吉林长春南关区2016中考一模试卷--数学（解析版）

吉林省长春市南关区2016年中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．﹣6的绝对值等于（ ） A．﹣6 B．6

C．﹣ D．

2．“十二五”期间，某市义务教育阶段在校学生人数达到654000人．654000这个数用科学记数法表示为（ ） A．0.654×106

B．6.54×106 C．6.54×105 D．65.4×104

3．下列运算中，正确的是（ ） A．a2?a3=a5 B．a8÷a4=a2 C．（a5）2=a7

D．2a+3b=5ab

4．右图是由六个完全相同的小正方体组合而成的立体图形，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

5．如图，直线a∥b．若∠1=30°，∠2=45°，则∠3的大小为（ ）

A．75° B．80° C．85° D．105°

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O．若⊙O的半径为4，∠D=135°，则

的长为（ ）

A．π B．2π C．4π D．8π

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7．如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧分别相交于点E、F，连结EF

并延长交边BC于点D，连结AD．若AB=6，BC=8，则△ABD的周长为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．14

8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点B在点C的左侧，直线y=kx经过点A（3，3）和点P，且OP=6部，则b的取值范围是（ ）

．将直线y=kx沿y轴向下平移得到直线y=kx+b，若点P落在矩形ABCD的内

A．0＜b＜3 B．﹣3＜b＜0

C．﹣6＜b＜﹣3 D．﹣3＜b＜3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．比较大小：

2 （填“＜“，“=“或“＞“）．

10．不等式2（x+3）﹣4≤0的解集为 ．

11．一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值为 ．

12．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠CAB=40°，则∠D的大小为 度．

13．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥y轴于点C，点B在x轴上，连结CB、AB．若△ABC的面积为4，则k的值为 ．

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14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2+1（a为常数）的顶点为A，过点A作y轴的平行线与抛 物线y=﹣x2﹣x交于点B．抛物线y=﹣x2﹣x的顶点为C，连结CA、CB，则△ABC的面积为 ．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．先化简，再求值：a（a﹣4）+（1﹣a）（1+a），其中a=．

16．现有一副扑克牌中的3张牌，牌面数字分别为7、9、9，从中随机抽取一张然后放回，再随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张牌面数字相同的概率．

17．某车间计划生产360个零件，由于改进了技术，该车间实际每天生产零件的个数是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务．求该车间原计划每天生产零件的个数．

18．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．求证：四边形ADCE是矩形．

19．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处．海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东64°方向上的B处．求海轮所在的B处与灯塔P的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin64°=0.90，cos64°=0.44，tan64°=2.05）

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20．在“世界粮食日”前夕，某校团委随机抽取了n名本校学生，对某日午餐剩饭菜情况进行问卷调查．问卷中的剩饭菜情况包括：

A．饭和菜全部吃完； B．饭有剩余但菜吃完； C．饭吃完但菜有剩余；D．饭和菜都有剩余．

每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种情况，该校团委收回全部问卷后，将收集到的数据整理并绘制成如下的条形统计图． （1）求n的值．

（2）饭和菜全部吃完的学生人数占被调查的学生人数的百分比为 ． （3）根据统计结果，估计该校2400名学生中菜有剩余的学生人数．

21．甲、乙两个工程队同时开始维修某一段路面，一段时间后，甲队被调往别处，乙队又用了2小时完成了剩余的维修任务．已知乙队每小时维修路面的长度保持不变，甲队每小时维修路面30米．甲、乙两队在此路段维修路面的总长度y（米）与维修时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为 米． （2）求此次维修路面的总长度a．

（3）求甲队调离后y与x之间的函数关系式．

22．在菱形ABCD中，∠B=60°，AC为对角线．点E、F分别在边AB、DA或其延长线上，连结CE、CF，且∠ECF=60°．

感知：如图①，当点E、F分别在边AB、DA上时，易证：AF=BE．（不要求证明）

探究：如图②，当点E、F分别在边AB、DA的延长线上时，CF与边AB交于点G．求证：AF=BE． 应用：如图②，若AB=12，AF=4，求线段GE的长．

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23．（10分）（2016?南关区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作?PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．

