初三数学优等生训练卷1

优等生训练卷（1）

四、填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分） 27、若|x|?2,|y|?5，则|x?y|＝_________ 28、设a?b?0，且a?b?3ab，

22a?b那么的值为_________ a?b29、在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，若AC＝AB+BD，且∠C＝400，那么∠B＝ 30、方程x2?2?1?a?x?a2?0有实数根α、β，M=α+β，那么M的取值范围是_________ 31、已知二次函数y?ax2?bx?c在x＝2时有最小值，记

f?2??a?2??b?2??c?4a?2b?c，f?1??p，f?4??q，f??1??r，那么p、q、r的

2大小关系是_________

?11??1??xy五、解答题（本大题有4小题，共40分）32、（8分）解方程组?

?xy?1?6?33、（10分）如图，小艇沿南偏东150的方向以每小时46海里的速度航行，在A处测得航标

C在南偏东450，半小时后在B处测得航标C在南偏东750。 （1）分别求A，B到航标C的距离（精确到0.1海里，3?1.73）

（2）若小艇从B继续航行，航向和速度都不变，再经过多少分钟，小艇离航标C最近：这时C在什么方向？（精确到1分钟，2?1.41）

34、（12分）如图，AE是∠BAC的平分线，交BC于E，AF是∠BAC的外角平分线，交BC的延长线于F，CG⊥AE，垂足为G，连BC，并延长BG交AF于H，求证：AH=FH。

35、已知点P是直径为2的⊙O内的一定点，PO=

12，线段为过点P的任一弦，且它所对22的圆心角∠AOB=2?，A、B分别作⊙O的切线AC和BC，两切线相交于C，设P到AC、

BC的距离是a、b，求证：a、b是方程2x??2ABsin??x?sin2??0的两个根。

优等生训练卷（18）

一、填空题：

3a21、设a是实数，则4的最大值等于_________。

a?42、如图，AB=AC，D是BC上的一点，∠DAC=Rt∠。已知BD＝3，DC＝6，则AB的长等于_________

3、如图，PA是⊙O的切线，A是切点，⊙O的半径OB⊥OP，AB交OP于C，如果tg∠P=那么

1，2PC的值等于_________。 CO2424、已知x?2x?1?0，那么x?6x?5的值等于_________

5、公民的月收入超过某一基数（记作a元），超过部分必须缴纳个人

收入调节税，这是公民必须履行的光荣义务，超过部分不足500元，税率相同（税率=

税款?100%）．已知某月甲收入1330元，纳税24元，乙收入1250元，纳税20元，

月收入?a那么丙收入1300元，需纳税_________ 元。 二、解答题： 6、计算：

?6?11?2?31?2?3?3?2

???????7、如图，在△ABC中，M，N分别在BC，AC上，AM与BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM。求：

（1）BD：DN的值；

（2）面积比S△ABN：S△CBN的值。

8、如图，△ABC内接于⊙O，弦AB的中垂线与AB，AC及BC的延长线分别交于M、N、P。求证：OA2＝ON·OP。

9、已知二次函数y?x2??m2?4m???5?9??2?x?2?m?4m??，其图像与x轴的交点为A，B2?2??（A在B的左边），与y轴的交点为C。

（1）若△ABC为直角三角形，求m的值， （2）若AC=BC，求∠ACB的正弦值；

（3）设△ABC的面积为S，求m的值，使S最小，并求S的最小值。

优等生训练卷5

一、填空题： 1、设a?b?0，且a?b?3ab，则

22a?b＝_________ a?b2、已知抛物线y?x2?kx?1与y?x2?x?k相交于x轴上的一点，则k=_________

3、如图，△ABC中，AB=AC，D，E分别在BC、AC上，AD＝AE，设∠BAD=α，∠CDE=β；则α与β的关系是_________ 4、如图，CD是△ABC的中线，BE⊥CD于E，已知DE：EC：AB=1：2：6，则sinA的值等于_________

5、如图，AB是⊙O的直径，延长AB到P，使BP=AB，C，D在⊙O上，弧AC=弧AD．PC交⊙O于E，DE交AB于Q，已知⊙O的半径等于1，则PQ的长等于_________ 二、解答题：

