高三数学-2018年华南师大附中高三数学培优试题一 精品

培优练习（1）2018－02－24 一、选择题： 1、已知函数y?f?1，则y?f(x?1)的反函数的图象一定过点（ ） (x)的图象过（1，0）

12 A．（1，2） B．（2，1） C．（0，2） D．（2，0）

2、从P点引三条射线PA，PB，PC，每两条射线夹角为60°，则平面PAB和平面PBC所成二

面角正弦值为 （ ）

A．

22 3B．

6 3C．

3 3D．

3 2（ ）

?y?x223、已知x，y满足不等式组??x?2y?4则t?x?y?2x?2y?2的最小值为

?y??2? A．

9 5B．2 C．3

D．2

4、在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，A0，B0，分别为侧棱

AA1，BB1上的点，且知BB0:B0B1=3:2，过A0，B0，C1 的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为2:1，则 AA0:A0A1= （ ） A．2:3 B．4:3 C．3:2 D．1:1 二、填空题：

5、lim(n?n?n)? . n???2

6、某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是 （精确到0.01）. 7、设a，b都是正实数，且2a+b=1，设T?2ab?4a?b则当a=______且b=_______时，

T的最大值为_______。 8、如图，矩形ABCD中，DC?3，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到 D′点，当D′在平面ABC上的射影落在AE上时，四棱锥D′—ABCE的体积是________；当D′在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D′—AE—B的平面角的余弦值是_________。

三、解答题：（过程要完整、表述要规范） 9、（本小题满分12分）

是否存在常数c，使得不等式

22xyxy??c??对任意正实数x、y

2x?yx?2yx?2y2x?y恒成立？证明你的结论．

10、（本小题满分12分） 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概

率为0.92. （1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数?的数学期望和方差.

11、（本小题满分14分）

已知f(x)?x2?(a?1)x?lg|a?2|(a??2,a?R)

（Ⅰ）若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x) 的解析式；

（Ⅱ）若f(x)和g(x)在区间(??,(a?1)2]上都是减函数，求a的取值范 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，比较f(1)和1的大小． 612、（本小题满分12分）

已知定义域为[0，1]的函数f (x)同时满足： （1）对于任意x∈[0，1]，总有f (x)≥0； （2）f (1) =1；

（3）若x1?0，x2?0，x1?x2?1，则有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)。 （Ⅰ）试求f(0)的值；

（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；

（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)≤2x 。 13、（本小题满分16分）

在直角坐标平面内，已知两点A（-2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。

（Ⅰ）证明|PA|+|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；

（Ⅱ）过点B的直线l与曲线T相交于M、N两点，线段MN的中点R与点S（-1，0）的连线的纵截距为t，试求t 的取值范围。

14、（本小题满分14分）

（文科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点(3,?5)且方向向量为 且交椭圆C于A、B两点，又AF?2FB. V?(?2,5)的直线l通过椭圆C的右焦点F，（1）求直线l的方程； （2）求椭圆C的方程.

（理科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点（3，－5）且方向向量为V?(?2,5)的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又AM?2MB.

（1）求直线l方程； （2）求椭圆C长轴长取值的范围.

培优练习（1）答案

一、选择题：AABA 二、填空题：5．

1112126?2; 6．0.74; 7．；；；2?3 ?； 8．24222122 ……3分 3三、9、（本题满分12分）

解： 当x?y时，由已知不等式得c?下面分两部分给出证明：

xy2??，

2x?yx?2y3此不等式?3x(x?2y)?3y(2x?y)?2(2x?y)(x?2y)

⑴先证

?2xy?x2?y2，此式显然成立； ……7分

xy2??，

x?2y2x?y3 此不等式?3x(2x?y)?3y(x?2y)?2(x?2y)(2x?y)

⑵再证

?x2?y2?2xy，此式显然成立． ……10分 综上可知，存在常数c?2，是对任意的整数x、y，题中的不等式成立．12分 310、（本题满分12分） 解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.

设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2. （2分） 则P（A）=P1=0.6, P(B)=P2

P(A?B)?1?P(A?B)?1?(1?P1?P2)?P1)(1?P2?P1P2?0.92?0.6?P2?0.6P2?0.92则0.4P2?0.32即P2?0.8(7分)

(2)P(??0)?P(A)?P(B)?0.4?0.2?0.08P(??1)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.2?0.4?0.8?0.44P(??2)?P(A)?P(B)?0.6?0.8?0.48?的概率分布为:? P 0 0.08 1 0.44 2 0.48 E??0?0.08?1?0.44?2?0.48?0.44?0.96?1.4D??(0?1.4)2?0.08?(1?1.4)2?0.44?(2?1.4)2?0.48

?0.1568?0.0704?0.1728?0.4或利用D??E(?2)?(E?)2?2.36?1.96?0.4(12分)11、（本题满分14分） 解：（Ⅰ）设f(x)?g(x)?h(x) ①，其中g(x)是奇函数，h(x)是偶函数， 则有 f(?x)?g(?x)?h(x)??g(x)?h(x) ② 联立①，②可得

g(x)?(a?1)x，h(x)?x2?lg|a?2|（直接给出这两个函数也给分）…3分 （Ⅱ）函数g(x)?(a?1)x 当且仅当 a?1?0，即a??1时才是减函数， ∴a??1

(a?1)2a?12 又f(x)?x?(a?1)x?lg|a?2|?(x? )?lg|a?2|?24a?1) ……5分 ∴f(x)的递减区间是 (??,?22 由已知得(a?1)2??a?12

