二次根式教案

浙江版数学八年级下教案——第一章《二次根式》

§1.1二次根式

教学目标：

1、经历二次根式概念的发生过程； 2、了解二次根式的概念；

3、理解二次根式何时有意义，无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围； 4、会求二次根式的值。

重点与难点：本节教学的重点是二次根式的概念。例1的第（2），（3）题学生不容易理解，是本节教学的难点。

教学设想：课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫二次根式，在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。因此在教学中我采用基本按照教材的主体设计意图，按教材的步骤进行教学，让学生在自主学习的基础上，发现教材中的学习重点，概括学习所得，提升学生的学习能力。 教学过程：

一、引入（合作学习）：

根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：

直角三角形的斜边长是____________； 正方形的边长是____________； 等边三角形的边长是_________。

首先是让学生进行自主学习，并在实际情境中写出表示算术平方根的式子。 提问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？

1、表示的是算术平方根；2、根号内含有字母的代数式。

在学生自主学习的基础上，要求学生对上述答案进行解释。其中学生对于答案3，等边三角形的边长为2s，一些学生会采用教材中以下的答案抄写，而不知该答案得到的原因。因此首先选不同程度的几名学生回答，鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评。对于该题的答案的得到过程可以用几何的推理的方法，即画出其中一条高后利用勾股定理进行计算的方法或利用公式S正?＝３a2（a为该三角形的边长）的方法得到。

４补充练习：判断，下列各式中哪些是二次根式？

7；

12；

x2y(y?0)；x2?y2；?3；a；a（a＜0＝；

二、新课讲授

1、二次根式的概念：

（1）引导学生概括二次根式的定义：像a2?4,b?3,2s这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如1）3,2也叫做二次根式。??即一个非负数的算术平方根。

（2）概念深化：

提问：a?1是不是二次根式？a?1呢？9呢？??学生对于上述的问题，在判断上会产生一定的歧义，此时应按照教参的要求进行教学：a?1、9是二次根式，而a?1不是二次根式，只能称为含有二次根式的代数式。此外对于2x?2x?3这样的代数式，他们的系数或常数项是二次根式，而整个代数式仍看做是整式。

2议一议：二次根式a?1表示什么意义？此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？??经学生讨论后，指定一名学生回答，在指定一名学生点评。教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方式（数）大于或等于零（非负）。 三、讲解例题：

例1、求下列二次根式中字母a的取值范围：（因学生学习的需要，将例题进行适当改变，并进行一定增加。）

①?3a；②1；③1?2a(a?3)2；④x?3；⑤23?4x；⑥?5x；⑦|x|?1。

练习1：当下列各题的字母取何值时，下列各式为二次根式： （1）a2?b2 (2) ?3x (3)

12x (4)

?32?x

按提问→回答→板书→独立解答的方式教学，问题设计如下： 被开方式需满足什么? 由此可得怎样的不等式？ 第（1）（2）两题可以转化为解怎样的不等式？第（3）题不解不等式就能确定a的取值范围吗？

教师总结：从整体上来说，求二次根式中字母的取值范围主要是应用整个被开方式大于等于0这一结论。二次根式的本质是数的算术平方根，这是解决有关二次根式的一系列问题的最根本的依据。属于此类问题的基础条件。这类问题可以化归为解决开方数（或式）不小于零的不等式.但是，这类问题还需要顾及其他代数式的条件.

练习2：求下列二次根式中字母的取值范围：（1）a?3；（2）?13?a2a?1. ；（3）例2 当x=4时，求二次根式1?2x的值.

1、引导学生回顾代数式的值的概念和如何求代数式的值.2、指出二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同. 四、课堂练习：

1、完成课本“课内练习”.

2、物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间，（1）把这个公式变形成用h表示t的公式；（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1 秒）?

3、已知a.b为实数，且满足a?2b?1?1?2b?1求a 的值 4、按下列程序运算，全班分成4个组，当x=1时，每人做一步，看哪一组完成得快.x 取其他数试一试.

五、小结

师生共同完成：通过今天的学习，你有哪些收获或困惑？ 六、布置作业

课本“作业题”及作业本。

§1.2二次根式的性质（第一课时）

教学目标：

1、经历二次根式的性质：

?a?2?a(a?0)?a?a?0?、a2?a??的发现过程，体验归

?-a(a?0)纳、猜想的思想方法。

2、了解二次根式的上述两个性质。 3、会运用上述两个性质进行有关计算。

重点与难点：

本节教学重点：是理解二次根式的上述两个性质；教学难点：是灵活运用上述两个性质进行有关计算。

教学设想：在教学中首先是进一步梳理和巩固已生成的知识，引入二次根式的性质1与

平方根的关系。并从学生熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一。先练习、再观察发现总结规律得出性质二。再通过梳理知识使条理清楚，并及时练习巩固，运用二次根式的两个性质解决基础的运算问题。其间还要求规范书写知道运算程序、强调性质运用的条件，二次根式运算顺序。

教学过程：

1、动动脑筋：（利用教材中的例子）。

你能把一张三边分别为5、5、10的三角形纸片放入4×4方格内，使它的三个顶点都在方格的顶点上吗?

