福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟数学理卷（一）及答案

2017年泉州市普通高中毕业班适应性练习（一）

理科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.

1.已知集合A?x|7?2?33,x?N,B?x|log3?x?1??1，则A??CRB?等于 （ ）

x????A． ?4,5? B．?3,4,5? C．?x|3?x?4? D．?x|3?x?5? 2. 设函数f?x??sin?x?????????cosx????，则（ ） 4?4????A．f?x???f?x?????2?? B．f?x??f??x???? 2?C．f?x??f?x?????????1fx??f?x? D．????? 2?2??3.我国古代算书《孙子算经》上有个有趣的问题“出门望九堤”：今有出门重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？现在我们用右图所示的程序框图来解决这个问题，如果要使输出的结果为禽的数目，则在该框图中的判断框中应该填入的条件是 （ ）

A． S?10000? B． S?10000? C．n?5 D． n?6

????????4.在?ABC中，?ABC?90，BC?6，点P在BC上，则PC?PA的最小值是 （ ）

0 第 1 页 共 1 页

A．-36 B． -9 C. 9 D．36

5.设Sn为正项等比数列?an?的前n项和，若a4?a8?2a10，则S3的最小值为 （ ） A．2 B．3 C. 4 D．6

ex?e?x6.函数f?x??的图象大致是（ ）

lnxA． B．

C. D．

7. 下图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为（ ）

A．32? B．48? C. 50? D．64?

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8. 已知抛物线C:y2?4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q,M,N分别为

PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若?NRF?600，则FR等于（ ）

A．

1 B． 1 C. 2 D．4 29. 设a???01???sinx?cosx?dx，且?x2??的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开

ax??11 C. 64 D． 25664n式中的所有项的系数之和是（ ） A． 1 B．

10. 在半径为1的圆O内任取一点M，过M且垂直OM与直线l与圆O交于圆A,B两点，则AB长度大于3的概率为（ ）

A．

3111 B． C. D． 432311. 斐波那契数列?an?满足：a1?1,a2?1,an?an?1?an?2n?3,n?N?*?.若将数列的每一项按照

下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn，则下列结论错误的是（ ）

A． Sn?1?an?1?an?1?an B．a1?a2?a3???an?an?2?1 C. a1?a3?a5???a2n?1?a2n?1 D．4?cn?cn?1???an?2?an?1

2G为AEE,F分别是BB1,DD1的中点，12.在直四棱柱ABCD?A底面ABCD为菱形，1BC11D1 中，

的中点且FG?3，则?EFG的面积的最大值为（ ）

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A．

933 B．3 C. 23 D． 24第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13.若复数z满足z??1?i??1?i，则z?．

22?2x?y?2?0?14.若x,y满足约束条件?x?y?2?0，若z?ax?y有最小值6，则实数a等于．

?4x?y?4?0?15.已知F1,F2为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若?PF1F2的三边PF成等差数1,F1F2,PF2列，则C的离心率为．

216.关于x的方程?k?7?x?4lnx?1?k?0有两个不等实根，则实数k的取值范围是． x2三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知?ABC中，AC?2,A?（1）求AB；

（2）若D为BC边上一点，且?ACD的面积为

18.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，BE?AD,BC?3,AD?15,BE?33.把?ABE沿BE折起，使得AC?62，得到四棱锥A?BCDE.如图2所示.

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2?,3cosC?3sinB. 333，求?ADC的正弦值. 4

（1）求证：面ACE?面ABD；

（2）求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值.

19. 据统计，某物流公司每天的业务中，从甲地到乙地的可配送的货物量

X?40?X?200,单位：件?的频率分布直方图，如图所示，将频率视为概率，回答以下问题.

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（1）求该物流公司每天从甲地到乙地平均可配送的货物量；

（2）该物流公司拟购置货车专门运营从甲地到乙地的货物，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每 趟最多只能装载40 件货物，满载发车，否则不发车。若发车，则每辆车每趟可获利1000 元；若未发车，

则每辆车每天平均亏损200 元。为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应该购置几辆货 车？

20.设圆F直线l过点F2?2,0?且不与x轴、y轴垂直，且与圆F1，1于1:x?y?4x?0的圆心为F22E. C，D两点，过F2作FC的平行线交直线F11D于点

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（1）证明EF1?EF2为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线?，直线l交?于M,N两点，过F2且与l垂直的直线与圆F1交于P,Q两点，求?PQM与?PQN的面积之和的取值范围.