（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求x的值． （3）求y与x之间的函数关系式．

（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．

24．（12分）（2016?南关区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点D是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q，过点Q作QF垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且QF=2，以QF、QP为邻边作矩形QPEF．设矩形QPEF的周长为d，点P的横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式．

（2）求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分时m的值． （3）求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围． （4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，直接写出其对称中心的横坐标．

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2016年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．﹣6的绝对值等于（ ） A．﹣6 B．6

C．﹣ D．

【考点】绝对值．

【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可． 【解答】解：|﹣6|=6， 故选：B．

【点评】本题考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

2．“十二五”期间，某市义务教育阶段在校学生人数达到654000人．654000这个数用科学记数法表示为（ ） A．0.654×106

B．6.54×106 C．6.54×105 D．65.4×104

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：654000这个数用科学记数法表示为6.54×105． 故选：C．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．下列运算中，正确的是（ ） A．a2?a3=a5 B．a8÷a4=a2 C．（a5）2=a7

D．2a+3b=5ab

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

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【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；同底数幂的除法底数不变指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘；合并同类项系数相加字母及指数不变；可得答案．

【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A正确； B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误； C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误； D、不是同类项不能合并，故D错误； 故选：A．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

4．右图是由六个完全相同的小正方体组合而成的立体图形，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看第一层是四个小正方形，从左边数第二个小正方形的上边是两个小正方形， 故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

5．如图，直线a∥b．若∠1=30°，∠2=45°，则∠3的大小为（ ）

A．75° B．80° C．85° D．105° 【考点】平行线的性质．

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【分析】直接利用平行线的性质得出∠3=∠4，再利用三角形外角的性质得出答案． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠3=∠4，

∵∠1+∠2=∠4=30°+45°=75°， ∴∠3=75°． 故选：A．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出∠3=∠4是解题关键．

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O．若⊙O的半径为4，∠D=135°，则

的长为（ ）

A．π B．2π C．4π D．8π

【考点】弧长的计算．

【分析】连接AO，OC，根据圆内接四边形的性质得到∠B=45°，由圆周角定理得到∠AOC=90°，根据弧长的公式即可得到结论．

【解答】解：连接AO，OC，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=135°， ∴∠B=45°， ∴∠AOC=90°， ∴

的长=

=2π，

故选B．

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【点评】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

7．如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，以大于

长为半径作圆弧，两弧分别相交于点E、F，连结EF

并延长交边BC于点D，连结AD．若AB=6，BC=8，则△ABD的周长为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．14

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=CD，则可得出△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=6+8=14，即可得解． 【解答】解：∵根据做法可知：EF是AC的垂直平分线， ∴AD=CD，

∵△ABD的周长=AB+BD+AD，

∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=6+8=14． 故选D．

【点评】本题考查了基本作图和线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是根据题意得出AD=CD，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点B在点C的左侧，直线y=kx经过点A（3，3）和点P，且OP=6部，则b的取值范围是（ ）

．将直线y=kx沿y轴向下平移得到直线y=kx+b，若点P落在矩形ABCD的内

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A．0＜b＜3 B．﹣3＜b＜0 C．﹣6＜b＜﹣3 D．﹣3＜b＜3

【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】作PE⊥AD于E交BC于F，先求出直线y=kx以及点P坐标，再确定点E、F坐标，代入y=x+b中即可解决问题．

【解答】解：如图作PE⊥AD于E交BC于F， ∵直线y=kx经过点A（3，3）， ∴k=1，

∴直线为y=x，设点P坐标（a，a）， ∵OP=6

，

∴a2+a2=72， ∴a2=36， ∵a＞0， ∴a=6．

∴点P坐标（6，6），点E（6，3），点F（6，0），

把点E（6，3），点F（6，0）分别代入y=x+b中，得到b=﹣3或﹣6， ∴点P落在矩形ABCD的内部， ∴﹣6＜b＜﹣3． 故选C．

【点评】本题考查一次函数有关知识，掌握两条直线平行k值相同，寻找特殊点是解决问题的关键，理解点P在平移过程中与y轴的距离保持不变，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．比较大小：