2、利用教材中的填空：

①图1中正方形的边长是_________。（a） ②参考图2，完成以下填空：2??2=______；7??2?=_________；???12????2=_________。

（将教材中的直观图形[正方形]作适当拓展，启发诱导数形结合思想，目的是从熟

悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一。）

你发现什么规律？

归纳二次根式性质1：?a?2?a?a?0? 3、巩固新学知识，抢答： 13(1)(3)2?___；(2)(3)2?____(3)(?5)2?____；(4)(?2)2?____

22；。

4、合作学习：

232?____；3?____。(?5)?____；?5?__。02?__；0?__。

并猜想：a2??

此处的“合作学习”包含着两个过程：一是比较左右两边的式子的结果，得到基本形状a2=a。二是比较右边的式子，得到绝对值的解答结果。

你发现什么规律？对于学生不能回答回思路不明时，则如下点拨：

比较a2和a有何关系？当a≥0时，a2＝_____；和a﹤0，a2＝_____。 归纳二次根式性质2：5、看谁的正确率高？

21(1)(?1)2?____； (2)()2?____；(3)(?2)2?____；(4)(?3)2?_____；

53(5)数a在数轴上的位置如图，则a2?_____。

6、例1、计算：

a-2 -1 0 1 (1)(?10)2?(15)2；

(2)[2?(?2)2]?2?22；

22(3)3(3?1)?3；(4)(?5)?16?(?2) 处理：本题关键是先化简后计算，讲解时边引导学生分析边板书.尤其是（3）在计算时应用结合律。对学生的要求是能领悟方法，会正迁移。

当堂练习：

（1）??17??2?（2）?3?13；

???2??3?2??3?23 ??在本环节教学中评价及强调性质运用的条件及部骤，要求能书写a2＝a的过程。

2例2、计算：（1）(2?2)?|1?2|；（2）(?)2?352342? 53观察与思考，一名学生板演，其余自己练习，比较先算括号

里与直接利用二次根式性质的优劣强调先判断a2中a的符号。而对于本题2，学生可能会先算减法，后开方。因此增加了（1），这样处理的目的是：（1）学生去做只能先化简，接下来引导学生去分析如何去绝对值，后计算。（2）有（1）做铺垫学生多数（设想）会应用二次根式的性质化简（不会先减掉），但最后说明这种题目这样做不用通分，明显简便。

例3、如图，P是直角坐标系中一点。（1）用二次根式表示点P到原点O的距离。（2）如果x?2,y?7，求点P到原点O的距离。 结合坐标轴灵活运用二次根式的两个性质。

练习：如图，P?5,2是直角坐标系中一点，求点P到原点的距

? y2 0 P离。

7、课堂练习：课本8页 作业题1～6

巩固和运用二次根式的两个性质，练习，自由到黑板上解题 8、课堂小结：谈谈你今天的收获，教师帮助归纳。 （在学生自由回答的基础上帮助他们梳理和巩固知识。）

9、布置作业： 10、动动脑筋

你能把一张三边分别为5、5、10的三角形纸片放入4×4方格内，使它的三个顶点都在方格的顶点上吗?

?5,2?5x

§1.2二次根式的性质（第二课时）

教学目标：

1、经历二次根式的性质ab=a.b(a≥0，b≥0)；a=ba(a≥0，b＞0)的发现b过程，体验归纳、类比的思想方法。

2、了解二次根式的积、商的算术平方根的两个性质。 3、会用二次根式的性质将简单二次根式化简。

重点与难点：

教学重点：二次根式的积和商的性质。教学难点：例3第（4）题和探究活动涉及较复杂的化简过程和一些技巧的运用，是本节教学的难点。

教学设想：通过学生自己的动手操作，在回顾旧知的基础上，探究二次根式的乘法和

除法的性质，并在应用中注意对限制条件和总体思路及注意事项的归纳，真正地让学生掌握方法，提升学习能力。

教学过程：

一、合作学习，引出课题

1、复习旧知：二次根式：（1）定义：a(a?0)

（2）两个基本性质：①(a)2?a(a?0)；②a2?a???a(a?0)

?-a(a?0)2、合作学习：我们继续来探究二次根式的其他性质：填空（可用计算器计算） 4?9?_____，4?9?_____；4?5?_____，4?5?____；100?0.01?____，100?0.01?___；916 ?_____，9?16?____；3?___，3?2?___；2比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？

