第八讲 立体几何（一，小题）

第八讲 立体几何（一）

一 【考点提示】 （一）直线和平面的位置关系

1. 直线和直线的位置关系划分为_________________________ 2. 平面和平面的位置关系划分为_________________________

3. 直线和平面的位置关系划分为_________________________ 4. 直线和平面平行垂直的基本判定：

线线平行___________ 面面平行___________ 线线垂直___________ 面面垂直___________

总结：__________________________________________________________

5. 直线平面平行垂直的判定与性质：

线面平行：______________________________________________________ 面面平行：______________________________________________________ 线面垂直：______________________________________________________ 面面垂直：______________________________________________________ 6. 三垂线定理:______________________________________________________ 逆定理__________________________________________________________

（二）简单的几何体

1. 柏拉图立体共有___种， 它们分别是_______________________________ 它们分别是由____________________________________________构成的 2. 正四面体的棱长为a，高线为______，外接球半径_______，内切球半径_______, 对棱距_______，体内一点到各面距离之和_____________

3. 直角四面体的特点是__________________

直角四面体的棱长为a, b, c , 斜面的面积___________斜面上的高 ____________外接球半径__________内切球半径_____________

4. 正方体棱长为a，对角线长_________，内切球半径________，外接球半径 ________用平面去截正方体，可以形成的截面有______________________________

___________________________________

5. 正八面体棱长为a，对顶点距离______，内切球半径______，外接球__________ 6. 球的体积公式__________________，球的表面积公式_________________ 球冠的表面积公式______________，球面距离的定义 ____________________________

求法（1）______________（2）______________（3）_________________ 经线是_______________________ 经度差是__________________________ 纬线是_______________________ 纬度差是__________________________ 球心到球的一个截面的距离的求法：____________________________________

7. 柱体的体积公式_________________ 锥体的体积公式_______________________

（三）特殊定理

1. 平面勾股定理______________________________________________________ 空间勾股定理______________________________________________________ 直角三角形斜边高线的性质列表______________________________________

2. 射影定理的数值描述_______________________________________________ 3. 和射影定理相关的结论（1）__________________________________________ （2）________________________________________

二【典例分析】

1.直线与平面的位置关系

例1 （2006年重庆理）对于任意的直线l与平面?，在平面?内必有直线m，使m与

l（ ）

（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线

例2（2006年陕西理）已知平面?外不共线的三点A,B,C到?的距离都相等，则正确的结论是

（A）平面ABC必不垂直于? （B）平面ABC必平行于?

2

（C）平面ABC必与?相交

（D）存在?ABC的一条中位线平行于?或在?内

例3 设m,n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m??，n∥?，则m?n； ②若???,???，则?∥?； ③若m∥?，n∥?，则m∥n； ④若?∥?，?∥?，m??，则m??. 其中正确命题的序号是（ ）

A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④

例4 设?,?为两个平面，m,l为两条直线，且l??,m??，有如下两个命题： ①若?∥?，则m∥l；②若l?m，则???，那么（ ） A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①，②都是真命题 D.①，②都是假命题

例5 已知设?,?为两个不同平面，下列命题中的假命题是（ ） m,l为两条不同直线，A.若m∥l，m??，则l?? B.若m∥?，????l，则m∥l C.若m??，m??，则?∥? D.若m??，m??，则???

2. 正四面体

例 6 棱长为56的正四面体内一点P到该四面体的三个面的距离分别是1,2,3，则P点到第四个面的距离为______

例7 正四面体P?ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，下面四个结论中不成

立的是

A.BC//平面PDF B.DF?平面PAE C.平面PDF?平面ABC D.平面PAE?平面ABC

例8 将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ） A.

3?2626 B.2? 332643?26 D. 33 C.4?

例9 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球心的一个截面如图所示，则图中三角形的面积是( ) A.

