新课程高中数学训练题组(选修2-1)含答案

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特别说明：

《新课程高中数学训练题组》是由李传牛老师根据最新课

程标准，参考独家内部资料，结合自己颇具特色的教学实践和卓有成效的综合辅导经验精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料!

本套资料所诉求的数学理念是：（1）解题活动是高中数学教与学的核心环节，（2）精选的优秀试题兼有巩固所学知识和检测知识点缺漏的两项重大功能。

本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修4系列的章节编写，每章分三个等级：[基础训练A组]，

[综合训练B组]， [提高训练C组]

建议分别适用于同步练习，单元自我检查和高考综合复习。 本套资料配有详细的参考答案，特别值得一提的是：单项选择题和填空题配有详细的解题过程，解答题则按照高考答题的要求给出完整而优美的解题过程。

本套资料对于基础较好的同学是一套非常好的自我测试题组：可以在90分钟内做完一组题，然后比照答案，对完答案后，发现本可以做对而做错的题目，要思考是什么原因：是公式定理记错？计算错误？还是方法上的错误？对于个别不会做的题目，要引起重视，这是一个强烈的信号：你在这道题所涉及的知识点上有欠缺，或是这类题你没有掌握特定的方法。

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本套资料对于基础不是很好的同学是一个好帮手，结合详细的参考答案，把一道题的解题过程的每一步的理由捉摸清楚，常思考这道题是考什么方面的知识点，可能要用到什么数学方法，或者可能涉及什么数学思想，这样举一反三，慢慢就具备一定的数学思维方法了。

目录：数学选修2-1

第一章 常用逻辑用语 [基础训练A组] 第一章 常用逻辑用语 [综合训练B组] 第一章 常用逻辑用语 [提高训练C组] 第二章 圆锥曲线 [基础训练A组] 第二章 圆锥曲线 [综合训练B组]

第二章 圆锥曲线 [提高训练C组] 第三章 空间向量与立体几何 [基础训练A组] 第三章 空间向量与立体几何 解答题精选

新课程高中数学训练题组

根据最新课程标准，参考独家内部资料， 精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料！

不好不子如之如曰乐者好：之之知者者之。，者

（数学选修2-1）第一章 常用逻辑用语

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[基础训练A组] 一、选择题

1．下列语句中是命题的是（ ）

A．周期函数的和是周期函数吗？ B．sin45?1 C．x?2x?1?0 D．梯形是不是平面图形呢？

2．在命题“若抛物线y?ax?bx?c的开口向下，则x|ax2?bx?c?0??”的 逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）

A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真 3．有下述说法：①a?b?0是a?b的充要条件. ②a?b?0是③a?b?0是a?b的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

3322202??11?的充要条件. ab4．下列说法中正确的是（ ）

A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“a?b”与“ a?c?b?c”不等价

C．“a?b?0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0, 则a?b?0” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

5．若A:a?R,a?1, B:x的二次方程x?(a?1)x?a?2?0的一个根大于零, 另一根小于零,则A是B的（ ） A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

2222226．已知条件p:x?1?2，条件q:5x?6?x，则?p是?q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

二、填空题

1．命题：“若a?b不为零，则a,b都不为零”的逆否命题是 。 2．A:x1,x2是方程ax?bx?c?0(a?0)的两实数根；B:x1?x2??2b, a则A是B的 条件。 3．用“充分、必要、充要”填空：

①p?q为真命题是p?q为真命题的_____________________条件； ②?p为假命题是p?q为真命题的_____________________条件；

③A:x?2?3, B:x?4x?15?0, 则A是B的___________条件。

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4．命题“ax?2ax?3?0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_______。 5．“a?b?Z”是“x?ax?b?0有且仅有整数解”的__________条件。

22三、解答题

1．对于下述命题p，写出“?p”形式的命题，并判断“p”与“?p”的真假：

（1） p:91?(AB)（其中全集U?N*，A??x|x是质数?，B??x|x是正奇数?）.