（教材采用的不是证明的方法，而是归纳、类比，容易使学生接受。所以教学中要引导学生通过观察，从中得到二次根式的乘法、除法性质，尽量鼓励学生用自己的语言总结出性质，然后作适当点评，从而引出课题）。 二、探究新知，体验成功

1、积的算术平方根的性质。

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）。即

ab?a?b(a?0,b?0)。

在此时，由于学生还没有真正地经历过运用，因此他们对于a?0,b?0的条件的应用还是会存在一定的错误，可能会出现(?4)?(?9)??4??9的错误。因此这里我尽量提早的“预防”。将上述的解题过程出示给学生判断，加深对于a?0,b?0的条件的印象。

2、商的算术平方根的性质。

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）。即a?a(a?0,b?0).运用以上式子可以进行简单的二次根式的

bb除法运算。

3、例题讲解：

52 例3、化简：（1）121?225；（2）42?7；（3）；（4）；97注意：一般地，二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数，且在该自然数的因

数中，不含有1以外的自然数的平方数

按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学， 例2、先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0.01）

1 ；（3）0.001?0.5。49合理应用二次根式的性质，可以帮助我们简化实数的运算。按教师提问，学生回答，利用多媒体，教师板书解题过程交替的方式进行教学。

上述两个例题主要是为了让学生通过应用，及时巩固二次根式的两个性质的应用，并在应用中注意隐含条件和一般的化简要求、及作这类运算的注意事项、步骤、依据等。

具体地说：

（1）帮助学生理解每一步化简的依据（具体的性质）；

（2）总结出化简的步骤：①先进行观察，寻找平方因数、带分数、处理符号等；②确定运算的顺序，并应用性质进行变形；③作出化简后的结果；④再回顾题目中的要求（精确度等）或适当调整解答的顺序，寻找更为合理的解答方法。

（3）对二次根式化简结果的要求：①根号中不能含有除1以外的平方因数（能开得尽方的因式要尽量开出来）；②根号内的结果应该是自然数，即不能含有分母或小数；③分母中不能含有根号。

三、总结提高、课内练习

1、课本第9页1、2、3。第10页探究活动

（1）??18????24?；（2）1探究活动：化简下列两组式子: 242233?_____,2??_____;3?_____,3??_____; 33884455?_____,4??_____;5?_____,5??_____; 15152425n?2nnnn?2?n2(为自然数,且) n?1n?1你发现了什么规律?请用字母表示你所发现的规律,并与同伴交流. 请再任意选几个数验证你发现的规律.

8??2?2、化简??????

?13??13?223、化简：12；13；15；17；18；11111；；；；；

58237并要求学生在上述的解答后总结出自己的经验，一方面培养学生在学习中的观察、思考

与归纳的意识和能力；另一方面也可以得到另一个常用的性质：

11a1??(或a)；其中a?0。 aaaa4、补充练习若b>0，x<0，化简：?b4

(?x)2四、归纳小结，充实结构。（由学生总结，教师适当提问补充。）

谈一谈：本节课你有什么收获？

引导学生从下面的思路总结：二次根式的性质，各式子中的字母的取值范围，以及在应用时应该注意的问题，防止出错。

（让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成，便于学生调节自己的学习进度，培养学生养成良好的学习习惯，发挥自我评价的作用，增强学生学数学的信念）。 五、布置作业。

§1. 3二次根式的运算（第一课时）

教学目标：

1、了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的. 2、会进行简单的二次根式的乘除运算.

重点难点：

重点：二次根式的乘除运算法则。难点：例1（3），例2计算过程中涉及多种运算和运算法则，是本节的难点。

教学设想：首先复习二次根式的性质，并利用性质的复习引入应用，在应用中让学生

自己发现其中的问题，然后在问题的矫正中确立本类问题的解答思路与方法，提升学生的学习能力，确保课堂的效率。

教学过程：

一、引入新课

1、复习回顾：二次根式有哪些性质？

?a(a?0)11a1；??(或a)；a?0。 (a)2?a(a?0)；a2?|a|??aaaa?-a(a?0)ab?a?b(a?0,b?0)；a=a(a≥0，b＞0)

bb先结合书本的要求，开门见山地提出公式，帮助学生尽快建立本课的学习思路——应用公式进行二次根式的计算，将学生的思路从课外拉到课堂上。

2、你能计算：（1）0.1?10；（2）0.033吗？。

对于本类问题，学生可能会先分别化简或用计算器进行解答，再进行积和商是运算。因此教学时先让学生独立计算，教师进行观察约1.5分钟，主要目的是看学生起先的解题直觉：先化简还是先应用公式，检查学生的预习效率。

若学生有先化简的情况，结合此类学生的比例，适当地进行选择他们的方法并板书。然后提问：有否更为简便的方法？再应用解答简便的学生的方法进行类比学习，让学生在自己的比较中学习到两种不同的解题方法，并初步有灵活应用的意识。视学生对引题的处理，作出强调或完整处理以便对下面的题目起到示范作用。

