初二数学因式分解知识点经典总结

整式乘除与因式分解

概述

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则 1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）

基本方法

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b) 3． 公式：a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

例如：a +4ab+4b =(a+2b)。 （3）分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握：

①等式左边必须是多项式；

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

22 2

一、知识点总结：

1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：?2abc的 系数为?2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：a?2ab?x?1，项有a、?2ab、x、1，二次项为a、?2ab，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：x?2xy?xy?2y?1

按x的升幂排列：?1?2y?xy?2xy?x 按x的降幂排列：x?2xy?xy?2y?1 按y的升幂排列：?1?x?xy?2xy?2y 按y的降幂排列：?2y?2xy?xy?x?1 5、同底数幂的乘法法则：am222232233223322332233223an?am?n（m,n都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：(a?b)(a?b)?(a?b)

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6、幂的乘方法则：(am)n?amn（m,n都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(?35)2?310 幂的乘方法则可以逆用：即amn?(am)n?(an)m 如：46?(42)3?(43)2

7、积的乘方法则：(ab)n?anbn（n是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（?2x3y2z)5=(?2)5?(x3)5?(y2)5?z5??32x15y10z5 8、同底数幂的除法法则：a?a?amnm?n（a?0,m,n都是正整数，且m?n)

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4?(ab)?(ab)3?a3b3 9、零指数和负指数；

a0?1，即任何不等于零的数的零次方等于1。 a?p?1，即一个不等于零的数的?p次方等于这个数的p次方的p（a?0,p是正整数）

a?3倒数。 如：211?()3? 2810、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只

在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：?2xyz?3xy?

11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即m(a?b?c)?ma?mb?mc(m,a,b,c都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。] 如：2x(2x?3y)?3y(x?y)

12、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

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(3a?2b)(a?3b)如：

(x?5)(x?6)13、平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：(x?y?z)(x?y?z)

14、完全平方公式：(a?b)2?a2?2ab?b2

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意：

a2?b2?(a?b)2?2ab?(a?b)2?2ab (a?b)2?(a?b)2?4ab

(?a?b)2?[?(a?b)]2?(a?b)2 (?a?b)2?[?(a?b)]2?(a?b)2

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 15、三项式的完全平方公式：

(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc

16、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 如：?7abm?49ab

17、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。 即：(am?bm?cm)?m?am?m?bm?m?cm?m?a?b?c 18、因式分解：

常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……

242三、知识点分析：

1.同底数幂、幂的运算： am·an=am+n(m，n都是正整数). (am)n=amn(m，n都是正整数).

例题1.若2例题2.若5a?2?64，则a= ；若27?3n?(?3)8，则n= ?125，求(x?2)2009?x的值。

3n2x?1例题3.计算?x?2y?????2y?x??

2m

练习 1.若a2n?3，则a6n= .

2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于 。

2.积的乘方

(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例题1. 计算：?n?m??3p????m?n???n?m??

p43.乘法公式

平方差公式：?a?b??a?b??a2?b2 完全平方和公式：?a?b??a2?2ab?b2

2完全平方差公式：?a?b??a2?2ab?b2

2例题1. 利用平方差公式计算：2009×2007－20082

2007．

20072?2008?20063.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）

例题2.利用平方差公式计算：

5. 因式分解：

1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。

例1把2ax?10ay?5by?bx分解因式．

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然

后从两组分别提出公因式2a与?b，这时另一个因式正好都是x?5y，这样可以继续提取公因式．

解：2ax?10ay?5by?bx?2a(x?5y)?b(x?5y)?(x?5y)(2a?b)

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

例2把ab(c?d)?(a?b)cd分解因式．

2222 分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：ab(c?d)?(a?b)cd?abc?abd?acd?bcd

22222222?(abc2?a2cd)?(b2cd?abd2)

?ac(bc?ad)?bd(bc?ad)?(bc?ad)(ac?bd)

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2. 公式法：根据平方差和完全平方公式

例题1 分解因式9x2?25y2 3.配方法：

例1分解因式x?6x?16

解：x2?6x?16?x2?2?x?3?32?32?16?(x?3)2?52

2?(x?3?5)(x?3?5)?(x?8)(x?2)

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．

4.十字相乘法：

（1）．x2?(p?q)x?pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

x2?(p?q)x?pq?x2?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)

因此，x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例1把下列各式因式分解：

(1) x?7x?6

2

(2) x?13x?36

2解：(1)

6?(?1)?(?6),(?1)?(?6)??7

2 ? x?7x?6?[x?(?1)x][??(6)?x](2)

．(?x1)?( 6) 36?4?9,4?9?13

2 ? x?13x?36?x(?4x)(? 9)说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项

系数的符号相同． 例2把下列各式因式分解：

(1) x?5x?24

2

(2) x?2x?15

2解：(1)

?24?(?3)?8,(?3)?8?5

2 ? x?5x?24?x[?(?3)x](?(2)

?8?)x(?x3)(8) ?15?(?5)?3,(?5)?3??2

2 ? x?2x?15?x[?(?5)x](? ?3?)x(?x5)(3)

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 例3把下列各式因式分解：

(1) x2?xy?6y2

(2) (x2?x)2?8(x2?x)?12

分析：(1) 把x2?xy?6y2看成x的二次三项式，这时常数项是?6y2，一次项系数是

y，把?6y2分解成3y与?2y的积，而3y?(?2y)?y，正好是一次项系数．

(2) 由换元思想，只要把x?x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解

22二次三项式a?8a?12．

解：(1) x2?xy?6y2?x2?yx?62?(x?3y)(x?2y)

(2) (x2?x)2?8(x2?x)?12?(x2?x?6)(x2?x?2)

?(x?3)(x?2)(x?2)(x?1)

2（2）．一般二次三项式ax?bx?c型的因式分解

大家知道，(a1x?c1)(a2x?c2)?a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2． 反过来，就得到：a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2) 我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1a,2c,1c,22写成

a1a2c1，?c2这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2?a2c1，如果它正好等于ax?bx?c的一次项系数b，那么ax?bx?c就可以分解成(a1x?c1)(a2x?c2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例4把下列各式因式分解：

(1) 12x?5x?2

22

(2) 5x?6xy?8y

22解：(1) 12x?5x?2?(3x?2)(4x?1)

2

34??2 1

(2) 5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)

22

1 2y5?4y

?说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3big.html