2013年全国高考数学理科试卷湖南卷(解析版)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数z i 1 i i为虚数单位 在复平面上对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】 B

【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B

2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是

A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法

【答案】 D

【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。 选D

3.在锐角中 ABC，角A,B所对的边长分别为a,b.

若2asinB ,则角A等于 A．

12

B．

6

C．

4

D．

3

【答案】 D

【解析】 由2asinB=选D

3b得: 2sinA sinB = 3 sinB sinA =

3 ，A A = 223

y 2x

4.若变量x,y满足约束条件 x y 1，则x 2y的最大值是

y 1

555A．- B．0 C． D．

232

【答案】 C

【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点(,)时，u 选C

12335

最大 3

5.函数f x 2lnx的图像与函数g x x2 4x 5的图像的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】 B

【解析】 二次函数g x x 4x 5的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为x=2，

2

g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2

选B

b 0.若向量c满足c a b 1,则c的取值范围是 6. 已知a,b是单位向量，a

A

． B

． C

． 1 D

． 1

【答案】 A

【解析】

a,b是单位向量， |a b| 2,|c-a b| |(a b)-c| 1.即一个模为2的向量与c向量之差

的模为1

，可以在单位圆中解得2-1 || 选A

2 1。

7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 ．．．A．1 B

C

【答案】 C

【解析】 由题知，正方体的棱长为1，

D

正视图的高为1，宽在区间[1,2]上，所以正视图的面积也在区间[1,2]上.而

。

选C

2-1

12

8.在等腰三角形ABC中，AB=AC 4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过 ABC的中心，则AP等 A．2 B．1

84C． D．

33

【答案】 D

【解析】 使用解析法。

244

设P(x,0),BC的中点D(2,2). ABC的重心O在中线的处， O(,).

333

4444(k 2)4(2k 1)

设直线RQ的斜率为k,则其方程为y k(x ) R(0,(1 k)),Q(,)

3333(k 1)3(k 1)

。

kRP

4(k 1)4(2k 1)

,kQP ,由题知k kRP 0,k kQP 1 (2k 1)(k 1) 034(k 2) 3x(k 1)

k k 1

，

x 0(舍） x

选D

1

2 43

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.

（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

x t, x 3cos ,l: (t为参数)过椭圆C:

9.在平面直角坐标系xoy中，若 y t a y 2sin

( 为参数)的右顶点，则常数a的值为3.

【答案】 3 【解析】

x2y2

直线l方程:y x a,椭圆方C 1的右顶点( 3,0) 3 0 a a 3

94

10.已知a,b,c ,a 2b 3c 6,则a2 4b2 9c2的最小值为12【答案】 12

【解析】 考察柯西不等式.

2

(12 12 12) (a2 (2b)2 (3c)2) （1 a 1 2b 1 3c） 36 a2 4b2 9c2 12

2

且当a 2,b 1,c 时，取最小值.

3

11.如图2

的 O中,弦AB,CD相交于点P,PA PB 2,

PD 1，则圆心O到弦CD的距离为【答案】 【解析】

3 2

由相交弦定理得AP PB DP PC PC 4,DC 5，圆心到CD的距离d r2 (

PC23) 22

（一） 必做题（12-16题） 12.若 x2dx 9,则常数T的值为 3 .

0T

【答案】 3

【解析】

T

x3

xdx

3

2

T

T3 9 T 3 3

13.执行如图3所示的程序框图，如果输入

a 1,b 2,则输出的a的值为.

【答案】 9

【解析】 a 1 2 2 2 2 9

x2y2

14．设F1,F2是双曲线C:2 2 1(a 0,b 0)的两个焦点，P是C上一点，若

ab

PF PF2 6a,且 PF1F2的最小内角为30 ，则C的离心率为___。

【答案】

3

【解析】 设P点在右支上，m |PF1|,n |PF2|,则

m n 6a

m 4a,n 2a

m n 2a

16a2 4c2 4a213ac3

由题知， PF1F2中， PF1F2 30 .由余弦定理得:cos30 ( )

2 8ac4ca2

e

c

3 a

15．设Sn为数列 an的前n项和，Sn ( 1)nan （1）a3 _____；

（2）S1 S2 S100 ___________。 【答案】

1

,n N,则 n2

3

m n 6a

m 4a,n 2a

m n 2a

【解析】 设P点在右支上，m |PF1|,n |PF2|,则

16．设函数f(x) a b c,其中c a 0,c b 0.

xxx

且a=b ，则（1）记集合M (a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，

(a,b,c) M所对应的f(x)的零点的取值集合为__(0，1]__。

【答案】 (0，1] 【解析】

acln2

由题知c a,c a b 2a，令f(x) 2ax cx cx[2()x 1] 0 ()x 2 x

calna

ccln2ln2ln2 2.又 ln ln2 0 0, x (0，1]。

ccaaln2lnlnaa

所以f(x)的零点集合为(0，1]

（2）若a,b,c是 ABC的三条边长，则下列结论正确的是 ①②③ .（写出所有

正确结论的序号） ① x ,1 ,f x 0;

② x R,使xax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长； ③若 ABC为钝角三角形，则 x 1,2 ,使f x 0.