3、结合法则用于二次根式的乘除运算。

你会计算吗？试一试? 第一组：(1)3221032?第二组： (1)12?3;(2)1000?0.1;(3) 23处理：让学生独立完成，然后师生共同评价并更正错误，要求尽量能选择应用合理的方

法进行解答。

二、例题分析：

(2)50；

5.2?107227例1、计算：（1）2?6 ；（2）1?；（3）

93101.3?10做一做：（1）24?3；（2）3?1052.7?103；（3）76

因为有上面的铺垫，对于这样的问题，需要学生的解答能尽量选正确的方法，快速准确。

乘除法运算的一般步骤是怎样的？（1）运用法则，化归为根号内的运算；（2）完成根号内的相乘、除（约分）运算；（3）化简二次根式。说明：（3）7还有没有其它的计算方

6法呢？由此可见，有时数学解题方法多样.

做一做：（1）23；（2）15 例1是为了及时巩固二次根式的运算法则，虽然比较简单，但对于以后的一些问题的解决，还是一个非常重要的基础，而且对于学生来说，注意其中隐含的解题思路与学习方法才是最重要的。所以，在教学中需要注意：

（1）总结解决此类问题的一般步骤：①应用性质，化归为根号内的实数运算；②完成根号内的乘除运算（一般要化得简单）；③化简二次根式。

（2）及时总结出如“76”的两种计算思路，及23和15等的解题思路。

例2：一个正三角形路标如图。若它的边长为22个单位，求这个路标的面积。

提示：1、根据题意要计算这个正三角形的面积，还要什么数据？这样，帮助学生形成整体的解题思路，确定解决本题的关键是先求出正三角形的高。

2、作辅助线——高线AD，由图形你说说如何求高AD的长？（说出其中的根据是勾股定理以及为什么能用勾股定理？）

3、有无更好的方法？如应用正三角形的面积计算公式。

边长为a的正三角形的面积为：S?32a。 4对于面积的公式，在以前的教学中曾提出过，但由于当时没有良好的记忆，一般学生早已忘记，因此在此处重申，一方面可以帮助学生提高对数学知识学习的意识，另一方面也可以促进学生掌握面积公式，为以后的学习打基础。

4、解题作提示外，在计算高AD时提醒学生注意运算顺序是怎样的？其中在学生的解答过程中注意强调22?，学生会遗忘。 ?的计算过程与方法。而依据是“积的乘方”

25、在求出正△ABC的面积后，也需要强调计算结果能化简的，应予以化简。而本题中

没有精确度的要求，结果可以用二次根式表示。

做一做。巩固知识 三、课堂小结

谈谈你今天的收获，教师帮助学生归纳总结。 四、布置作业

注意：对于分母有理化的问题，如“掌握，而对于“76、23和15”等，教材中有要求，需要学生56?1”等问题，由于要运用平方差公式，对学生来说，有一定的难度，但《新课标》中并没有这样的要求，可以不补充，在遇到的时候，可以要求学生按预定的精确度求出其近似值即可。

§1. 3二次根式的运算（第二课时）

教学目标：

1、会进行二次根式的四则混合运算

2、会应用整式的运算法则进行二次根式的运算 3、体验和掌握迁移、转化等数学思想与方法

重点难点：

教学重点：二次根式的四则混合运算是重点；教学难点：例5计算思路的形成比较困难，是教学的难点。

教学设想：本课在设计上体现了以下的特点：二次根式的加减和乘除混合运算，出现

了类似单项式乘以多项式、多项式乘以多项式（包括乘法公式、乘方）、多项式除以单项式的运算。课本中没有出现“同类二次根式”的概念，只是提到“类似于合并同类项”“相同二次根式的项”，这种类比的方法，学生是能够理解的，也能够与整式一样进行运算。首先复习二次根式的性质，并利用性质的复习引入应用，在应用中让学生自己发现其中的问题，然后在问题的矫正中确立本类问题的解答思路与方法，提升学生的学习能力，确保课堂的效率。

教学程序设计：

一、复习旧知，引出课题：

1、二次根式有哪些性质

1、a??2?a，（a?0）; 2、a2?|a|3、ab?a?b，（a?0,b?0） 4、a?b?ab，（a?0,b?0）5、7、aaaa?，（a?0,b?0） 6、?，（a?0,b?0）bbbb11a1??(或a（)a?0）aaaa2