6、已知a、b是方程x?6x?1?0的两根，且，a＜b，求代数式?a?b?2??4ab??4ab???a?b??值。 a?b??a?b?7、解方程：5x2?x?4x2x2?x?1?1

8、某服装厂一每天可生产童装200套，或西服50套，每生产一套童装，需成本40元，可盈

利22元；每生产一套西服，需要成本150元，可盈利80元，已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使盈利尽可能大，每月（m天计算）应安排生产童装和西服各多少天（天数为整 数）？

9、如图，P是⊙O上的一个点，⊙P与⊙O的一个交点是E，⊙O的弦AB的延长线与⊙P相切，C是切点，AE交⊙P于F，连结PA，PB，设⊙O的半径为R，⊙P的半径为r（R＞r）· （1）求证：PA·PB＝2Rr；

（2）已知PA＝10，PB=4，R=2r，求AE和EF的长。

优等生训练卷9

1、方程：|x?y?7|?xy?6?0的解为_________ 。 2、已知a?b，且满足a2?3a?10,b2?3b?10，则

23、化简：x?8x?16?22?= _________ 。 ab?3?x=_________

42?24、在实数范围内因式分解：x?6x?8=_________

5、一元二次方程ax?bx?c?0两根之和为m，两根之积为n，则an?bm?2c的值为_________。 6、使代数式

21?34?x有意义的x的允许值范围是_________。

2x?327、设x1,x2是方程x?5x?1?0的两个根，则：x1?x2=_________

32a?b?a2?ab?2b2?48、先化简，再求值：?2，其中 a?,b???222?2223?a?bab?2ab?ab?2ab9、若关于x的方程x2??m?2?x?m?5?0有两个正数根，求m的取值范围。

10、已知二次方程x2??3m?1?x?m2?m?1?0的两个实数根为α、β，且，|α|+|β|=2，试求m的值。

优等生训练卷11

四、填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分） 27、设M??0375?1?|?3|?2?33?2，那么M的值是_________。

8922?2228、设P?10a?b?7a?6，Q?a?b?5a?1那么P与Q

的大小关系是_________

29、方程x?2?4|x|的解集是_________

30、在△ABC中，∠C＝900，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且c?b?b?a，a?b?c?24那么c＝_________

31如图，点D、E是正三角形ABC的边BC、AC上的点，且CD＝AE，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD。已知：PE＝1，PQ＝3，那么BE＝_________

2五、解答题（本大题有4小题，共40分）

21?8a4?a1?6a?9a2?4a32、（8分）设a?，求?2?2???3234a?12a?a2a?a6a2?a?1??的值。

33、（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，求证：∠ACB+∠AEB十∠AFB=1800。 34、（10分）如图所示，已知⊙A的圆心A在⊙O上，⊙O的半径R=5，⊙A的半径r=2，⊙O的弦QP切⊙A于B，求AP·AQ的值。

35、（12分）关于x的一元二次方程：xcosA?8x?32?0有两个相等的实根，其中A是△ABC的一个内角，这个方程的根恰好是△ABC的另两个内角B、C所对的边b与c的和（B＞C），又△ABC面积S?答案：

优等生训练卷（2）

四、填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分） 27、已知5x?2y?0，那么?x?y?:x=_________

28、一元二次方程ax?bx?c?0两根之和为m，两根的平方和为n，那么

22153，求△ABC的三边a、b、c的长。 4an?bm?2c的值是_________

29、方程：|x?2|?|x?6|?8解是_________

30、二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示，若|OA|＝|OC|，那么ac?b=_________ 31、如图所示，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AC⊥BC，AC＞BC，△ABC的面积为23，

2

且AC＋BC＝23?1，那么此梯形的中位线长为_________ 五、解答题（本大题有4小题，共40分） 32、（8分）已知：

??113x?7xy?3y的值。 ??3，求

2y?5xy?2xxy33、（10分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF相交于G，求

证：AG=AB 34、（10分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的内接三角形△ABC在圆环内，AC与小圆相切于D，AE与小圆相切于E，且B，D，E在同一·直线上，