（2） p:有一个素数是偶数；. （3） p:任意正整数都是质数或合数； （4） p:三角形有且仅有一个外接圆.

2．已知命题p:4?x?6,q:x?2x?1?a?0(a?0),若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围。

3．若a?b?c，求证：a,b,c不可能都是奇数。

4．求证：关于x的一元二次不等式ax?ax?1?0对于一切实数x都成立的充要条件是0?a?4

222222思而不学则殆。

子曰：学而不思则罔，新课程高中数学测试题组

（数学选修2-1）第一章 常用逻辑用语

[综合训练B组] 一、选择题

1．若命题“p?q”为假，且“?p”为假，则（ ）

A．p或q为假 B．q假

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C．q真 D．不能判断q的真假

2．下列命题中的真命题是（ ） A．3是有理数 B．22是实数

C．e是有理数 D．x|x是小数??R

3．有下列四个命题：

①“若x?y?0 , 则x,y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q?1 ,则x?2x?q?0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 4．设a?R，则a?1是

21?1 的（ ） aA．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件

22 D．既不充分也不必要条件

5．命题：“若a?b?0(a,b?R)，则a?b?0”的逆否命题是（ ） A． 若a?b?0(a,b?R)，则a?b?0 B． 若a?b?0(a,b?R)，则a?b?0 C． 若a?0,且b?0(a,b?R)，则a?b?0 D． 若a?0,或b?0(a,b?R)，则a?b?0

6．若a,b?R,使a?b?1成立的一个充分不必要条件是( )

A．a?b?1 B．a?1 C．a?0.5,且b?0.5 D．b??1

22222222二、填空题

1．有下列四个命题：

①、命题“若xy?1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；

③、命题“若m?1，则x?2x?m?0有实根”的逆否命题； ④、命题“若A

2B?B，则A?B”的逆否命题。

其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）。

2．已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，

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????3．已知向量a?(2,?1,3),b?(?4,2,x)，若a?b，则x?______；若a//b则x?______。

?????????4．已知向量a?mi?5j?k,b?3i?j?rk,若a//b则实数m?______，r?_______。

??????5．若(a?3b)?(7a?5b)，且(a?4b)?(7a?5b)，则a与b的夹角为____________。

6．若A(0,2,1955)，B(1,?1,)，C(?2,1,)是平面?内的三点，设平面?的法向量888?a?(x,y,z)，则x:y:z?________________。

??????7．已知空间四边形OABC，点M,N分别为OA,BC的中点，且OA?a,OB?b,OC?c，

?????用a，b，c表示MN，则MN=_______________。

8．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为 。

空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）

1．已知四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，

?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA?AD?DC?1，2AB?1，M是PB的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD?面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；

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（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

1A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).

2（Ⅰ）证明：因AP?(0,0,1),DC?(0,1,0),故AP?DC?0,所以AP?DC.

由题设知AD?DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC?面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. （Ⅱ）解：因AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1),

故|AC|?2,|PB|?5,AC?PB?2,所以10cos?AC,PB???.5|AC|?|PB|AC?PB

（Ⅲ）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在??R,使NC??MC,

11NC?(1?x,1?y,?z),MC?(1,0,?),?x?1??,y?1,z??..

2214要使AN?MC,只需ANMC?0即x?z?0,解得??.

25412可知当??时,N点坐标为(,1,),能使AN?MC?0.555

1212此时,AN?(,1,),BN?(,?1,),有BN?MC?05555由AN?MC?0,BN?MC?0得AN?MC,BN?MC.所以?ANB为

所求二面角的平面角.

30304,|BN|?,ANBN??.555ANBN2?cos(AN,BN)???.

3|AN|?|BN|2故所求的二面角为arccos(?).3|AN|?

2．如图，在四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,

平面VAD?底面ABCD． （Ⅰ）证明：AB?平面VAD；

（Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的大小．

证明：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.