2、已学过的整式的乘法公式和法则有哪些

8、9、?a?b??a?b??a2?b2;　　?a?b??a2?2ab?b210、?a?b??n?m??an?am?bn?bm

设计上述教学过程的目的是：

①复习公式，进一步梳理和巩固已生成的知识；

②通过纵览公式之间的区别与联系，一方面加强对公式的理解，另一方面使学生对本课所学知识的基础有一个感性的了解。

3、怎样化简下列二次根式：

化简：12，311，1，48，27。 33本题是让学生体验性质与公式的准确运用，为以下的问题解决打基础。

4、计算：（1）3x+2x；（2）3x-2x。（3）32?22；（4）32?22。

与合并同类项类似，我们可以把相同二次根式的项合并。 说明：（3）是二次根式的加法运算；（4）二次根式的减法运算

可见二次根式的加减类似于合并同类项，以前我们学过的整式运算的其它法则和方法也适用于二次根式的运算。

二、探究新知，体验成功：

铺垫（结合学生前一天的作业情况而设计）：小东在学习了ab?aaa和之?bbb?5后认为他们是一样的。因此他认为一个化简过程?20??20??5?4??5?4?4?2是

?5?5?5正确的。你认为他的化简正确吗？说说你的理由。

设计这一问题的目的是为二次根式有意义的隐含条件而设定。

例3、先化简，再求近似值（精确到0.01）：12?11?1 33审题：(1)题目要求先化简，再求出近似值（精确到0.01）

（2）能化简吗？（3）能做吗？学生说教师板书（板书时让学生注意（27）-（3?6?2），27化简，3?6?2如何乘。）

（4）若不要求先化简，只是计算求近似值，那么这个问题可以采取其它手段吗？（若用计算器，误差可能会偏大）

领悟先化简再象合并同类项那样进行运算来计算这一题，在教学中要注意帮助学生尽力规范书写的意识，知道运算程序引导、帮助学生审题。

教师对于学生的思考或在题后小结提问：本题共有哪几项组成？各包含了什么运算？各项都是二次根式吗？各项能否化简？在各二次根式化简之后，各项又有什么特点？如果把3前面的乘数看作是它的系数，整个算式又能否继续化简？这可以与我们以前学过的什么计算类似？

并帮助学生建立：对于二次根式的加减计算，可以在把每一个项都进行化简（化到最简）后，将被开方数相同的二次根式象合并同类项那样的合并起来。

解：原式?23?1212??3?3??2???3?3?1.73 3333??练习：课本14页课内练习第1题，在学生完成解题后出示答案。这样马上接着进

行训练，要让学生快速领悟方法，会正迁移。

例4、计算：?1?27?36?2； ?2??3?338??6； ?3??48?27??3 本题的设计主要是让学生确定运算顺序及运算律的运用。因此对于学生中可能出现的问题，教师应预先作出判断，也可以利用问题给学生以提示：对于（1）先算什么后算什么，第（2）（3）又该怎样呢

对于第一题先乘除后加减，在后合并第2题先去括号，再计算较方便第3题先把除法转化为乘法，后去括较方便，这样可以使学生对于具体的计算题会先设计计算程序，然后在思考计算，会正迁移，领悟方法与步骤。

其中：二次根式的加减计算，其运算顺序通常与以前所学的实数及整式的运算顺序类似，需要在进行合理的变形后确定整体的计算思路，这样往往可以使计算变得简便。

课堂练习：课本14页，课内练习2（学生完成后出示答案并纠正错误） 例5：计算?1?,22?3333?22；?2?,2?23?22

教师问：对于（1）相当于哪一个乘法公式的形式；对于（2）相当于整式乘法中哪一种运算形式。

师生共同得出解决本类问题的基本方法或思路：①用平方差公式；②多项式与多项式相乘。

还有别的解法吗？——让学生会用乘法公式和法则进行二次根式的计算，体验运算

????????

法则的互通，通过观察思考，形成悱、愤的学习状态。

练习：分组交流，合作完成 课本14页，课内练习3，4 三、归纳小结，充实结构

谈一谈：本节课你有什么收获或困惑？ 由学生总结，教师适当提问补充： 二次根式的四则混合运算中： ①能化简的先化简；

②当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并；

③在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法则，使运算简便。

这样，让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成，便于调节自己的学习进度，培养学生养成良好的学习习惯，发挥自我评价的作用，增强学生学数学的信念。

以下作为课内的补充练习，视时间情况选择性地教，若整体的教学时间比较紧张，则把以下的问题作为学生的课外练习。

1、下列计算哪些正确，哪些不正确？并适当地说明理由：

①3?2?5；②a?b?a?b；③a?b?ab； ④aa?ba?(a?b)a；⑤113a?2a?a?a?0。 322、探究：比较6?14和7?13的大小。

本题设计的目的是为了让学生了解对实数的大小比较的方法，并利用题目中数据的特点进行学习思路的培养。通过学生的配合，教给学生利用平方法比较两个实数大小的方法与思路，在教学中主要作如下处理：

（1）先让学生说说怎么比较。——作差或作商都不行时怎么办？

（2）这两个都是正数，能否发现上述两个问题中的特点。——两个被开方数的和相等：6+14=7+13。

（3）二次根式大小比较常采用的方法——“平方法”进行介绍。——教师板书；利用完全平方后对计算结果进行大小比较，并与学生一起得出“实数越大，其算术平方根也就越大”的解题依据。