求证：（1）△ABE∽△BCD；

（2）AB2：BC2=BE：BD。

35、（12分）在矩形ABCD中，AB＝a，BC=b（a＞b），P为AB上的点，且DP⊥CP。 （1）满足上述条件的点P存在两点，求a、b所满足的关系式；

（2）满足上述条件的点P有且仅有一点，求出a、b所满足的关系式； （3）a、b满足何种关系时，满足上述条件的点P不存在。

优等生训练卷（15）

一、填空题： 1、设a?b?0，且a?b?3ab，则

2222a?b＝_________ a?b2、已知抛物线y?x?kx?1与y?x?x?k相交于x轴上的一点，则k=_________

3、如图，△ABC中，AB=AC，D，E分别在BC、AC上，AD＝AE，设∠BAD=α，∠CDE=β；则α与β的关系是_________ 4、如图，CD是△ABC的中线，BE⊥CD于E，已知DE：EC：AB=1：2：6，则sinA的值等于_________

5、如图，AB是⊙O的直径，延长AB到P，使BP=AB，C，D在⊙O上，弧AC=弧AD．PC交⊙O于E，DE交AB于Q，已知⊙O的半径等于1，则PQ的长等于_________

二、解答题：

6、已知a、b是方程x?6x?1?0的两根，且，a＜b，求代数式?a?b?值。

7、解方程：5x2?x?4x2x2?x?1?1

8、某服装厂一每天可生产童装200套，或西服50套，每生产一套童装，需成本40元，可盈利22元；每生产一套西服，需要成本150元，可盈利80元，已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使盈利尽可能大，每月（m天计算）应安排生产童装和西服各多少天（天数为整 数）？

9、如图，P是⊙O上的一个点，⊙P与⊙O的一个交点是E，⊙O的弦AB的延长线与⊙P相切，C是切点，AE交⊙P于F，连结PA，PB，设⊙O的半径为R，⊙P的半径为r（R＞r）· （1）求证：PA·PB＝2Rr；

（2）已知PA＝10，PB=4，R=2r，求AE和EF的长。

优等生训练卷（12）

四、填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分） 27、已知5x?2y?0，那么?x?y?:x=_________

28、一元二次方程ax?bx?c?0两根之和为m，两根的平方和为n，那么an?bm?2c的值是_________ 29、方程：|x?2|?|x?6|?8解是_________

30、二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示，若|OA|＝|OC|，那么ac?b=_________

31、如图所示，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AC⊥BC，AC＞BC，△ABC的面积为23，且AC＋BC＝23?1，那么此梯形的中位线长为_________

五、解答题（本大题有4小题，共40分） 32、（8分）已知：

222??4ab??4ab???a?b??a?b??a?b???113x?7xy?3y??3，求的值。

2y?5xy?2xxy33、（10分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF相交于G，求证：AG=AB

34、（10分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的内接三角形△ABC在圆环内，AC与小圆相切于D，AE与小圆相切于E，且B，D，E在同一·直线上，求证： （1）△ABE∽△BCD； （2）AB2：BC2=BE：BD。 35、（12分）在矩形ABCD中，AB＝a，BC=b（a＞b），P为AB上的点，且DP⊥CP。 （1）满足上述条件的点P存在两点，求a、b所满足的关系式；

（2）满足上述条件的点P有且仅有一点，求出a、b所满足的关系式； （3）a、b满足何种关系时，满足上述条件的点P不存在。

优等生训练卷（11）

四、填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分） 27、若|x|?2,|y|?5，则|x?y|＝_________ 28、设a?b?0，且a?b?3ab，

22a?b那么的值为_________ a?b29、在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，若AC＝AB+BD，且∠C＝400，那么∠B＝_________

30、方程x?2?1?a?x?a?0有实数根α、β，M=α+β，那么M的取值范围是_________

2231、已知二次函数y?ax?bx?c在x＝2时有最小值，记

2f?2??a?2??b?2??c?4a?2b?c，f?1??p，f?4??q，f??1??r，那么p、q、r的

2大小关系是_________

五、解答题（本大题有4小题，共40分）

?11??1??xy32、（8分）解方程组?

