2007第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答案

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第三届北方数学奥林匹克

第一天

2007年8月1日 9:00 —12:00

一、(本题25分) 在锐角 ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N使AN=AM.证明：AN⊥CN证法一：连结DM，

由AB为直径,BD⊥AC得A、B、M、D四点共圆． ∴∠ABD=∠AMD.

又∠ACE=900 ∠CAE=∠ABD=∠AMD． ∴ ADM∽ AMC

∴AD AC=AM2=AN2,

==

∴AN⊥CN．(射影定理的逆定理)

证法二：连结BM、EN，则由射影定理， 得 AM2

AN2

AE AB.

∴ AEN ANB，∴∠ANE=∠ABN， 又B,C,D,E四点共圆，∴∠ABN=∠ACE ∴∠ANE=∠ACE∴A,E,N,C四点共圆， ∴∠ANC=∠AEC=90 ，即AN⊥CN.

二、(本题25分) 设 ABC三边长分别为a,b,c，且a+b+c=3. 4

求f(a,b,c)=a2+b2+c2+abc的最小值.

3442

解：f(a,b,c)=a2+b2+c2+abc=(a+b+c) 2(ab+bc+ca)+abc

33

2

=9 2 ab+bc+ca abc

3

因为a,b,c是 ABC三边长，且a+b+c=3，所以 0<a,b,c<

3

， 2

333 a+ b+ c

33313于是 ( a)( b)( c)≤( 22238

27

即 ab+bc+ca abc≤

33713

∴ f(a,b,c)≥9 2×=.等号当且仅当abc1时取到，

33

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故f(a,b,c)的最小值为

. 3

2an

三、(本题25分) 在数列{an}中，a0=2007， an+1= (n∈N).

an+1

求证：当0≤n≤1004时，有[an]=2007 n (其中[x]表示不超过x的最大整数). 证明：先考虑一般问题：设a0>0,an+1

2an1

，求证：[an]=a0 n(0≤n≤(a0+2)) =

2an+1

对于任何正整数n，由递推公式知an>0, 由于an an+1

2

ana

=an =n>0，所以有a0>a1>a2> >an>

an+11+an

当n为正整数时，有

n

ai 11

=a0 ∑(1 an=a0+∑(ai ai 1)=a0 ∑

1+ai 1i=1i=11+ai 1i=1

nn

n

=a0 n+∑(

i=1

1

>a0 n 1+ai 1

另一方面，由于an 1>a0 (n 1)，且a0>a1>a2> >an> 所以，n=1时，∑

n≥2时，

11

=<1， aa++11i=1i 10

n

1nn1

（ n≤(a0+2),∴a0 n+2≥n) <≤≤1∑1+an 1a0 n+22i=11+ai 1总之，∑

1

<1， a1+i=1i 1

n

n

n

故有，an=a0 n+∑(

i=1

1

)<a0 n+1 1+ai 1

所有[an]=a0 n.

取a0=2007，即得本题．

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四、(本题25分) 平面上每个点被染为n种颜色之一，同时满足： (1)每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上； (2)至少有一条直线上所有的点恰为2种颜色. 求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.

解：由已知n≥4，若n=4，在平面上取一定圆O及上面三点A、B、C，将弧AB(含A不含B)，弧BC(含B不含C)，弧CA(含C不含A)，分别染为1、2、3色，平面上其他点染为4色，则满足题意且不存在四个不同色的点共圆.所以n≥5.

当n=5时，假设不存在四个互不同色的点共圆，由条件(2)知，存在直线l上恰有两种颜色的点(设l上仅有颜色1，2的点)，再由条件(1)知存在颜色分别为3，4，5的点A、B、C不共线，设过A、B、C的圆为⊙O，

若⊙O与l有公共点，则存在四个互不同色的点共圆，矛盾；

若⊙O与l相离，过O作l的垂线交l于D，

设D的颜色为1，垂线交⊙O于点E，S，如图，

设E的颜色为3，考虑l上颜色为2的点F，FS交⊙O于G∵EG⊥GF，∴D、E、F、G四点共圆，由假设G只能为3又B，C必有一点不同于S，设为B，SB交l于H， ∵EB⊥BH，∴B，E，D，H四点共圆，

l

∴SB SH=SE SD=SG SF，∴B、H、F、G四点共圆. 若H为1色，则B、H、F、G互不同色且共圆； 若H为2色，则B、H、D、E互不同色且共圆.

综上，假设不成立，∴当n=5时，存在四个互不同色的点共圆. 所以n的最小值是5.