（4）拓展：若两个都是负数呢？其中的计算是减法？ 3、探究：

?1?已知x?3，求代数式?x?2???x?2??x?2??23的值。

2本题主要是先化简后求值的方式进行。

其中（1）先化简再代入；（2）a?b的值或a?b的值或ab的值特殊，所以对代数式怎么处理可以用上这些中一个或几个特殊值，目的是使解题更方便。

对于（2），由于a和b的值的特殊性，其实求出a?b、a?b、ab的值，将代数式进行化简后代入比直接代入就往往会更为简单。因此通过本题可以培养学生合理思考该类化简问题的方法与意识。

(2)已知a?3?2，b?3?2，求a2?ab?b2的值.

§1. 3二次根式的运算（第三课时）1

教学目标

1、会运用二次根式解决简单的实际问题.

2、进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.

重点难点

重点：二次根式及其运算的实际应用.

难点：例6涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂，是本节教学的难点.

教学设想：本课时是二次根式运算的应用。

其主要知识体系为：

例6的数字看上去比较复杂，其目的是为了二次根式的运算的应用，是对二次根式知识的综合运用。提出应用二次根式及其运算解决简单实际问题主要表现在两个方面：1、通过二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；2、通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简。

教学程序设计：

一、引入新课：

与学生一起复习在二次根式运算应注意的问题：

教师把握：二次根式的四则混合运算中，要注意的是： 第一方面——与实数或代数式的运算的顺序进行类比：

1、在实数范围内，乘法分配律，乘法法则及乘法公式仍然成立，在二次根式的混合运算中均可运用。

2、在进行二次根式的加减乘除混合运算时，先运用乘法分配律(如果是除法，先转化为乘法)进行二次根式的乘法运算，再进行二次根式的加减运算。在进行二次根式的和与差的乘法运算时，可以直接运用完全平方公式进行计算，根据所给题目的特点，可灵活运用公式进行计算.

3、在进行二次根式的混合运算时，先进行乘法运算，把所得的积化为最得二次根式后，再进行加减运算。

第二方面——具体对二次根式化简中的特点： ①能化简的先化简；

②当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并；

③在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法则，使运算简便； ④结果能简化的要化简。（注意化简的要求）。 二、知识应用：

1、练习：一道斜坡的坡比为1：10，已知AC＝24m。求斜坡的长。 设计在此处安排一个练习，一方面，解释概念（坡比——可以参考教材中的注释，也可以直接给出坡比（坡度）=铅直高度：水平宽度），并出示答案（标准的解题过程与格式），让学生从简单的入手进行深入的学习；再者，先巩固已有知识，便于向新知识过度。

2、解释应用情境：扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1：0.8，已知AE=2米，一男孩从扶梯底部A走到顶部B，他升高了多少米？（他经过了多少路程？）

(斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比。)

给出知识的应用情境，先让学生有充分的时间阅读并理解题意（主要是与坡比相关的竖直高度、水平宽度在图形中的表示）。他升高了多少米可以用什么来反映？（线段

BE）再让学生看一遍题然后让学生独立去解题，并展示学生解题过程，并评价。

在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形边长计算问题时，经常用到二次根式及其运算。

例6、如图，扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1：0.8，滑梯CD的坡比为1：1.6，AE=2米，BC=

1CD。一男2孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程?(结果精确到0.01米)

本题与前面引例一起，构建了解决数学实际问题的一种思路：先有情境，然后将实际的图形抽象出几何图形，并应用几何图形进行解决问题。

而对于那些不能很快建立思路的学生，教师在个别辅导时注意把握： （1）所求的路程是那些线段的和？

（2）计算AB和引题一样——求BC得先求出CD；CD能求吗?——根据滑梯CD的坡比为1：1.6米，说明哪两条线段的比是已知的？（CF：FD=1：1.6）因为CF=2.5（米），就可以求出哪一条线段的长度？（FD）那么我们可以求CD了吗？

而在讲解时则要注意：

（1）让学生有充分的时间阅读问题，理解问题，分清已知哪些量，所求量是什么。 （2）帮助学生根据图形，寻找所求的量和已知量之间的关系。 或启发学生：

（1）所求的路程是哪些线段的和？

（2）AB，BC，CD这三条线段中，哪些线段的长度是已知的，哪些线段的长度是未知的？

（3）题设中已知线段AB的破比为1：08，说明哪两条先点的比是已知的？根据AE=3/2米，你可以先求出哪一条线段的长度？

（4）AB与AE，BE有怎样的关系？据此你能求出AB吗？是否可以类似地求出CD的长？

（5）观察AB+BC+CD的算式中含有哪些运算，能化简吗？ 由学生来完成，教师评价。 做一做：P17课内练习1 三、课堂小结

①回顾二次根式的性质，二次根式的运算法则（由学生总结，教师适当提问补充。） 1、二次根式的运算结果能简化的要简化

2、体验体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值 3、实际问题要注意分析

②引导学生从下面的思路总结（应用二次根式及其运算解决简单实际问题主要表现）：

1、通过二次根式或含二次根式的代数式表示未知量； 2、通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简。 四、布置作业：作业本

§1. 3二次根式的运算（第三课时）2

教学目标

1、会运用二次根式解决简单的实际问题.