?xy?1?6?33、（10分）如图，小艇沿南偏东150的方向以每小时46海里的速度航行，在A处测得航标

C在南偏东450，半小时后在B处测得航标C在南偏东750。 （1）分别求A，B到航标C的距离（精确到0.1海里，3?1.73）

（2）若小艇从B继续航行，航向和速度都不变，再经过多少分钟，小艇离航标C最近：这时C在什么方向？（精确到1分钟，2?1.41）

34、（12分）如图，AE是∠BAC的平分线，交BC于E，AF是∠BAC的外角平分线，交BC的延长线于F，CG⊥AE，垂足为G，连BC，并延长BG交AF于H，求证：AH=FH。

35、已知点P是直径为2的⊙O内的一定点，PO=

12，线段为过点P的任一弦，且它所对22的圆心角∠AOB=2?，A、B分别作⊙O的切线AC和BC，两切线相交于C，设P到AC、BC的距离是a、b，求证：a、b是方程2x??2ABsin??x?sin2??0的两个根。

优等生训练卷（14）

一、填空题：

a1a2?：则41、已知2=_________。

a?a?14a?a2?12、设α、β是关于x的一元二次方程x2?2?1?a?x?a2?0的两个实数恨，则α+β的取值范围（用不等式表示）是_________

3、如图，△ABC中，∠BAC的外角平分线与∠ACB的平分线所在直线相交于D。若∠B=700，则∠D的度数等于_________

4、如图，以Rt△ABC的直角顶点C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，已知AD=3，BD=3，则tg∠A的值等于_________

5、如果二次函数y?ax2?2?2?a?x?a?1的图像与x轴有两个交点，且两个交点都在y轴的同侧（不含原点），则实数a的取值范围是_________ 二、解答题：

?x2?x?23?11??1??6、当x?时，求代数式? ??1???的值。2??2x?1??x?1??x?17、如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，过B作⊙O的切线，与

CD的延长线交于F，已知CE：ED：DF一1：2：1，BF=4．求⊙O的直径。

8、如图，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AD、AM分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，与AM，AB分别交于E、G， （1）求证：DE⊥BC；

（2）已知∠B= 300，设△ABC的面积为S，试用S的代数式表示△EDM的面积S1。

9、窗子的上半部是半圆，下半部是矩形，如图所示，E为弧AD的中点，E到BC的距离叫窗子的高，记为h，BC叫窗子的宽，记为a，窗框的周长定为5米。从美学角度考虑，当果最佳，因此设计要求是0.6?a=0.618（黄金分割）时，视觉效ha?0.7，在这一要求下，要使窗子的透h

光面积尽可能大，求窗子的宽（精确到0.01米，π取3）。

优等生训练卷（17）

一、填空题：

1、对于非零实数a、b、c，若2a2?4b2?c2?2a?2b?c?，则

a?b?c=_________

a?b?c2、二次函数y?ax2?bx?c，当x=2时的值最小．设x等于–1，1，4时y的值依次等于p，q，r，则p、q、r的大小关系是_________ 3、如图，正三角形ABC中，D，E分别在BC、AC上，CD=AE=

1AB，3AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，则AP：PQ：QD＝_________ 4、如图，以⊙O的半径OC为直径的⊙O1与AB相切于D，AB是⊙O弦，已知劣弧CD，劣弧CA的长分别为3和2，那么劣弧AB的长为 5、A、B两地之间的公路有上坡路和下坡路，汽车从A到B比从B返回A多行驶15分钟，已知汽车在平路行驶的速度是每小时50千米，上坡减速

11，下坡加速，那么从A到B的上坡路比下坡路长_________千米。 55二、问答题： 6、化简：

?1?3??3?5

1?23?5?7、如图AD是△ABC的内角平分线，∠BAC的外角平分线与BC的延长线交于E，CF⊥AD于F，BF的延长线交AE于G，求证：AG=EG

8、已知关于x的方程x?2?a?1?x?2a?4?0

2（1）求证：无论实数a为何值，这个方程必有两个不相等的实数根； （2）设这个方程两根x1,x2，|x12|?，当a＜2时，求a的值。 x239、如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B，CD是公切线，C、D是切点，CA的延长线交⊙O2于E，连结BC，BD，BE，DE。 （1）求证：BD平分∠CBE；

（2）已知BE＝2，DE=3，BD＝3，求CD的长。

优等生训练卷（20）

1、若y?3?x?x?3?10，则yx=_________ 。 2、若方程ax?bx?2?0的两根为x1,x2，已知

21131117，则??,2?2?x1x22x1x24a?_________ ，b?_________

3、化简：?x?2??1=_________ x?2EAOGHDF4、如图，梯形ABCD的对角线交于O点，中位线EF分别与BD、AC交于G、H，若△ACD与△ACB的面积比为2：3，则△OGH与△OCB的面积比为_________