0) （Ⅰ）证明：不防设作A(1,0,，

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则B(1,1,0)， V(,0,123)， 213AB?(0,1,0),VA?(,0,?)

22由AB?VA?0,得AB?VA，又AB?AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，

AD都垂直. ∴AB?平面VAD.

（Ⅱ）解：设E为DV中点，则E(,0,143)， 4333313EA?(,0,?),EB?(,1,?),DV?(,0,).

444422由EB?DV?0,得EB?DV,又EA?DV. 因此，?AEB是所求二面角的平面角，

cos(EA,EB)?EA?EB|EA|?|EB|?21, 7解得所求二面角的大小为arccos21.

73．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA?底面ABCD，AB?3，BC?1，PA?2， VDABC E为PD的中点.

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE?面PAC，

并求出点N到AB和AP的距离.

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0)、

B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、

1P(0,0,2)、E(0,,1)，

2从而AC?(3,1,0),PB?(3,0,?2). 设AC与PB的夹角为?，则

cos??AC?PB|AC|?|PB|?327?37, 14第 18 页 共 36 页

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∴AC与PB所成角的余弦值为

37. 14 （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0z,，则)

1NE?(?x,,1?z)，由NE?面PAC可得，

2??NE?AP?0,???NE?AC?0.?1?3z?1?0,(?x,,1?z)?(0,0,2)?0,?x?????2 ∴?6 即?化简得?1?3x??0.?z?1?(?x,1,1?z)?(3,1,0)?0.?2???2?33,0,1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1,. 66即N点的坐标为(4．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1.

（Ⅰ）求BF的长；

（Ⅱ）求点C到平面AEC的距离. 1F

解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)

A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3)设F(0,0,z).

∵AEC1F为平行四边形，

?由AEC1F为平行四边形,?由AF?EC1得,(?2,0,z)?(?2,0,2),?z?2.?F(0,0,2).?EF?(?2,?4,2).于是|BF|?26,即BF的长为26.（II）设n1为平面AEC1F的法向量，

显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1?(x,y,1)

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??n1?AE?0,?0?x?4?y?1?0 由?得??2?x?0?y?2?0??n1?AF?0,??x?1,?4y?1?0,?即???1

?2x?2?0,y??.??4?又CC1?(0,0,3),设CC1与n1的夹角为?，则 cos??CC1?n1|CC1|?|n1|?33?1?1?116?433. 33∴C到平面AEC1F的距离为

d?|CC1|cos??3?433433?. 33115．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1，中，AD?AA1?1,AB?2，点E在棱AD上移

动.（1）证明：D1E?A1D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为

?. 4

解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设

AE?x，则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)

（1）因为DA1,D1E?(1,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA1?D1E.

（2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)，

??n?AC?0, AD1?(?1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n?(a,b,c)，则???n?AD1?0,第 20 页 共 36 页

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1．?212 2a?3b?(?10,13,?14)，a?2b?(16,?4,0) 2．垂直 a?(2,?1,1),b?(4,9,1),ab?0?a?b

??10103．,?6若a?b，则?8?2?3x?0,x?；若a//b，则2:(?4)?(?1):2?3:x,x??6

331m5?114．15,? a?(m,5,?1),b?(3,1,r),??,m?15,r??

531r55．0 7a?16ab?15b?0,7a?33ab?20b?0,得49ab?35b,49a?35ab

222222352b352a35ab4935b ab?b,?,cos?a,b?????1

4949ab49abab6．2:3:(?4) AB?(1,?3,?),AC?(?2,?1,?),?AB?0,?AC?0,

74742?x?y?24?3,x:y:z?y:y:(?y)?2:3:(?4) ?33?z??4y?3?7．

111(b?c?a) MN?ON?OM?(b?c)?a 2223 A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A,1,0),DA1?(0,?1,1) 1(0,0,1),AC?(138．

设MN?(x,y,z),MN?AC,MN?DA1,x?y?0,?y?z?0,令y?t 则MN?(?t,t,t)，而另可设M(m,m,0),N(0,a,b),MN?(?m,a?m,b)

??m??t11111131???? ?a?m?t,N(0,2t,t),2t?t?1,t?，MN?(?,,),MN?

