第3讲线面垂直与面面垂直（学生版）

第3讲 线面垂直与面面垂直

考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B级要求；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B级要求．

知识梳理

1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与一个平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)判定定理与性质定理

文字语言 一条直线与一个平判定定理 面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 两直线垂直于同一性质定理 个平面，那么这两条直线平行 2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 判定文字语言 一个平面经过另一个平面的一 图形表示 符号表示 图形表示 符号表示 ??a∩b＝O??l⊥α a?α??b?αl⊥ba⊥α???a∥b b⊥α?l⊥a 定理 条垂线，则这两个平面互相垂直 l⊥α???α⊥β l?β? 第 1 页 共 1 页

性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 诊断自测 α⊥βα∩β＝al⊥al?β???l⊥α ?1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )

2．给出下列命题：

①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；

②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β； ③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ； ④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. 其中错误的命题是________(填序号)．

3．(2016·浙江卷改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，给出下列结论： ①m∥l；②m∥n；③n⊥l；④m⊥n. 其中正确的是________(填序号)．

4．(2017·盐城模拟)设α，β，γ为互不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题： ①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；

②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；

③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直； ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β. 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

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5．(必修2P42习题16)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O， (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

考点一 线面垂直的判定与性质 【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，

∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE.

规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：

①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α)． (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 【训练1】(2017·泰州期末)如图所示，已知AB为圆O

的直

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1

径，点D为线段AB上一点，且AD＝3DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB. 求证：PA⊥CD.

考点二 面面垂直的判定与性质

【例2】(2015·山东卷)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

(1)求证：BD∥平面FGH；

(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.

规律方法 (1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．

(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 【训练2】如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，

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PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．

(1)求证：PB∥平面MNC；

(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.

考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究) 命题角度一 平行与垂直关系的证明

【例3－1】(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：

(1)直线DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

规律方法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．

(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用． 命题角度二 平行垂直中探索性问题

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【例3－2】如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点． (1)证明：AE∥平面BDF；

(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

规律方法 (1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．

(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点． 【训练3】(2017·南通调研)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB. (1)求证：AC⊥平面FBC； (2)求四面体FBCD的体积；

(3)线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

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[思想方法]

1．证明线面垂直的方法：

(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直?a⊥α； m，n?α，m∩n＝A?

??l⊥α； (2)判定定理1：

l⊥m，l⊥n?(3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；

(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β； 2．证明面面垂直的方法

(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β. 3．转化思想：垂直关系的转化

[易错防范]

1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件． 2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．

3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误． 4．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(2017·南京调研)对于直线l，m，平面α，m?α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．

2．(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，给出下列命题：

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①过点P垂直于平面α的直线平行于平面β； ②过点P垂直于直线l的直线在平面α内； ③过点P垂直于平面β的直线在平面α内；

④过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β. 其中假命题为________(填序号)．

3．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

4．在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．

5．(2017·苏北四市联考)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m?β.给出下列命题：

①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③m∥α?l⊥β；④l⊥β?m∥α. 其中正确的命题是________(填序号)．

6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．

7．(2017·徐州检测)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

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①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形； ③三棱锥D－ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC.

其中正确的是________(填序号)．

8．(2016·全国Ⅱ卷改编)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n； ③如果α∥β，m?α，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等． 其中正确的命题有________(填序号)．

二、解答题

9．(2017·苏州调研)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．

(1)求证：EF⊥平面BCG； (2)求三棱锥D－BCG的体积．

10．(2017·盐城模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD，

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E，F分别为棱AB，PC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PDE⊥平面PEC.

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面：

①若m⊥n，n∥α，则m⊥α； ②若m∥β，β⊥α，则m⊥α； ③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α； ④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.

上述命题中为真命题的是________(填序号)．

12．(2017·南京师大模拟)如图，在正方形ABCD中，E，

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F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，给出下列结论： ①O是△AEF的垂心；②O是△AEF的内心； ③O是△AEF的外心；④O是△AEF的重心． 其中结论正确的是________(填序号)．

13．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE； ④∠PDA＝45°.

其中正确的有________(填序号)．

14．(2016·四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD1＝2AD.

(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由．

(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.

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F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，给出下列结论： ①O是△AEF的垂心；②O是△AEF的内心； ③O是△AEF的外心；④O是△AEF的重心． 其中结论正确的是________(填序号)．

13．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE； ④∠PDA＝45°.

其中正确的有________(填序号)．

14．(2016·四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD1＝2AD.

(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由．

(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.

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