勃勃的景象，这与18世纪形成了鲜明的

对比。无论从内部需要还是外部应用看，数学家们似乎都有做不完的问题。1900年8月5日，庞加莱宣布巴黎国际数学家大会开幕，正是在这次会议期间，希尔伯特充满信心地走上讲台，以他著名的23个问题揭开了20世纪数学的序幕。

当研究在解决物理问题的过程中出现的具体微分方程时，往往会产生一些极具普遍性、起初并没有严格的数学根据而应用于范围广泛物理问题的方法。例如，傅里叶方法、里茨（Ritz）方法、伽辽金（Галёркин）方法、摄动理论方法等就是这一类方法。这些方法应用的有效性成为试图对它们进行严格论证的原因之一。这就导致新的数学理论、新的研究方向的建立（傅里叶积分理论、本证函数展开理论和广义函数论等等）。

二、偏微分方程理论的两个特点

1. 偏微分方程理论与应用、与物理问题的直接联系

偏微分方程理论产生于那些归结为考察某些具体偏微分方程的具体物理问题的研究，这些方程便得到数学物理方程的称谓。

数学在物理中应用的历史较长，18世纪是数学与经典力学相结合的黄金时期，19世纪数学应用的重点转移到电学与电磁学，并且由于剑桥学派的努力而形成了数学物理分支。进入20世纪以后，随着物理科学的发展，数学相继在应用于相对论、量子力学以及基本粒子理论等方面取得了一个又一个突破，极大地丰富了数学物理的内容，同时也反过来刺激了数学自身的进步。 在20世纪初狭义相对论和广义相对论的创立过程中，数学都建有奇功。1907年，德国数学家闵可夫斯基(Minkowski)提出了“闵可夫斯基空间”，即将时间与

1空间融合在一起的四维时空R3，。闵可夫斯基几何为爱因斯坦狭义相对论提供了

适合的数学模型。有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。1912年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，爱因斯坦为此花费了3年的时间，最后在数学家格罗斯曼(Grossmann)介绍下掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具-----以黎曼几何为基础的绝对微分学，亦即爱因斯坦后来所称的张量分析。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出了广义协变的引力场方程 R?????(T???1g??T), 2g??就是黎曼度量张量。爱因斯坦指出：“由于这组方程，广义相对论作为一种

逻辑结构终于大功告成！” 根据爱因斯坦的理论，时空整体是不均匀的，只是在微小的区域内可以近似地看作均匀。在数学上，广义相对论的时空可以理解为一种黎曼空间，非均匀时空连续区可借助于现成的黎曼度量来描述。这样，广义相对的数学表述第一次揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最伟大的例子之一。 20世纪数学物理的另一项经典成果是量子力学数学基础的确立。20世纪初，普朗克(M. Planck)、爱因斯坦、玻尔(N. Bohr)等创立了量子力学，但是到1925年为止，还没有一种量子理论能以统一的结构来概括这一领域已经积累的知识，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3d8d.html