【答案】 ①②③ 【解析】

ababababa b c

f(x) cx[()x ()x 1], 1, 1, x ( ,1),()x ()x 1 ()1 ()1 1 0

ccccccccc

1

所以①正确。

令x 1,a b 1,c 2,则ax 1,bx 1,cx 2不能构成三角形的三条边长.所以②正确。 若三角形为钝角三角形，则令a2 b2-c2 0;f(1) a b c 0,f(2) a2 b2-c2 0

x (1,2),使f(x) 0。所以③正确。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分） 已知函数f(x) sin(x

x

) cos(x ).g(x) 2sin2。 632

g( )的值； （I）若

是第一象限角，且f( )

（II）求使f(x) g(x)成立的x的取值集合。 【答案】 （I）【解析】 （I）

1 5

（II）[2k ,2k

2

],k Z 3

f(x)

311333

. sinx cosx cosx sinx 3sinx f( ) 3sin

22225

3 4 1

sin , (0,) cos ,且g( ) 2sin2 1 cos

52525

（II）f(x) g(x) 3sinx 1 cosx

31 1

sinx cosx sin(x ) 2262

x

6

[2k

6

,2k

5 2

] x [2k ,2k ],k Z.(完) 63

18．（本小题满分12分）

某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。

（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。

2

（Ⅱ）E(Y) 46 9

【解析】 (Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.

从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点，共8对格点恰好“相近”。

【答案】 （Ⅰ） p

所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率

P

82

12 39

（Ⅱ）三角形共有15个格点。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。

4

所以P(Y 51)

15

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0),

4

(1,3), (2,2),(3,1)。所以P(Y 48)

15

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0),

6

(2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。所以P(Y 45)

15

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1),

3

(1,2), (2,1)。所以P(Y 42)

15

如下表所示：

E(Y) 51

2463102 192 270 126690 48 45 42 46 151515151515

(完

)

E(Y) 46.

19．（本小题满分12分）如图5，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD//BC，

BAD 90 ,AC BD,BC 1,AD AA1 3.

（I）证明：AC B1D；

（II）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。

【答案】 （Ⅰ） 见下 （Ⅱ）【解析】 (Ⅰ)

21

7

ABCD A1B1C1D1是直棱柱 BB1 面ABCD,且BD 面ABCD BB1 AC 又 AC BD,且BD BB1 B, AC 面BDB1。 B1D 面BDB1， AC B1D. (证毕)

（Ⅱ）

B1C1//BC//AD, 直线B1C1与平面ACD1的夹角即直线AD与平面ACD1的夹角 。

建立直角坐标系，用向量解题。设原点在A点，AB为Y轴正半轴，AD为X轴正半轴。

设A 0,0，0 ,D(3,0,0),D1(3,0,3),B(0,y,0),C(1,y,0)，则 (1,y,0), (3, y,0),

AC BD 0 3 y2 0 0,y 0 y 3. AC (1,3,0),AD1 (3,0,3).

n AC 0

设平面ACD1的法向量为,则 .平面ACD1的一个法向量 （-313）,AD （3，0，3）

AD1 0

平面ACD1的一个法向量 （-313）, （3，0，0） sin |cos , |

3321

77 3

所以BD1与平面ACD1夹角的正弦值为

21

。(完) 7

20．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20),B( 10,0),C(14,0)处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。

（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；

（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。 【答案】 （Ⅰ）d= |x – 3| + |y – 20|，y 0,x R.

（Ⅱ）当点P(x,y)满足P(3,1)时, 其到三个居民区的“L路径”长度值和最小为45

【解析】 设点P(x,y),且y 0.

(Ⅰ) 点P到点A(3,20)的“L路径”的最短距离d,

等于水平距离 垂直距离，即d |x - 3| + |y - 20|，其中y 0,x R.