＜ 2 （填“＜“，“=“或“＞“）．

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【考点】实数大小比较． 【分析】求出2=【解答】解：∵2=∴

＜2，

，根据=

＞，

即可求出答案．

故答案为：＜．

【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，关键是求出2=

10．不等式2（x+3）﹣4≤0的解集为 x≤﹣1 ． 【考点】解一元一次不等式．

【分析】根据解不等式的方法可以求得不等式2（x+3）﹣4≤0的解集，本题得以解决． 【解答】解：2（x+3）﹣4≤0， 去括号，得 2x+6﹣4≤0， 移项及合并同类项，得 2x≤﹣2， 系数化为1，得 x≤﹣1．

故答案为：x≤﹣1．

【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

11．一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值为 13 ． 【考点】根的判别式．

【分析】直接利用根的判别式△=b2﹣4ac求出答案．

【解答】解：一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值是：△=（﹣5）2﹣4×3=13． 故答案为：13．

【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．

12．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠CAB=40°，则∠D的大小为 50 度．

，题目比较典型，难度不大．

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【考点】圆周角定理．

【分析】连接BC，求出∠ABC的度数，然后根据圆周角定理求出∠D的度数． 【解答】解：连接BC，

∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=40°， ∴∠ABC=50°， ∴∠B=∠ABC=50°， 故答案为50．

【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．

13．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥y轴于点C，点B在x轴上，连结CB、AB．若△ABC的面积为4，则k的值为 8 ．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】连接OA，由△ABC和△OAC的面积相等可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：连接OA，如图所示．

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∵△ABC和△OAC的面积相等（同底等高）， ∴S△OAC=k=4， ∴k=8． 故答案为8．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出S△OAC=k=4．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出相对应的三角形的面积是关键．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2+1（a为常数）的顶点为A，过点A作y轴的平行线与抛物线y=﹣x2﹣x交于点B．抛物线y=﹣x2﹣x的顶点为C，连结CA、CB，则△ABC的面积为 10 ．

【考点】二次函数的性质．

【分析】由两个抛物线的解析式可以得出顶点A、C的坐标，将x=2代入y=﹣x2﹣x中得出B点的坐标，根 据A、B、C三点的坐标即可得出AB的长以及点C到直线AB的距离h，结合三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣2）2+1（a为常数）的顶点为A， ∴点A的坐标为（2，1）， ∵抛物线y=﹣x2﹣x=﹣∴点C的坐标为（﹣2，）． 令x=2，则有y=﹣×22﹣×2=﹣4， ∴点B的坐标为（2，﹣4），

∴AB=1﹣（﹣4）=5，点C到直线AB的距离h=2﹣（﹣2）=4， △ABC的面积S=AB?h=×5×4=10． 故答案为：10．

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+，

【点评】本题考查了二次函数的性质、三角形的面积公式以及点到直线的距离，解题的关键是找出A、B、C三点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将二次函数解析式变化成顶点式，找出点的坐标是关键．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．先化简，再求值：a（a﹣4）+（1﹣a）（1+a），其中a=． 【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】先算乘法，再算加减，把a的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=a2﹣4a+1﹣a2 =1﹣4a．

当a=时，原式=1﹣4×=﹣2．

【点评】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．

16．现有一副扑克牌中的3张牌，牌面数字分别为7、9、9，从中随机抽取一张然后放回，再随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张牌面数字相同的概率． 【考点】列表法与树状图法．

【分析】先画树状图展示所有9种9种等可能的结果树，再找出抽取的两张牌面数字相同的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果树，其中抽取的两张牌面数字相同的结果数为5， 所以抽取的两张牌面数字相同的概率=．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

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17．某车间计划生产360个零件，由于改进了技术，该车间实际每天生产零件的个数是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务．求该车间原计划每天生产零件的个数． 【考点】分式方程的应用．