33399933?b?t?

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?a??,或a??1。

32（数学选修2-1） 第一章 常用逻辑用语 [提高训练C组]

一、选择题

1．C ①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④ 中有“或”

2．A 因为原命题若a?b?2，则a,b 中至少有一个不小于1的逆否命题为，若a,b都小于1，则a?b?2显然为真，所以原命题为真；原命题若a?b?2，则a,b 中至少有一个不小于1的逆命题为，若a,b 中至少有一个不小于1，则a?b?2，是假命题，反例为a?1.2,b?0.3 3．B 当A?170时，sin170?sin10?0001，所以“过不去”；但是在△ABC中， 21?300?A?1500?A?300，即“回得来” 2m14．B 一次函数y??x?的图象同时经过第一、三、四象限

nnm1???0,且?0?m?0,且n?0?mn?0，但是mn?0不能推导回来

nn5．A “x?M,或x?P”不能推出“x?MP”，反之可以

sinA?6．D 当a??2,b?2时，从a?b?1不能推出a?b?1，所以p假，q显然为真 二、填空题

1．若△ABC的两个内角相等，则它是等腰三角形

2．既不充分也不必要，必要 ①若x?1.5,且y?1.5?x?y?3，1?4?3,而x?1 ②x?1,或y?2不能推出x?y?3的反例为若x?1.5,且y?1.5?x?y?3，

x?y?3?x?1,或y?2的证明可以通过证明其逆否命题x?1,且y?2?x?y?3

3．①，②，③ ①“k?1”可以推出“函数y?coskx?sinkx的最小正周期为?”

22但是函数y?coskx?sinkx的最小正周期为?，即y?cos2kx,T?222???,k??1 2k② “a?3”不能推出“直线ax?2y?3a?0与直线3x?(a?1)y?a?7相互垂直”

222?4?3?11xx反之垂直推出a?；③ 函数y?的最小值为2 ??x2?3?2225x?3x?3x?3令x2?3?t,t?3,ymin?3?143 ?33第 26 页 共 36 页

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4．充要 a?b?ab?a?b?(a?b?1)(a?ab?b) 5．(??,?3) 2a?6?0

三、解答题

1．解（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为0的两个实数不都为0；

（3）若?ABC是锐角三角形， 则?ABC的某个内角不是锐角。

（4）若abc?0，则a,b,c中都不为0； （5）若(x?1)(x?2)?0,则x?1或x?2。 2．解：?p:1?332222x?1?2,x??2,或x?10,A??x|x??2,或x?10? 3?q:x2?2x?1?m2?0,x?1?m,或x?1?m,B??x|x?1?m,或x?1?m?

?p是?q的必要非充分条件，?BA，即??3．证明：假设(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a都大于

1?m??2?1?m?10?m?9,?m?9。

111，即(1?a)b?,(1?b)c?, 44411?a?b11?b?c1(1?c)a?，而?(1?a)b?,?(1?b)c?,

422221?c?a11?a?b1?b?c1?c?a3?(1?c)a?,得??? 22222233即?，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立。 224．解：“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或q和p都是真命题

???m2?4?0?当p为真命题时，则?x1?x2??m?0，得m??2；

?xx?1?0?12当q为真命题时，则??16(m?2)?16?0,得?3?m??1 当q和p都是真命题时，得?3?m??2

2?m??1

（数学选修2-1） 第二章 圆锥曲线 [基础训练A组]

一、选择题

1．D 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a?10,10?3?7 2．C 2a?2b?18,a?b?9,2c?6,c?3,c?a?b?9,a?b?1

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x2y2x2y2??1或??1 得a?5,b?4，?251616253．D PM?PN?2,而MN?2，?P在线段MN的延长线上