21. 已知函数f?x??xlnx?ax?b在1,f?1?处的切线为2x?2y?1?0. （1）求f?x?的单调区间与最小值；

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??

x（2）求证：e?lnx?cosx+sinx?1. x

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

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??x??在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??y???2t2（为参数）

，圆C的方程为t2t2x2?y2?4x?2y?4?0.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求l的普通方程与C的极坐标方程； （2）已知l与C交于P,Q，求PQ.

23.选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??x?2,x?R. （1）解不等式f?2x??12?f?x?3?；

（2）已知不等式f?2x??f?2x?3??x?a的解集为M，且M??范围.

?1?,1???，求实数a的取值?2?

试卷答案

一、选择题

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1-5: ABBBD 6-10: DCBDA 11、12：CB

二、填空题

13. ?i 14. 5 15.

1 16.?4,7? 2三、解答题

17.解析：（1）因为A?2??，所以B??C， 33由3cosC?3sinB得，cosC?3sin?????C?， ?3?所以cosC?3???3?313cosC?sinC??cosC?sinC，

?22?2?2所以

133cosC?sinC，即tanC?. 223又因为C??0,??， 所以C??6，从而得B??3?C??6，所以AB?AC?2.

CDsin（2）由已知得?AC?12?6?3333，所以CD?， 4277，AD?， 42222CD?cosC?在?ACD中，由余弦定理得，AD?AC?CD?2AC?由正弦定理得，

AC?sinC22ADAC??，故sin?ADC?. sinCsin?ADCAD718.解：（1）证明：在等腰梯形ABCD中BC?3,AD?15,BE?AD，可知AE?6,DE?9. 因为BC?3,BE?33,BE?AD，可得CE?6.

又因为AE?6,AC?62，即AC?CE?AE，则AE?EC. 又BE?AE,BE?EC?E，可得AE?面BCDE，故AE?BD. 又因为tan?DBE?222DE9??3，则?DBE?600， BE33第 10 页 共 10 页

tan?BEC?BC330，则?BEC?30，所以CE?BD， ??BE333又AE?EC?E，所以BD?面ACE， 又BD?面ABD，所以面ABD?面ACE； （2）

设EC?BD?O，过点O作OF//AE交AC于点F，

以点O为原点，以OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

O?BCF.

在?BCE中，∵?BEO?30，BO?EO， ∴EO?0?23??3??9?9333,0,0,C0,,0,E0,?,0?， ,CO?,BO?，则B???????2?222?2??2??∵FO//AE,FO?9?1?AE,AE?6，∴FO?3，则F?0,0,3?,A?0,?,6?， 22???????????93?D?,0,0∵DE//BC,DE?9，∴ED?3BC，∴???2?， ???????339??????????????933?∴BE???2,2,0??,AE??0,0,6?,CA??0,?6,6?,CD????2,?2,0??，

??????设平面ABE的法向量为n1??x1,y1,z1?， ??????6z1?0??n1?AE?0???由??????，得?33， 9?x1?y1?0?n1?BE?0??22

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??取x1?3，可得平面ABE的法向量为n1??3,?1,0，

????设平面ACD的一个法向量为n2??x2,y2,z2?，

?????????6y1?6z1?0?n2?CA?0???????由???，得?93， 3?x1?y1?0?n2?CD?0???22???取x1?1，可得平面ABE的一个法向量为n2?1,?33,?33.

???????n1?n2432165设平面ABE与平面ACD所成锐二面角为?，则cos????， ?????55255n1n2所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为

2165. 5519.解：（1）在区间?100,160?的频率为1??从甲地到乙地每天的平均客流量为：

11?1?1???40?， ?3203201602??1?1??1??1?60???40??100???40??140??180???40??125.

