1987-2012考研数学一二三四五历年真题及答案全解 2

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

y?x2?x（1）曲线

x2?1渐近线的条数为（ ） （A）0

（B）1

（C）2

（D）3

（2）设函数

f(x)?(ex?1)(e2x?2)…（enx-n），其中n为正整数，则

f?(0)=（

）

n?1（A）

(?1)(n?1)! （B）

(?1)n(n?1)!

n?1（C）

(?1)n!

（D）

(?1)nn! ?2（3）设函数

f(t)连续，则二次积分?0d??222cos?f(r)rdr=（ ）

24?x22（A）?0dx?2x?x2x?y2f(x2?y2)dy

24?x2（B）

?0dx?2x?x2f(x2?y2)dy

?2dx?4?x220x2?yf(x2?y2)dy（C）

1?2x?x2

?24?x20dx?2f(x2?y2)dy（D）

1?2x?x

??0??0?1???0????1?,???1?,????1?,???1?1??（5）设

?c?2??3??4??1????c2????c3????c4??其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（

） （A）?1，?2，?3

（B）?1，?2，?4 （C）?1，?3，?4

（D）

?2，?3，?4

??1??1?，??（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=

?2?? P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3）则Q?1AQ=（?????????）

??1???2??1????1???（A）

?1??

（B）

?2?? ??2???1??2????2??（C）

?2??

（D）

?1???

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

1lim(tancosx?sinxx??x)（9）

4

f(x)???lnx,x?1,y?f(f(dy（10）设函数

??2x?1,x?1x)),求dxx?0__

f(x,y)?2x?y?2（11）函数

z?f(x,y)limx?满足

y?01x2?(y?1)2?0,则

dz(0,1)?_______.

y?4（12）由曲线

x和直线y?x及y?4x在第一象限中所围图形的面积为_______. （13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________. 解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

ex2?e2?2cosxlim计算x?0x4

（16）（本题满分10分）

xe??xydxdy

y?x与y?，其中D为由曲线

计算二重积分D

1x所围区域.

xf?(x)?f(x)?2ef(x)f?(x)?f?(x)?2f(x)?0（19）（本题满分10分）已知函数满足方程及

1）求表达式

f(x)

2）求曲线的拐点

2y?f(x)?f(?t2)dt02x

（18）（本题满分10分）

xln证明：

1?xx?cosx?1?,?1?x?1.1?x2

（20）（本题满分10分）

(21)（本题满分10分）

?1?0A???0??a设

（I）求|A|

a00??1???1?1a0??，b????0?01a????001??0?

?b有无穷多解，求a，并求Ax?b的通解.

?1?0A????1??0已知

求实数a的值；

1?11??，0a??a?1?二次型f(x1,x2,x3)?x?(???)x的秩为2，

0（II）已知线性方程组Ax

求正交变换x=Qy将f化为标准型.

2011年全国硕士研究生入学统一考试

2011数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

(1) 已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与是cxk等价无穷小，则

(11) 曲线tan(x?y?(12) 曲线y??4)?ey在点(0,0)处的切线方程为______.

x2?1，直线x?2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积______.

(13) 设二次型f(X1,X2,X3)?xTAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下x?Qy的标准型为______.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或(A) k?1,c?4 (B) k?1,c??4 (C) k?3,c?4 (D) k?3,c??4

(2) 已知f(x)在x?0处可导，且f(0)?0,则limx2f(x)?2f(x3)x?0x3? (A) ?2f'(0) (B) ?f'(0) (C) f'(0) (D) 0

???(4) 设I??440ln(sinx)dx,J??0ln(cotx)dx,K??40ln(cosx)dx 则I,J,K的大小关系是

(A) I?J?K (B) I?K?J (C) J?I?K (D) K?J?I

(5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵记为

?P?100??100?1??110??，P?1??2??00?，则A? ?001????010??(A)PP?1P?11P2 (B)12 (C)P2P1 (D) P2P1

(6) 设A为4?3矩阵,?1, ?2 , ?3 是非齐次线性方程组Ax??的3个线性无关的解，

k1,k2为任意常数，则Ax??的通解为

(A)

?2??32?k1(?2??1)

(B) ?2??32?k2(?2??1)

(C) ?2??32?k1(?3??1)?k2(?2??1)

(D) ?2??32?k2(?2??1)?k3(?3??1)

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. x(9) 设f(x)?limx(1?3t)t，则f't?0(x)?______.

x(10) 设函数z?(1?x)yy，则dz|(1,1)?______. 演算步骤.

(15) (本题满分10分) 求极限lim1?2sinx?x?1x?0xln(1?x).

(16) (本题满分10分)

已知函数f(u,v)具有连续的二阶偏导数，?2z?x?y|(1,1. )

f(1,1)?2是f(u,v)的极值，z?f?(x?y),f(x,y?)。求

(17) (本题满分10分) 求?arcsinx?lnxxdx

(18) (本题满分10分)

证明4arctanx?x?4?3?3?0恰有2实根。

(19) (本题满分10分)

f(x)在

?0,1?有连续的导数，f(0)?1，且

??f'(x?ydxdy)?D??ftdxdy()tDtDt?{(x,y)|0?x?t,0?y?t,0?x?y?t}(0?t?1)，求f(x)的表达式。

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