第二天

2007年8月2日 8:30 —11:30

αβ 1 tantan 22π 五、(本题25分) 设α,β∈(0,)，求A=

cotα+cotβ2

1 tan2

解：cotα+cotβ=

2tan

1 tantan

22∴A=

cotα+cotβ

的最大值.

2

α+

1 tan22tan

β=

(tan

α+tan

β)(1 tan

αtan

β

2

2

2tan

2

tan

2

2

)

αβ 2tan

tan 1 tantan 22 22 =

αβ αβ

tan+tan 1 tantan

22 22

≤

=

2

令tan

α2

=x

，tan

β2

=

y，则A=

再令t=，则t∈(0,1)，

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t(1 t) t2+t (t+1)2+3(t+1) 22

所以A≤===3-(t+1+)

1+t1+tt+11+t

≤3-2(t+1)

2

=3-22. t+1

当且仅当t=2 1，即tan

α

2

2

=tan

β

2

=2 1时，等号成立.

αβ 1 tantan 22 所以，A=

cotα+cotβ

的最大值是3-22.

1

六、(本题25分) 已知f(x)=lg(x+1) log3x.

2(1)解方程f(x)=0； (2)求集合M

{nf(n

2

214n 1998)≥0，n∈Z}的子集个数.

=

(1)解：任取0<x1<x2，则

x+11x1

-log31 f(x1) f(x1)=lg(x1+1) lg(x2+1)-(log3x1 log3x2)=lg1

2x2x2+12

=lg

xx1+1

-log91.

x2x2+1

∵

x+1xx1+1x1

,∴lg1>lg1. >

x2+1x2x2+1x2

x1

xx2xx+1

∴f(x1) f(x1)>lg1-log91=lg1

x2lg9x2x2+1

lg

∵0<lg9<1,∴f(x1) f(x1)>lg∴f(x)为(0,+∞)上的减函数，

注意到f(9)=0，∴当x>9时，f(x)<f(9)=0，当0<x<9时，f(x)>f(9)=0， ∴f(x)=0有且仅有一个根x=9.

(2)由f(n2 214n 1998)≥0 f(n2 214n 1998)≥f(9)

x1x

-lg1=0 x2x2

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22 n 214n 1998≤9 n 214n 2007≤0∴ 2 2

n 214n 1998>0 n 214n 1998>0

(n 223)(n+9)≤0

222

(n 107)>1998+107=13447>115 9≤n≤223

n>222或n< 8

9≤n≤223

n≥223或n≤ 9

∴n=223或n= 9，∴M={ 9,223}，M的子集的个数是4.

七、(本题25分) 设

n是正整数, a其中[x]表示不超过x的最大整数)，求同时满足下列条件的n的最大值：

(1) n不是完全平方数；(2) a3n2.

解: 由

(1)得 aa+1 所以 a2＜n＜a2+2a+1即

a2+1≤n≤a2+2a

令 n=a2+t t∈{1,2,…,2a}

由(2)有 a3a4+2a2t+t2 a2t2

再由 a3a4+2a2t+t2 a3t2 记 t

2=ka3 则 t= 由于 t,a,n∈

N+,所以N+

由于t∈

{1,2,…,2a}, 所以 t=≤

2a 即

2 所以或2, ka≤4

at

a≤4

由于n=a2+t, 且a≤4, t≤2a,

所以 令 a=4 t=2a=8, 则 n=a2+t=16+8=24为最大. 经验证n=24满足(1),(2)两个条件,所以n的最大值24.

八、(本题25分) 设 ABC的内切圆半径为1，三边长BC=a,CA=b,AB=c.若a、b、c都是整数，求证： ABC为直角三角形.

证明：设 ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D,E,F，记AE=AF=x，

BF=BD=y，CD=CE=z，则

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x=

,y=,z=

222

∵ a,b,c都是整数，

∴ b+c a,c+b a,a+b c同为偶数或同为奇数.

于是，x,y,z均为整数或均为奇数的一半。下面证明后者是不可能的. ∵ r=1，∴ x=cot

ABC

,y=cot,z=cot 222

11+

x+yCABxyx+y

又cot=tan(+)=， ∴z= =

1222xy 1xy 11 xy

若x,y均为奇数的一半，不妨设x=则 z=

2m 12n 1

,y=(m,n∈N*)， 22

4(m+n 1)

4mn 2m 2n 3

∵4(m+n 1)为偶数， 4mn 2m 2n 3为奇数，∴z不可能是奇数的一半，矛盾。 故x,y,z均为整数。

不妨设A≤B≤C，则C≥60，于是z=cot

C

≤3，又z∈N*，∴z=1，即z=r=1 2

∴四边形DCEI为正方形，其中I为 ABC的内心，即∠ACB=90.

故 ABC为直角三角形.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3cf1.html