【分析】根据题意表示出生产零件所用的天数，再利用提前4天完成任务得出等式求出答案． 【解答】解：设该车间原计划每天生产零件x个． 根据题意，得解得：x=15

经检验，x=15是原方程的解，且符合题意． 答：该车间原计划每天生产零件15个．

【点评】本题主要考查的是分式方程的应用，根据题意找出正确等量关系是解题的关键．

18．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．求证：四边形ADCE是矩形．

﹣

=4．

【考点】矩形的判定．

【分析】先证明四边形ABDE是平行四边形，得出AE=BD，由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC，得出AE=CD，∠ADC=90°，证出四边形ADCE是平行四边形．即可得出结论． 【解答】证明∵AE∥BC、DE∥AB， ∴四边形ABDE是平行四边形． ∴AE=BD，

∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴BD=CD，AD⊥BC， ∴AE=CD，∠ADC=90°， 又∵AE∥BC，

∴四边形ADCE是平行四边形． ∴四边形ADCE是矩形．

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【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC是解决问题的关键．

19．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处．海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东64°方向上的B处．求海轮所在的B处与灯塔P的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin64°=0.90，cos64°=0.44，tan64°=2.05）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】首先过点P作PC⊥AB于点C，然后利用三角函数的性质：PC=AP?sin30°，即可求得PC的值，再由PB=

，即可求得答案．

【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C． 由题意可知，AB∥PD， ∴∠A=30°，∠B=64°，

在Rt△APC中，∠ACP=90°，∠A=30°，AP=80， ∴PC=AP?sin30°=80×=40，

在Rt△PBC中，∠BCP=90°，∠B=64°， ∴PB=

=

=44.44≈44.4（海里）．

答：海轮所在的B处与灯塔P的距离约为44.4海里．

【点评】此题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．

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20．在“世界粮食日”前夕，某校团委随机抽取了n名本校学生，对某日午餐剩饭菜情况进行问卷调查．问卷中的剩饭菜情况包括：

A．饭和菜全部吃完； B．饭有剩余但菜吃完； C．饭吃完但菜有剩余；D．饭和菜都有剩余．

每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种情况，该校团委收回全部问卷后，将收集到的数据整理并绘制成如下的条形统计图． （1）求n的值．

（2）饭和菜全部吃完的学生人数占被调查的学生人数的百分比为 60% ． （3）根据统计结果，估计该校2400名学生中菜有剩余的学生人数．

【考点】条形统计图；用样本估计总体．

【分析】（1）根据条形图，把A，B，C，D的人数加起来，即可解答； （2）用A的人数÷总人数，即可得到百分比；

（3）用样本中菜有剩余即C、D人数所占比例×2400可得． 【解答】解：（1）n=120+40+20+20=200； （2）

×100%=60%；

=480（人），

（3）2400×

答：估计该校2400名学生中菜有剩余的学生约为480人． 故答案为：（2）60%．

【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

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21．甲、乙两个工程队同时开始维修某一段路面，一段时间后，甲队被调往别处，乙队又用了2小时完成了剩余的维修任务．已知乙队每小时维修路面的长度保持不变，甲队每小时维修路面30米．甲、乙两队在此路段维修路面的总长度y（米）与维修时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为 150 米． （2）求此次维修路面的总长度a．

（3）求甲队调离后y与x之间的函数关系式．

【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据图象解答即可；

（2）根据题意得出甲、乙两队每小时维修路面的总长度解答即可； （3）设所求函数关系式y=kx+b，利用待定系数法解答即可．

【解答】解：（1）甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为150米， 故答案为：150．

（2）甲队调离前，甲、乙两队每小时维修路面的总长度为150÷3=50（米）． ∴乙队每小时维修路面的长度为50﹣30=20， a=150+20×2=190（米）．

（3）设所求函数关系式为y=kx+b． 将点（3，150），（5，190）代入，得

，解得

．

故甲队调离后y与x之间的函数关系式为：y=20x+90（3＜x≤5）．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图象，获取相关信息，用待定系数法求函数解析式．