（Ⅱ）本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识。

点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v。且h和v互不影响。显然当y=1时，v = 20+1=21；显然当x [ 10,14]时，水平

距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24,且当x=3时，h=24.因此,当P(3,1)时，d=21+24=45. 所以，当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45. 21．（本小题满分13分） 过抛物线E:x 2py(p 0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同的直线l1,l2，且

2

k1 k2 2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N

（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l。

2

（I）若k1 0,k2 0，证明；FM FN 2P；

（II）若点M到直线l

的距离的最小值为

2

，求抛物线E的方程。 【答案】 （Ⅰ） 见下 （Ⅱ）x 16y 【解析】 (Ⅰ) F(0,

p

).设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),M(x12,y12),N(x34,y34)，

2p

直线l1方程：y k1x ,与抛物线E方程联立，化简整理得： x2 2pk1x p2 0

2

x xp22

x1 x2 2k1p,x1 x2 p2 0 x12 12 k1p,y12 k1p FM (k1p, k1p)

22

x xp22

同理, x34 12 k2p,y34 k2p FN (k2p, k2p).

22

FM FN k1k2p2 k1k2p2 p2k1k2(k1k2 1)

k1 0,k2 0,k1 k2,2 k1 k2 2k1k2 k1k2 1, FM FN p2k1k2(k1k2 1) p2 1 (1 1) 2p2

所以，FM FN 2p2成立. (证毕)

（Ⅱ）

22

1pp1p22

设圆M、N的半径分别为r1,r2 r1 [( y1) ( y2)] [p 2(k1p )] k1p p,

22222

r1 k1p p,同理2r1 k2p p,

22

设圆M、N的半径分别为r1,r2.则M、N的方程分别为(x x12)2 (y y12)2 r12， (x x34)2 (y y34)2 r2，直线l的方程为：

2(x34 x12)x 2(y34 y12)y x12 x34 y12 y34-r1 r2 0.

2p(k2 k1)x 2p(k2 k1)y (x12 x34)(x12 x34) (y12 y34)(y12 y34) (r2-r1)(r2 r1) 0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2p(k2 k1)x 2p(k2 k1)y 2p2(k1 k2) p2(k1 k2)(k1 k2 1) p2(k2 k1)(k1 k2 2) 0

x 2y p p(k1 k2 1) p(k1 k2 2) 0 x 2y 0

2

2

2

2

2222222222

112( )2 ( ) 1

x 2y122k k1 17p7点M(x12,y12)到直线l的距离d |12| p |1| p 5

555855

2

p 8 抛物线的方程为x2 16y .(完)

22．（本小题满分13分） 已知a 0，函数f(x)

x a

。

x 2a

（I）；记f(x)在区间 0,4 上的最大值为g(a),求g(a)的表达式；

（II）是否存在a，使函数y f(x)在区间 0,4 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

3a

1-,当a (0,1]时 1 4 2a

【答案】 （Ⅰ） g(a) （Ⅱ）(0,)

2 1,当a (1, )时

2

3a x a

1-,当x 2a,或x a时，是单调递增的。 x 2ax 2a

【解析】a 0,f(x)

x a -1 3a,当 2a x a时，是单调递减的。 x 2a x 2a

(Ⅰ)由上知，当a 4时，f(x)在x [0,4]上单调递减，其最大值为f(0) -1 当a 4时，f(x)在[0,a]上单调递减，在[a,4]上单调递增。

3a1

2a2

令f(4) 1-

3a1

f(0) ,解得：a (1,4],即当a (1,4]时，g(a)的最大值为f(0);

4 2a2

当a (0,1]时，g(a)的最大值为f(4) 3a 1-,当a (0,1]时 4 2a

综上，g(a)

1,当a (1, )时 2

（II）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点

P(x1,y1),Q(x2,y2)满足题目要求，则P,Q分别在两个图像上，且f'(x1) f'(x2) 1。 3a

(x 2a)2,当x 2a,或x a时

3af'(x) ,当 2a x a时 2

(x 2a)

0 a 4

不妨设

3a 3a

1,x1 (0,a),x2 (a,8] 3a (x1 2a)(x2 2a) 22

(x1 2a)(x2 2a)

2

3a 2ax 4a2

a3a 2ax2 4a2 0 2

0 x1x2 2a(x1 x2) 4a 3a x1 x2 2a

x2 2a a x 8

2

0 3 2x2 4a 2x2 3 4a 2 4a 3 4a

11

1 x2 2a 2 4a 2x2 2a 3 4a a ，且0 a 4 a (0,)

32 a x 8 2a 2x 16 2 4a 16

22

所以，当a (0,)时，函数y f(x)在区间 0,4 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直.(完)

12

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3d34.html