?a??1 ∴ ??a 解得?32?a??1 ??(a?1)2???12 ∴a取值范围是[?32,?1) （Ⅲ）f(1)?1?(a?1)?lg|a?2|?a?2?lg|a?2|(?32?a??1)

(a?1)和lg|a?2|在[?3,?1)上为增函数 2∴f(1)?(?33112?2)?lg|(?2)?2|?2?lg2 ?12?13?lg111118?2?3?lg10?6 ∴f(1)?116 即f(1)大于6. 12、（本题满分12分）

解：（Ⅰ）令x1?x2?0，

依条件（3）可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0。

又由条件（1）得f(0) ≥0，则f(0)=0…………………… 3分 （Ⅱ）任取0?x1?x2?1，可知x2?x1?(0,1]

则f(x2)?f[(x2?x1)?x1]?f(x2?x1)?f(x1)…………… 5分 即f(x2)?f(x1)?f(x2?x1)?0，故f(x2)?f(x1) 于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1

因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，………………… 7分 （Ⅲ）证明：研究①当x?(12,1]时，f(x) ≤1<2x ②当x?(0,12]时，

首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴f(x)?12f(2x)………………9分 显然，当x?(122,12]时，

……8分 ……10分

……14分

11111f(x)?f()??f(2?)??f(1)?成立。

22222111假设当x?(k?1,k]时，有f(x)?k成立，其中k＝1，2，…

22211那么当x?(k?2,k?1]时，

2211111111f(x)?f(k?1)??f(2?k?1)??f(k)??k?k?1

22222222111可知对于x?(n?1,n]，总有f(x)?n，其中n=1，2，…

222111而对于任意x?(0,]，存在正整数n，使得x?(n?1,n]，

2221此时f(x)?n?2x………………… …11分

2③当x=0时，f(0)=0≤2x………… ……12分

综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x) ≤2x成立。

13、（本题满分16分）

解：（Ⅰ）连结PB。∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P， ∴|PB|=|PQ|，又|AQ|=6，

∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=6（常数）。 …2分

又|PA|+|PB|>|AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a=6，2c=4，

x2y2??1 …6分 ∴椭圆方程为95（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，MN的中点为R（2，0）

直线RS的纵截距t =0 …7分 当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k， 点M(x1,y1)、N(x2,y2)、R(xR,yR)。

?y?k(x?2)?由?x2，消去y整理得： y2?1??5?9(5?9k2)x2?36k2x?36k2?45?0 …9分

36k2∴x1?x2?，

9k2?5118k2则xR?(x1?x2)?

29k2?518k210kyR?k(xR?2)?k(2?2)??2

9k?59k?510k(x?1)。 直线RS的方程为y??27k2?5

令x=0，可得直线RS的纵截距t??如果k=0，则t=0； 如果k≠0，则t??10k。

27k2?510527k?k55∵|27k?|?27|k|??615

k|k|。

15时，等号成立。 …14分 91515∴0?t?或??t?0

991515综上可知，所求t的取值范围是[?,]。 …16分

99当且仅当k??14、（本题满分12分）

（文）解：（1）直线l过点（3，－5）且方向向量为V?(?2,5),则l方程为

x?3y?5??25化简为:y??5(x?1)……………………………………（4分） 2

5x2y2（2）设直线y??(x?1)与椭圆2?2?1交于A(x1,y1),B(x2,y2)，

2ab由AF??2BF求得y1??2y2……………………………………………………（7分）

2y?1代入b2x2?a2y2?a2b2中， 将x??5424222by?b2(1?a2)?0 整理得(b?a)y?5542?b?5?y1?y2???y2………………① 422? b?a?由韦达定理可知：?5 （9分）

?………………② b2(1?a2)2?y1?y2???2y24?b2?a2?5?2222由①2/②知 32b?(4b?5a)(a?1)……………………………………（12分）

2?x2y2?a?4,因此所求椭圆方程为：??1…（14分） 又a?b?1,故可求得?243??b?322（理）解：（1）直线l过点（3，－5）且方向向量为V?(?2,5)

?l方程为

x?3y?5 ??255化简为：y??(x?1)…………（4分）

25x2y2（2）设直线y??(x?1)和椭圆2?2?1

2ab交于两点A（x1,y1），B（x2,y2），和x轴交于M（1，0）

由AM?2MB知y1??2y2………………………………………………（7分）

2442 将x??y?1代入b2x2?a2y2?a2b2中得(b2?a2)y2?by?b2(1?a2)?0

555 …………………………………………①

42?b?5?y1?y2???y2………………② 422? b?a?由韦达定理知：? 5?………………③ b2(1?a2)2?y1?y2???2y24?b2?a2?5?由②2/③ 知：32b2=（4b2+5a2）（a2－1）…………………………………………（10分）

5a2(a2?1)化为4b?………………………………………………④ 29?a2对方程①求判别式，且由△>0 即??(4b2)2?4(b2?a2)?b2(1?a2)?0

5522 化简为：5a?4b?5………………………………………………⑤ 12分

5a2(a2?1)2?5,求得1?a2?9,又椭圆的焦点在x轴上， 由④式代入⑤可知：5a?29?a 则a2?b2,由④知：

45a2(a2?1)4124b??4a,结合1?a?3,求得1?a?. 239?a214). 14分 因此所求椭圆长轴长2a范围为（2,32

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