22．在菱形ABCD中，∠B=60°，AC为对角线．点E、F分别在边AB、DA或其延长线上，连结CE、CF，且∠ECF=60°．

感知：如图①，当点E、F分别在边AB、DA上时，易证：AF=BE．（不要求证明）

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探究：如图②，当点E、F分别在边AB、DA的延长线上时，CF与边AB交于点G．求证：AF=BE． 应用：如图②，若AB=12，AF=4，求线段GE的长．

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．

【分析】探究：先由菱形的性质得出AC=BC，∠ACB=∠DAC=∠ABC=60°，则可证∠FAC=∠EBC=120°，∠ACF=∠BCE=60°﹣∠GCB，那么根据ASA可得△ACF≌△BCE，利用全等三角形对应边相等得出AF=BE； 应用：先由菱形的性质得出AD∥CB，那么△AFG∽△BCG，利用相似三角形对应边成比例得出所以GB=3GA．由GA+GB=AB=12，求出GA=3，GB=9，根据GE=GB+BE即可求解． 【解答】探究：证明：如图2，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴AC=BC，∠ACB=∠DAC=∠ABC=60°，

∴∠FAC=180°﹣∠DAC=120°，∠EBC=180°﹣∠ABC=120°， ∴∠FAC=∠EBC． 又∵∠ECF=60°，

∴∠ACF=∠ACB﹣∠GCB=60°﹣∠GCB， ∠BCE=∠ECF﹣∠GCB=60°﹣∠GCB， ∴∠ACF=∠BCE． 在△ACF与△BCE中

，

∴△ACF≌△BCE（ASA）， ∴AF=BE；

应用：解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥CB， ∴△AFG∽△BCG，

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===，

∴===，

∴GB=3GA． 又∵GA+GB=AB=12， ∴GA+3GA=12， ∴GA=3， ∴GB=9， 又∵AF=BE，

∴GE=GB+BE=9+4=13．

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，证明出△ACF≌△BCE是解题的关键．

23．（10分）（2016?南关区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作?PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．

（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求x的值． （3）求y与x之间的函数关系式．

（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．

【考点】四边形综合题．

第21页

【分析】（1）先由∠C=90°，AC=BC，得出∠A=45°，再解等腰直角△APD，得出AD=AP?cos∠A=然后根据平行四边形对边相等得出PE=AD=

x；

x=PD，

（2）当点E落在边BC上时，先由平行线的性质得出∠CPE=∠A=45°，再解等腰直角△CPE，得出PC=PE?cos∠CPE=

x?

=x，再根据AP+PC=AC列出方程x+x=6，解方程即可；

（3）分两种情况进行讨论：①当0＜x≤4时，y=S?PADE，根据平行四边形面积公式求解即可；②当4＜x≤6PE与BC交于F．=x﹣6，时，设DE与BC交于G，求出GE=DE﹣DG=x﹣（6﹣x）再根据y=S?PADE﹣S△GFE计算即可；

（4）由（2）知，x=4时，点E落在边BC上，此时点E到△ABC任意两边所在直线距离均不相等，所以分两种情况进行讨论：①当E在△ABC内部时，0＜x＜4．过E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延长DE交BCEM=于N，则EN⊥BC．求出EL=x，

x，EN=6﹣x．由于x≠

x，即EL≠EM．所以分EL=EN与EM=EN

分别列出方程，求解即可；②当E在△ABC外部时，4＜x≤6，过E作EL⊥AC交AC延长线于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．求出EL=x，EM=EM=EN分别列出方程，求解即可．

【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， ∴∠A=45°， ∵PD⊥AB， ∴AD=AP?cos∠A=

x=PD，

x，EG=x﹣6．由于x≠

x，即EL≠EM．所以分EL=EN与

∵四边形PADE是平行四边形， ∴PE=AD=

（2）当点E落在边BC上时，如图1． ∵PE∥AD， ∴∠CPE=∠A=45°， ∵∠C=90°， ∴PC=PE?cos∠CPE=∵AP+PC=AC，

第22页

x；

x?=x．

∴x+x=6， ∴x=4；

（3）①当0＜x≤4时，如图2． y=S?PADE=AD?PD=

x?

x=x2，即y=x2；

②当4＜x≤6时，如图3，设DE与BC交于G，PE与BC交于F． ∵AD=

x，AB=

AC=6﹣

，

∴DB=AB﹣AD=6x， ﹣

x）?