2a2c2222?c,c?2a,e?2?2,e?2 4．C ca5．B 2p?10,p?5，而焦点到准线的距离是p

6．C 点P到其焦点的距离等于点P到其准线x??2的距离，得xP?7,yp??214 二、填空题

x2y2??1,a?1； 1．1,或2 当m?1时，

11my2x2a2?b231212??1,e??1?m?,m?,a??4,a?2 当0?m?1时，11a244mmx2y2???1 设双曲线的方程为x2?4y2??,(??0)，焦距2c?10,c2?25 2．

205 当??0时，

x2?y2?y2?4?1,???4?25,??20；

x2???1,???(?)?25,???20 当??0时，

???4?43．(??,?4)4．x??1k?) (1,??)(4?k)(?0k,?(k4)?(?1)k?或0,k1,? ?3p3 2p?6,p?3x,???? 222y2x25??1,c2??1?4,k?1 5．1 焦点在y轴上，则51kk三、解答题 1．解：由??y?kx?222?2x?3y?6，得2x?3(kx?2)?6，即(2?3k)x?12kx?6?0

2222第 28 页 共 36 页

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??144k?24(2?3k)?72k?48

2 当??72k?48?0，即k?22266,或k??时，直线和曲线有两个公共点； 3366,或k??时，直线和曲线有一个公共点； 33k 当??722?48?，即0k?k 当??722?48?，即0?66?k?时，直线和曲线没有公共点。 332．解：设点P(t,4t)，距离为d，d? 当t?

24t?4t2?5174t2?4t?5 ?1711时，d取得最小值，此时P(,1)为所求的点。 22y2x2?1； 3．解：由共同的焦点F1(0,?5),F2(0,5)，可设椭圆方程为2?2aa?25y2x21692?1双曲线方程为2?，点在椭圆上，P(3,4)??1,a?40 222b25?baa?25双曲线的过点P(3,4)的渐近线为y?b25?b2x，即4?b25?b2?3,b2?16

y2x2y2x2??1；双曲线方程为??1 所以椭圆方程为

40151694．解：设点P(2cos?,bsin?)，x?2y?4cos??2bsin???4sin??2bsin??4 令T?x?2y,sin??t,(?1?t?1)，T??4t?2bt?4,(b?0)，对称轴t?当

22222b 4bb?1,即b?4时，Tmax?T|t?1?2b；当0??1,即0?b?4时， 44Tmax?b2b?b?4??4,0 ?T|b??4 ?(x2?2ym)ax??4t?44?2b,b?4?2（数学选修2-1） 第二章 圆锥曲线 [综合训练B组]

一、选择题

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天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜

y2x22??1,?2?0?k?1 1．D 焦点在y轴上，则22kkx2y2??1； 2．C 当顶点为(?4,0)时，a?4,c?8,b?43,1648y2x2??1 当顶点为(0,?3)时，a?3,c?6,b?33,9273．C ΔPF1F2是等腰直角三角形，PF2?F1F2?2c,PF1?22c

PF1?PF2?2a,22c?2c?2a,e?c1??2?1 a2?14．C F1F2?22,AF1?AF2?6,AF2?6?AF1

22202 AF2?AF1?F1F2?2AF1?F1F2cos45?AF1?4AF1?8

7(6?AF1)2?AF12?4AF1?8,AF1?,

21727S???22??

22225．D 圆心为(1,?3)，设x?2py,p??,x?? 设y?2px,p?221621y； 392,y?9x 2p6．C 垂直于对称轴的通径时最短，即当x?,y??p,ABmin?2p

2二、填空题

c2k?8?9152?,k?4； 1．4,或? 当k?8?9时，e?2?ak?844c29?k?815?,k?? 当k?8?9时，e?2?a9442y2x281??1,??(?)?9,k??1 2．?1 焦点在y轴上，则81kk??kk?y2?4x2,x?8x?4?0,x1?x2?8,y1?y2?x1?x2?4?4 3．(4,2) ??y?x?2第 30 页 共 36 页

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