23 B. C.2 D.3 22

3. 直角四面体

例10三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1,3,6，过此三棱锥的四个顶点的球的体积为________

例11已知P,A,B,C是以O为球心的球面上的四个点，PA,PB,PC两两垂直，

PA?PB?PC?2，则球的半径是_______,球心到平面ABC的距离是_______

例12在三棱锥O?ABC中，三条棱OA,OB,OC两两相互垂直，且OA?OB?OC,M是边AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正弦值是________

例13 (2010辽宁理12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，

4

使这六根铁条端点处相连能够焊成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 A.(0,6?2) B.(1,22) C.(6?2,6?2) D.(0,22)

4. 正方体和长方体

例14 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________

例15 已知正方体的外接球的体积为 A. 22 B.

例16 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43?，则该正方体的表面积为______

例17甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都相切，丙球过这个正方体的所有顶点，则甲乙丙三球的半径之比为

A.1:2:3 B.1:2:3 C.1:22:33 D.1:34:39

例18 下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M,N,P分别是所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是

32?，那么正方体的棱长等于 3234243 C. D. 333

A.2,3,4 B.1,3,4 C.1,2,4 D.1,2,3 例19 在正方体ABCD?A?B?C?D?中，过对角线BD?的一个平面交AA?于E，交CC?于F，则：

例41.（2010北京文）（8）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，A1E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积： （A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关； （C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；

例42（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中， 这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ） A．22 C．4

三 【2012年高考题选讲】

1.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=2。将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直. B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直. C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.

D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

B．23

D．25 knm

2.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上，且SC?2；则此棱锥的体积为（ ） SC为球O的直径，?ABC是边长为1的正三角形，

3.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ） A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

4.【2012高考真题四川理10】如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面?内，过点O作平面?的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面?成45?角的平面与半球面相交，所得交线上到平面?的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足

?BOP?60?，则A、P两点间的球面距离为（ ）

(A)3222 (B) (C) (D)

6632A、Rarccos23?R?R B、 C、Rarccos D、 4343ABDPαCO

5.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?A1B1C1，

CA?CC1?2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）

A.

25553 B. C. D.

5535

12

6.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为

A．12π B.45π C.57π D.81π

7.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都.相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是

A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱

8.【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是

（A）(0,2) （B）(0,3) （C）(1,2) （D）(1,3)

9.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）

A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125

10.【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=22

E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B

11.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是

3 C

2 D 1

CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是____________。

D1A1DAB1NCBC1M

12.【2012高考真题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。

13.【2012高考真题山东理14】如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1?EDF的体积为

____________.

14【2012高考真题辽宁理16】已知正三棱锥P?ABC，点P，A，B，C都在半径为314

的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。

15.【2012高考真题上海理14】如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，若AD?2c，且AB?BD?AC?CD?2a，其中a、则四面体ABCDBC?2，c为常数，的体积的最 大值是 .

16.【2012高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.

632正视图3132侧视图3俯视图

17.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.

18.【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）

19.【2012高考浙江文5】 设l是直线，?,?是两个不同的平面

A. 若l∥?，l∥?，则?∥? B. 若l∥?，l⊥?，则?⊥? C. 若?⊥?，l⊥?，则l⊥? D. 若?⊥?, l∥?，则l⊥?

20.【2012高考辽宁文16】已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23正方形。若PA=26,则△OAB的面积为______________.

21.【2012高考安徽文15】若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB?CD，

AC?BD，AD?BC，则______(写出所有正确结论编号)。 ①四面体ABCD每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD每个面的面积相等

③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90。而小于180。 ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分

⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

22【2012高考全国文16】已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为____________.

三【参考答案】

16

【典例分析】 1.C 2.D 3.D 4.D 5.B 6.4 7.C 8.C 9.C 10.

32? 33 311.3,12.6 313.A 14.27? 15.D 16.24 17.B 18.B 19.①③④ 20.A 21.3R 22.A 23.D 24.B 25.A 26.10,400?

27.B 28.B 29.1?R,332R 30.12cm 31.2?42 32.33 33.S2?ABC?S2?ACD?S22?ABD?S?DBC34.3 35.

103 36.C 37.A 38.4 39.D 40.D 41.C 42.C

【2012年高考题选讲】 1.C 2.A 3.C 4.A 5.A 6.C 7.D 8.A 9.B

18

10.D 11. 12.38 13. 14.

3 3?21615.ca2?c2?1 16.18?9? 17.6 32318.B 19.B 20.33 21.②④⑤ 22.

35

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