BC5、方程x2??p?q?x?q?0的根一正一负，且正根的绝对值比负根的绝对值大，则

|p?q|?q2p?p2的化简结果是_________。

6、已知二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图象与x轴的交点的横坐标分别为–2，6，图像与y轴相交，且交点与原点的距离为3，求此函数解析式。

?a2?b27、已知a?b?2a?4b?5?0，求代数式a?ab??33?a?b22?a2?b2??11?????a?b????a?b??的

?????值。

8、P为正△ABC的边CB延长线上一点，Q是BC延长线上的点，∠PAQ=1200，求证： （1）△PAB∽△PAQ∽△QCA；（2）BC2=PB·CQ

A

PBCQ

9、已知抛物线y?x2??m?3?x?m，

（1）求证：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）设抛物线的顶点为C，与x轴两个交点为A、B。当m为何值时，△ABC是正三角形。 优等生训练卷4

一、填空题：

a1a2?：则41、已知2=_________。

a?a?14a?a2?12、设α、β是关于x的一元二次方程x2?2?1?a?x?a2?0的两个实数恨，则α+β的取值范围（用不等式表示）是_________

3、如图，△ABC中，∠BAC的外角平分线与∠ACB的平分线所在直线相交于D。若∠B=700，则∠D的度数等于_________

4、如图，以Rt△ABC的直角顶点C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，已知AD=3，BD=3，则tg∠A的值等于_________

5、如果二次函数y?ax2?2?2?a?x?a?1的图像与x轴有两个交点，且两个交点都在y轴的同侧（不含原点），则实数a的取值范围是_________ 二、解答题：

?x2?x?23?11??1??6、当x?时，求代数式? ??1???的值。2??2x?1??x?1??x?17、如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，过B作⊙O的切线，与

CD的延长线交于F，已知CE：ED：DF一1：2：1，BF=4．求⊙O的直径。

8、如图，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AD、AM分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，与AM，AB分别交于E、G， （1）求证：DE⊥BC；

（2）已知∠B= 300，设△ABC的面积为S，试用S的代数式表示△EDM的面积S1。

9、窗子的上半部是半圆，下半部是矩形，如图所示，E为弧AD的中点，

E到BC的距离叫窗子的高，记为h，BC叫窗子的宽，记为a，窗框的周长定为5米。从美学角度考虑，当

aa=0.618（黄金分割）时，视觉效果最佳，因此设计要求是0.6??0.7，在hh优等生训练卷7

这一要求下，要使窗子的透光面积尽可能大，求窗子的宽（精确到0.01米，π取3）。

一、填空题：

1、对于非零实数a、b、c，若2a2?4b2?c2?2a?2b?c?，则

a?b?c=_________

a?b?c2、二次函数y?ax2?bx?c，当x=2时的值最小．设x等于–1，1，4时y的值依次等于p，q，r，则p、q、r的大小关系是_________ 3、如图，正三角形ABC中，D，E分别在BC、AC上，CD=AE=

1AB，3AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，则AP：PQ：QD＝_________ 4、如图，以⊙O的半径OC为直径的⊙O1与AB相切于D，AB是⊙O弦，已知劣弧CD，劣弧CA的长分别为3和2，那么劣弧AB的长为 5、A、B两地之间的公路有上坡路和下坡路，汽车从A到B比从B返回A多行驶15分钟，已知汽车在平路行驶的速度是每小时50千米，上坡减速

11，下坡加速，那么从A到B的上坡路比下坡路长_________千米。 55二、问答题： 6、化简：

?1?3??3?5

1?23?5?7、如图AD是△ABC的内角平分线，∠BAC的外角平分线与BC的延长线交于E，CF⊥AD于F，BF的延长线交AE于G，求证：AG=EG

8、已知关于x的方程x?2?a?1?x?2a?4?0

2（1）求证：无论实数a为何值，这个方程必有两个不相等的实数根； （2）设这个方程两根x1,x2，|x12|?，当a＜2时，求a的值。 x239、如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B，CD是公切线，C、D是切点，CA的延长线交⊙O2于E，连结BC，BD，BE，DE。

（1）求证：BD平分∠CBE；

（2）已知BE＝2，DE=3，BD＝3，求CD的长。

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