=6﹣x，

∴DG=DB?sin∠B=（6

∴GE=DE﹣DG=x﹣（6﹣x）=x﹣6，

∴y=S?PADE﹣S△GFE=x2﹣（x﹣6）2=﹣x2+9x﹣18；

（4）①当E在△ABC内部时，0＜x＜4，如图4，过E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延长DE交BC于N，则EN⊥BC． EL=PE?sin∠LPE=

x?

==x， x，

﹣

x）?

﹣x=6﹣x﹣x=6﹣x．

EM=DE?sin∠EDM=x?

EN=DN﹣DE=DB?sin∠B﹣AP=（6∵0＜x＜4， ∴x≠

x，即EL≠EM．

当EL=EN时，E在∠ACB的平分线上， 有x=6﹣x，解得x=3，符合题意； 当EM=EN时，E在∠ABC的平分线上， 有

x=6﹣x，解得x=

，符合题意；

②当E在△ABC外部时，4＜x≤6，过E作EL⊥AC交AC延长线于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC． EL=GC=AD?sin∠A=

x?

=x，

第23页

EM=DE?sin∠EDM=x?=x，

﹣

x）?

=x﹣（6﹣x）=x﹣6．

EG=DE﹣DG=AP﹣DB?sin∠B=x﹣（6∵4＜x≤6， ∴x≠

x，即EL≠EM．

当EL=EG时，E在∠ACB的外角的角平分线上， 有x=x﹣6，解得x=6，符合题意；

当EM=EG时，E在∠ABC的外角的角平分线上， 有

x=x﹣6，解得x=

＞6，不合题意舍去．

．

综上所述，点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值为3，6，

第24页

【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线的性质，三角形、四边形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键．

24．（12分）（2016?南关区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点D是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q，过点Q作QF垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且QF=2，以QF、QP为邻边作矩形QPEF．设矩形QPEF的周长为d，点P的横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式．

（2）求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分时m的值． （3）求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围． （4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，直接写出其对称中心的横坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先求出函数对称轴进而得出m的值；

（3）分别利用当1＜m＜6时，d=2（﹣m2+7m﹣6+2），当m＞6时，d=2（m2﹣7m+6+2）求出d的取值范围即可；

（4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，则矩形QPEF是正方形，边长为2，进而得出m的值求出答案． 【解答】解：（1）把A（1，0）、B（5，0）代入y=ax2+bx+5，

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，

解得

，

∴y=x2﹣6x+5；

（2）如图所示：∵抛物线y=x2﹣6x+5的对称轴为：x=﹣

=﹣

=3，

∵这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分， 可得PN=3﹣m，PE=2， ∴

=或

=，

解得：m=或m=；

（3）当x=6时，y=x2﹣6x+5=62﹣6×6+5=5， ∴点D的坐标为（6，5）．

射线AD所对应的函数表达式为y=x﹣1（x＞1）． ∴P（m，m2﹣6m+5），Q（m，m﹣1）．

当1＜m＜6时，d=2（﹣m2+7m﹣6+2）=﹣2m2+14m﹣8， 当m＞6时，d=2（m2﹣7m+6+2）=2m2﹣14m+16， 又d=﹣2m2+14m﹣8=﹣2（m﹣）2+

，

．

∴d随m的增大而减小时d的取值范围是4＜d≤

（4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，则矩形QPEF是正方形，边长为2， 当1＜m＜6时，m﹣1﹣（m2﹣6m+5）=2， 整理得：m2﹣7m+8=0， 解得：m1=

，m2=

，

当m＞6时，m2﹣6m+5﹣（m﹣1）=2， 整理得：m2﹣7m+4=0， 解得：m3=

，m4=

（舍去），

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故P点横坐标为： +1=， +1=， +1=．

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及正方形的性质等知识，根据题意表示出矩形QPEF的边长是解题关键．

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