坐标计算

第六章→第三节→导线测量内业计算

导线计算的目的是要计算出导线点的坐标，计算导线测量的精度是否满足要求。首先要查实起算点的坐标、起始边的方位角，校核外业观测资料，确保外业资料的计算正确、合格无误。 一、坐标正算与坐标反算 1、坐标正算 已知点的坐标、

边的方位角、

两点间的水平距离，计算待

定点的坐标，称为坐标正算。 如图6-6 所示，点的坐标可由下式计算：

式中

、

为两导线点坐标之差，称为坐标增量，即：

=1000、

=1000、方位角

【例题6-1】已知点A坐标，=35°17＇36.5\，

两点水平距离

=200.416，计算点的坐标？

35o17＇

36.5\ 36.5\ 2、坐标反算

35o17＇

已知两点的坐标，计算两点的水平距离与坐标方位角，

称为坐标反算。如图6-6 可知，由下式计算水平距离与坐标方位角。 （6-3）

（6-4）

式中反正切函数的值域是-90°～+90°，而坐标方位角为0°～360°，因此坐标方位角的值，可根据正切角值换算为坐标方位角。 【例题6-2】=3712227.860、

、水平距离

=3712232.528、

=523620.436、 、

的正负号所在象限，将反

=523611.598，计算坐标方位角计算坐标方位角。

=62°09＇29.4\29.4\ 注意：一直线有两个方向，存在两个方位角，式中：

、

的计算是过A点坐标纵轴至直线的坐标方位角，若所求坐标方位角为，则应是A点坐标减点坐标。

坐标正算与反算，可以利用普通科学电子计算器的极坐标和直角坐标相互转换功能计算，普通科学电子计算器的类型比较多，操作方法不相同，下面介绍一种方法。 【例题6-3】坐标反算，已知=1771.03、

=2365.16、

=1181.77、、水平距离

。

=1719.24，试计算坐标方位角

键入1771.03-2365.16按等号键［=］等于纵坐标增量，按储存键［

］，

键入1719.24-1181.77按等号键［=］等于横坐标增量，按［］键输入，按［

］显示横坐标增量，按［］键输入，按第二功能键［2ndF］，

再按［］键，屏显为距离，再按［］键，屏显为方位角。 【例题6-4】坐标正算，已知坐标方位角=200.40，试计算纵坐标增量

横坐标增量

=294°42＇51\，。

键入294.4251，转换为以度为单位按［DEG］，按［］键输入，键入200.40，按［］键输入，按第二功能键［2ndF］，按［］屏显

，按［］屏显

。

第六章→第三节→导线测量内业计算 二、附合导线的坐标计算 (一）角度闭合差的计算与调整 1、联测边坐标方位角计算（坐标反算） 用式（6-4）计算起始边与终边的坐标方位角。 2、导线各边坐标方位角的计算