2、进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.

重点难点

重点：二次根式及其运算的实际应用.

难点：例7涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂，是本节教学的难点.

教学设想：本课时是二次根式运算的应用（原教材中1.3第三课时的下半部分）。因

为例7有一定的难度，因此为了帮助学生的学习，这里将例7单独列为1课时进行教学。例7综合运用了直角三角形的有关知识、图形的分割、面积的计算等，其解答过程较长，也是对二次根式知识的综合运用。在这里，对李7进行教学后进行适当的拓展，提高学生的综合解题能力。

教学程序设计：

一、引入新课

例7、如图是一张等腰三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。（1）分别求出3张长方形纸条的长度。（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm2。

① ②

在讲解本题之前，结合学生的理解水平和一般的思考问题的思路，我先和部分学生（兴趣小组）一起准备了图形等腰直角三角形①和②；并将等腰直角三角形①再变成画线图和裁减图若干份，并将部分图贴在纸板上，每个学习小组都有至少2份，让学生在观察与操作中理解题意，并帮助学生建立解题思路。

在对学生进行解释时，教师注意把握：

a、3张长方形的长度也就是哪三条线段的长度？

b、已知的是什么？——△ABC是什么三角形？AC=BC=40cm，CD是斜边上的高且CD被分成四条相等的线段（四等分）。

c、CD是斜边上的高，又可以看作是什么？（斜边上的中线）

d、你能求出EF、GH、MN的长吗？（学生讨论，教师帮助引导）

——对于求出长方形纸条的长，可以有2种思路，其一是结合教材中的方法，利用CD，通过长方形纸条的上边EF、GH、MN来求；当然还可以利用长方形纸条的下边。即利用AB、MN、GH分别减去2个小等腰直角三角形的边（纸条的宽度）来计算。在教学时教师注意结合学生的思考作适当的点拨。

e、每条纸条的长度与所有纸条的总长度有什么关系？1。纸条的宽度是多少？

4解法启发：

针对第一小题：

（1）这张纸条的长可以看做哪一个三角形的一条边长？这个三角形有什么特征？ （2）三角形的斜边与等腰直角三角形ABC的斜边AB有什么关系？所以和ABC

的AB边上的高CD有什么关系？CD也平分这个直角三角形的斜边？为什么？由此你求出这个直角三角形的斜边的长吗？

（3）最上面的长方形纸条的以后，用类似的方法求出其他长方形纸条的长。 针对第二小题分析如下：

启发学生找出课本图1-6中每条纸条的长度与课本图1-5所有纸条总长度的关系，这样根据纸条的宽度为1/4CD，就不难算出4张纸条所围成的正方形的面积，所以找出它们的关系是解决问题的关键。

第一题、先取最上面的长方形纸条进行分析

1、这张纸条的长可以看做哪一个三角形的一条边长？这个三角形有什么特征？ 2、这个三角形的斜边与原三角形的斜边有何关系？与原三角形的高有何关系？能否求这个三角形的斜边的长？

第二题、启发学生找出每纸条的长度与所有纸条的总长度的关系，进而算出4张纸条所围成的正方形的面积．

体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值。 二、拓展：

1、若给你一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm。你会怎么裁剪？

——学生可以裁剪出图①中的第二、第三两图。这样，可以帮助学生提高对实际问题中方案设计的思考能力和动手操作的能力。

CEGMCFHND...D.E..FDHMNCFEA①②③ 2、现有一张等腰直角三角形彩色纸。AC=BC=40cm。要求裁出来的长方形纸条的

BABAHMNKB宽度相等，且都为52cm，则这3种裁法哪种裁出来的长方形纸条总长度更长呢？

——这是题1的延伸，对于在第1题中的三种裁剪方案，进行比较，可以培养学生更好地思考问题的能力。

3、能不能用其他的几何图形来镶边呢？

——其实，在日常生活中的的图形镶边，还可以有图③的方案，而显然图③的镶边比图②更能“物尽其用”，这里也可以介绍给学生，提高他们的生活知识的应用能力。

三、课堂小结

①怎样快速准确地进行二次根式的混合运算？

二次根式的混合运算是本章学习的落脚点，是前面学过的二次根乘法、除法及加减法的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：

1、二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

2、二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． 3、在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

四、布置作业：作业本

§二次根式复习

复习目标

1、能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简。 2、能过比较熟练进行二次根式的运算。

3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题。

重点难点

重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算，二次根式的应用.