2?320??160??320?（2）从甲地到乙地的客流量X在?40,80?,?80,120?,?120,160?,?160,200?的概率分别为

1111,,,. 8428设运输公司每天的营业利润为Y. ② 若发一趟车，则Y的值为1000；

②若发2趟车，则Y的可能取值为2000，800，其分而列为

Y 2000 800 P 7 81 871?800??1850； 88故E?Y??2000?③ 若发3趟车，则Y的可能取值为3000，1800，600，其分布列为

Y 3000 1800 600

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P 5 81 41 8故E?Y??3000?511?1800??600??2400； 848④ 若发4趟车，则Y的可能取值为4000，2800，1600，400其分布列为

Y 4000 2800 1600 400 11 241111故E?Y??4000??2800??1600??400??2350；

8248P 1 81 8因为2400>2350>1850>1000，

所以为使运输公司每天的营业利润最大，该公司每天应该发3趟车. 20.（1）

圆F1:?x?2??y?4，圆心F，半径r?2，如图所示. 1??2,0?22因为FC//EF2，所以?FCD??EF2D.又因为F1D?FC??F1DC， 111，所以?FCD1所以?EF2D??F1DC，

又因为?F1DC??EDF2，所以?EF2D??EDF2， 故ED?EF2，可得EF1?EF2?EF1?ED?2?F1F2，

根据双曲线的定义，可知点E的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线（顶点除外），

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y2?1?y?0?. 易得点E的轨迹方程为x?32y2?1?y?0?. （2）?:x?32依题意可设l:x?my?2?m?0?,M?x1,y1?,N?x2,y2?， 由于PQ?l，设lPQ:y??m?x?2?. 圆心F到直线PQ的距离d?1??2,0??m??2?2?1?m，

2?4m1?m2，

所以PQ?2r?d?2241?3m21?m22又因为d?2，解得0?m?1. 3?2y2?1?x?2联立直线l与双曲线?的方程?，消去x得?3m?1??12my?9?0， 3?x?my?2?则y1?y2??12m9,yy?， 123m2?13m2?122所以MN?1?my2?y1?1?m?y1?y2?2?4y1y2?6?m2?1?1?3m2，

记?PQM,?PQN的面积分别为S1,S2，

112m2?11?12则S1?S2?MN?PQ?， 2421?3m?3?2m?12又因为0?m?1，所以S1?S2??12,???，所以S1?S2的取值范围为?12,???. 321.解：（1）f??x??1?lnx?a，故f??1??1?a?1，得a?0，又2?2f?1??1?0， 所以f?1??a?b?111，得b?.则f?x??xlnx?，f??x??1?lnx， 222当x??0,?时，f??x??0,f?x?单调递减；当x??,???时，f??x??0,f?x?单调递增，

ee

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?1????1???

所以f??11?1???.

?e?min2e（2）令g?x??x?sinx,x?0，g??x??1?cosx?0，g?x?递增， 所以g?x??g?0??0，所以当x?0时，x?sinx， 令h?x??ex?x?1,x?0，h??x??ex?1?0，h?x?递增，

xh?x??h?0??0，所以当x?0时，e?x?1，

sinx?1x，由?1?cosx?1,x?sinx，及e?x?1得， xsinx?111ex?lnx?x?1?lnx,cosx??1?1?，故原不等式成立，只需证x?1?lnx?2?，

xxx1322即证x?x?1?xlnx?0.由（1）可得xlnx??，且x?x?1?，

e4312所以x?x?1?xlnx???0，则原不等式成立.

4ex要证e?lnx?cosx?1??3??22.解：（1）曲线C的普通方程为?x????y??1， ???2??2??把x??cos?,y??sin?代入，化简得：曲线C的极坐标方程为??2cos???22?????； 3?（2）将?????AC2,??0代入曲线的极坐标方程，得，∴点极坐标， ??2????1212???设M??,??为直线l上除点A外的任意一点，则

在?OAM中，由正弦定理得

OMOA?，

sin?OAMsin?OMA即

?sin3?4?2???sin?????3?，即?sin????????1为直线l的极坐标方程. ?3?23.解：（1）由a?1，当x?1时，2?x?2??x?1，解得x?3，此时1?x?3， 当0?x?1时，?2?x?1??x?1，解得x?11，此时?x?1， 33 第 15 页 共 15 页

当x?1时，?2?x?1???x?1，解得x?1，此时无解. 所以不等式的解集为?x|??1??x?3?. 3?（2）因为f?x??g?x?在??1,3?内有解，令h?x??f?x??g?x?，

?x?2?a?x?1??则h?x????3x?2?a?0?x?1?，又h?x??0有解，

?2?x?a?x?0??x?a?2且x?1，x?2?a且0?a?1，x?2?a且x?1， 3三者之一有解即可，解得a??1.

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