如图6-7所示，根据已知坐标方位角位角为： （6-5）

，观测右角，则各边方

式中；n—右角个数，包括两个联接角；

—按观测角值推算CD边的方位角； —右角之和。

从6-5式可知，按导线右角推算坐标方位角时，导线前一边的坐标方位角等于后一边的坐标方位角加180o再减去两相邻边所夹右角，即： （6-6） 式中：

—已知后方边方位角； —待求前方边方位角。

若导线转折角为左角时，采用6-7式计算各边方位角，推算终边方位角

，即：

（6-7）

计算坐标方位角的结果，若出现负值时，则加360°；若大于360°减去360°。

3、角度闭合差的计算与调整

理论上，根据观测角值推算出的终边方位角角

等于终边已知方位

，由于观测角值中不可避免含有误差，它们之间的差值，称为附

表示。

合导线的角度闭合差，用 （6-8）

角度闭合差的容许误差见表6-3，角度闭合差在容许范围内，说明导线角度测量的精度是合格的。这样就可以将角度闭合差进行调整，以满足终边方位角

等于终边已知方位角

，使角度闭合差等于零。

以相

角度闭合差调整的原则是，当观测导线右角时，角度闭合差

同符号平均分配于各个观测右角上；当观测导线左角时，角度闭合差以相反符号平均分配于各个观测左角上。每个角的改正值按下式计算： 改正后角值为： （6-10）

（二）坐标增量闭合差计算和调整

坐标增量—两点的坐标之差。理论上，附合导线各边坐标增量的代数和应等于起点和终点已知坐标之差，即： （6-11）

但是由于量边误差和角度虽经过调整，但仍存在残余误差的影响，使推算出来的坐标增量总和不等于已知两端点的坐标差，其不符值称为

（右角取“+”，左角取“-”）（6-9）

附合导线坐标增量闭合差。

如图6-8所示，由于增量闭合差的存在，使附合导线在终点CC＇不能闭合，产生

和

纵坐标和横坐标增量闭合差，即：

（6-12）

CC＇的距离值，称为导线全长闭合差，则： （6-13）

导线愈长，导线全长闭合差也愈大，所以衡量导线精度不能只看导线全长闭合差的大小，应考虑导线总长度，则需要采用导线全长闭合差与导线全长

之比值来衡量，即导线全长相对闭合差，用表示：

（6-14） 式中

—导线边总长度。K即为导线测量的精度，通常化为分子

为1，分母为整数的形式表示。

导线全长容许闭合差见表6-3。当大于容许闭合差时测量结果不合格，应进行外业工作和内业计算检查；当小于容许闭合差时，测量成果合格，将坐标增量闭合差、调整到各增量中，坐标增量闭合差调整的原则是以相反符号，将坐标增量闭合差按边长成正比例分配到各坐标增量中去，对于因计算凑整残余的不符值分配到长边的坐标增量上

去，使调整后的坐标增量代数和等于已知两端点的坐标差。设纵坐标增量改正数为，横坐标增量改正数，则边长的坐标增量改正数按下式计算：

坐标增量改正数之和必须满足下式的要求，也就是说，将闭合差必须分配完，使改正后的坐标增量满足理论要求。

改正后的坐标增量等于各边坐标增量计算值加相应的改正数，改正后的坐标增量代数和应等于两已知点坐标差，以此作为校核。即：

第六章→第三节→导线测量内业计算 （三）导线点坐标计算

如图6-8所示，附合导线起始点和终点坐标是已知的，用起始点已知坐标加上B1边改正后的坐标增量等于第一点的坐标，用第一点坐标加上12边改正后的坐标增量等于第二点的坐标，依此类推，可求出其它各点的坐标。即：

为了检查坐标推算是否存在错误，推算至终点应与已知坐标完全一致，以此作为计算校核。

【例题6-5】某一级附和导线外业成果如图6-9，计算各点坐标并检验是否满足精度要求。计算结果如表6-4所示。 (1)、绘制导线草图，如图6-9。 (2)、坐标反算

(3)、角度闭合差计算

06\-1187o23＇46\＇20\ (4)、角度闭合差限差 按一级导线 4、改正后角值

=-3\

\＞18\合格

=328o31＇20\＇38 =-18\

=75o55＇

例：

106°52′00″－3″=106°51′57″ 203°00′24″－3″=203°00′21″

????????

=188°02′58″－3″=188°02′55″

5、推算方位角 例：

?????????????

6、坐标增量闭合差计算

第6、7栏各坐标增量纵向相加得：

7、精度计算

74.123-74.265=-0.142

74.123 1345.560

8、坐标增量闭合差闭合差分配 例:

的改正数计算：

校核

=0.142 =0.042

9、改正后的坐标增量 例:12边的增量： 10、各导线点坐标推算 例： 第一点的坐标

逐点推算至终点应等于点的已知坐标，作为校核。 附合导线坐标计算 表6-4

第六章→第三节→导线测量内业计算 三、闭合导线坐标计算

闭合导线坐标计算的步骤与附合导线基本上是相同的，由于几何图形的不同，构成的检核条件不同，因此在计算角度闭合差、坐标增量闭

合差及闭合差调整方面不同于附合导线，现将不同之处分述如下： （一）角度闭合差的计算和调整

由几何原理可知，多边形内角之和的理论值应为

（6-19）

式中 —为多边形内角数

由于观测角值中不可避免含有误差，实测的内角和内角和

之差称为闭合导线角度闭合差。以

与理论上的

表示，即：

（6-20）

角度闭合差与限差比较

时，观测成果符合要求，可进行闭

合差的调整。闭合导线角度闭合差的调整原则是，角度闭合差以相反符号平均分配给每个内角去，如果不能均分，闭合差的余数应分配给短边的夹角。

（二）各边方位角的计算

闭合导线点编号为顺时针时，内角是右角，推算方位角按右角公式；闭合导线点编号为逆时针时，内角是左角，推算方位角按左角公式。 （三）增量闭合差的计算和调整

如图6-10所示，闭合导线纵坐标增量之和和横坐标增量之和均等于零

（6-21）

由于测量误差的存在，不能满足式6-21的要求，所以产生坐标增量闭合差，即： （6-22）

闭合导线坐标计算

坐标增量闭合差的调整与附合导线相同，坐标计算中应推算回已知点作为校核，【例题6-6】见表6-5 第六章→第四节→三、四等水准测量

三、四等水准路线用于建立小区域首级控制网和工程施工高程控制网。水准观测的主要技术要求见表6-6，仪器等级采用DS3级水准仪，水准尺不同于普通水准尺，它是双面水准尺，每次观测使用两把尺子，称为一对，每根水准尺一面为红色，另一面为黑色。一对水准尺的黑面尺底刻划均为零，而红面尺一根尺底刻划为4.687，另一根尺底刻划为4.787，这一数值用表示，称为同一水准尺红、黑面常数差。下面以 四等水准测量为例，介绍用双面水准尺法在一个测站的观测程序、记录与计算。

一、观测方法与记录

四等水准测量每站的观测顺序和记录见表6-7，括号中数字1～8号代表观测记录顺序，9～18号为计算的顺序与记录位置。

1、照准后视水准尺黑面，读取下、上、中三丝读数，填入编号（1）、（2）、（3）栏；

2、将水准尺翻转为红面，后视水准尺红面，读取中丝读数，填入编号（4）栏；

3、前视水准尺的黑面，读取下、上、中三丝读数，填入（5）、（6）、（7）栏；

4、将水准尺翻转为红面，前视水准尺红面，读取中丝读数（8）栏； 这样的观测顺序简称为“后—后—前—前”。三等水准测量的顺序为“后—前—前—后”，观测顺序有所改变。 第六章→第四节→三、四等水准测量 二、计算与检核

（一）测站上的计算与检核 1、视距计算

根据视线水平时的视距原理（下丝－上丝）×100计算前、后视距离。

后视距离（9）=（1）－（2） 前视距离 （10）=（5）－（6）

前后视距差（11）=（9）－（10），前后视距离差不超过5m。 前后视距累计差 （12）=上一个测站（12）+本测站（11），前后视距累计差不超过10m。

2、同一水准尺黑、红面读数差计算（ （13）=（3）＋

－（4）

、

）

（14）=（7）＋－（8） 同一水准尺黑、红面读数差不超过3mm。 3、高差计算与检核

黑面尺读数之高差 （15）=（3）－（7） 红面尺读数之高差 （16）=（4）－（8） 四等水准测量记录计算表表6-7 黑、红面所得高差之差检核计算

（17）=（15）－（16）±0.100=（13）－（14） 式中 ±0.100为两水准尺常数K之差。 黑、红面所得高差之差不超过5mm。 4、计算平均高差 （二）每页的计算和检核 1、总视距计算与检核 本页末站（12）= 本页总视距=

－

2、总高差的计算和检核

当测站数为偶数时： 总高差= =

当测站为奇数时：

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