教学设想：在中考中二次根式的概念、性质和运算是必考内容，其中概念主要考查最

2简二次根式和同类二次根式，性质主要考查运用a?a化简二次根式，运算主要以二

次根式的混合运算为主，题型有选择题，填空题和解答题。学习时应关注课本的探索型题以及判断说理题等。在学生与学生的互动上，教师注重活动设计，使学生学中有乐，乐中悟道。教师设计一组题目，让学生以竞赛的形式解答，然后以记成绩的方法让其它同学说出优点（简便方法及灵活之处）与错误。由于本节课主要以计算为主，对运算法则及规律性的基础知识，学生很容易掌握而且从意识上认为本节课太简单，不会很感兴趣，所以为了提高学生的学习兴趣及更好的抓好基础，提高学生的运算能力。

教学程序设计：

一、复习引入

1、形如______的代数式叫做二次根式.（即一个______的算术平方根叫做二次根式） 强调：二次根式被开方数不小于0。 2、二次根式的性质：

(a)2?_____（a≥0）；a2?_____=?；ab?_____（a≥0，b≥0）3.二次根式的运算：

二次根式乘法法则：a?b?二次根式除法法则：

??（a?0)(a?0）；

a_____（a≥0，b＞0）

?bab（a≥0，b≥0）

ab?ab（a≥0，b＞0）

二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.

二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如(a?b)(a-b)?a?b;(a?b)?a?2ab?b）仍然适用.

二、复习内容：

例1、下列各式中那些是二次根式？那些不是？为什么？①15；②3a；③?144；④a?b；⑤a?2a?1；⑥例2、若x?1?22222222x?100；⑦35；⑧?a2?1。

y?1?0，求x2?y2的值。

2；（2）(x-2)；

22例3、求下列各式的值：①(x?1)；②(x?1)2；③(?3)；⑤(3)2。

例4、求下列二次根式中字母的取值范围：（1）

x?5?13?x说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）。参考答案：(1)-5≤x<3；(2)一切实数。

练习：求下列二次根式中字母的取值范围 （1）5a；（2）

2 参考答案：（1）a≥0；(2)a<1。

1-a二次根式的概念、意义，特别是求二次根式中字母的取值范围是很重要的知识点，也是后继学习二次根式内容的重要基础，二次根式的内容往往与后面的二次根式的性质和运算综合考查。就例1~4而言，设计的主要目的是为了复习和巩固二次根式的基本知识。对于这几个题目，教学中主要采用让学生口答的方法进行，在解题步骤上，要求叙述尽量完整，以减少失误，并训练学生的逻辑思维能力。

例5、化简：（1）1.2?104；（2）

24()2?()233

说明：应用二次根式的性质进行化简。参考答案：(1) 2030；(2)

25。 3练习计算：（1）31.2?102?(?13?105)；（2）1?(80?5)?10

232（3）(2?3)(22?1)。参考答案：（1）-3000；（2）?2；（3）1?52 例6、解方程：23x?6?0

处理：提示——这是一元一次方程，未知数的系数是二次根式。参考答案：23x??6,x??6??12。

232例7、在直角坐标系中，点P（1，3）到原点的距离是_________。 提示（见图示）。参考答案：2。

例8、一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？

转化到同一平面中去（铺平~平面展开图），应用两点之间线段最短；铺平后楼梯的平面展开图是什么图形？就可根据什么求出AB的长？

三、探究与思考： 你的脂肪含量正常吗？

据科学研究表明，可以利用身体的体重（w，单位kg）和身高(h，单位m)计算身体脂肪水平，也称为身体质量指数(BMI：body Mass Index)，计算公式是：BMI=w，人体的脂2h肪指数正常范围是24~27。小刚说：我的体重是60kg，身体脂肪水平属于正常，你们能估计出我的身高大约在哪个范围内(结果精确到0.01)。

四、课堂小结 1、化简x2???x，结果正确的是?2??（参考：D）A. 2x B.0或2x C.-2x或2x D.-2x

2、x2??x,则x的取值范围是_______.（参考：x≤0） 3、

x?x-2xx?2x.x?0(D).x （B）.x?2 （C）〉 2 成立的条件是（ ）（参考：D）（A）.?0

x-2说明：注意二次根式中字母的取值条件.

（估计根号10约是几点几？4.已知10的整数部分是a，小数部分是b，求a2?b2的值.（即根号10在3~4之间）整数部分是3，那小数部分是多少呢？（准确地说根号10减去3）

然后由学生去算）

5、请计算32，34，36，38的值。（将根号内的3换成其他正数，结果怎样？你能从计算中发现什么运算规律？请用文字描述或用字母标示出来）

五、布置作业：课本复习题

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