直线方程x=my+b分析
更新时间:2024-01-23 16:16:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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直线方程x=my+b分析
李鹏
解析几何中,在设直线方程时,习惯于用y=kx+b的形式,但这类直线方程不能表示与x轴垂直的直线,往往需要分类讨论k的存在与否。但当直线斜率不为零时,或过x轴上某点(b,0)时,可将直线设为x=my+b(其中b为横截距),不仅可以回避直线斜率是否存在的分类讨论,而且有时能大大地简化运算,达到优化解题的目的。
直线方程x=my+b的特征:
1. 所表示直线斜率为1/m,若直线倾斜角为α,则m=cotα. 2. 直线在x轴上的截距为b.
3. 能表示与x轴垂直的直线,但不能表示与y轴垂直(斜率为零)的直线。 一、解决三角形面积的问题
0
e.g.1:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是过焦点的弦,且直线AB的倾斜角为30求:△OAB的面积。
e.g.2:过点D(2,0)的直线L交曲线C:y2=4(x-1)于P、Q两点,E点的坐标是(1,0),若△EPQ的面积为4,求直线L的倾斜角α的值。 解:依题意可设直线方程为:x=my+2
P(x1,y1) Q(x2,y2)
联立 x=my+2
消去x得y2-4my-4=0 y2=4(x-1)
则:y1+y2=4m y1·y2=-4 所以:
即:α=π/6或α=5π/6
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e.g.3:设F1 , F2 是椭圆2x2 + 3y2 = 6的左、右焦点,弦AB过F2. 求△F1AB的面积的最 大值。
总结:设直线AB 的方程为x = m y + 1,避免了对直线AB 的斜率存在与不存在的讨论. 本题恰好是直线AB的斜率不存在时, △F1AB达到最大值因此, 在已知直线过x轴上的某点, 或在要考虑斜率不存在的直线方程时,设此方程形式不仅能显示出其优越性,而且能回避陷入僵局的情形.
二、用于解决点的轨迹问题
e.g.4:已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线L过定点A(4,0),且与抛物线交于P、Q两点。
① 若以弦PQ为直径的圆恒过原点O,求抛物线C.。 ② 在①的条件下,
求动点R的轨迹方程。
解:①依题意,可设直线L的方程为x=my+4 联立 x=my+4
y2=2px 消去x得:y2-2pmy-8p=0 设P(x1,y1) Q(x2,y2)
则:y1+y2=2pm y1y2= -8p
∴x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16= -8pm2+8pm2+16=16 由已知可得: 即:x1x2+y1y2=0 ∴16-8p=0 ∴p=2 即y2=4x
2
②由①知,抛物线方程为y=4x 设动点R(x,y)
∵F(1,0) P(x1,y1) Q(x2,y2) ∴
∵
∴ (x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(x-1,y) ∴ x-1=x1+x2-2=m(y1+y2)+6 y=y1+y2
由①知:y1+y2=4m代入上式有: x=4m2+7
y=4m 消去参数m,得动点R的方程为:y2=4x-28 故:y2=4x-28为所求动点R轨迹方程。
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三、用于判断动直线是否过定点问题
e.g.5:已知点A (x0 , 2) 在曲线C: y2 = 4x上,过点A 作曲线C的两条弦AD和AE, 且AD、AE的斜率分别为k1、k2 满足k1k2 = 2,试判断动直线DE是否过定点并证明。
四、用于解决探索性问题
e.g.6:已知抛物线y2=4x ,在x轴上是否存在一点P(b,0),使得过点P任意作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点。若存在请求出b值,若不存在请说明理由。 解:假设存在点P(b,0),满足题意,设过点P(b,0)作弦为MN,直线MN的方程为x=my+b. M(x1,y1) , N(x2,y2) 联立 x=my+b. y2=4x
消去x得:y2-4my-4b=0 .则:y1+y2=4m y1y2=-4b
2
∴ x1x2=my1y2+bm(y1+y2)+b
2
=-4mb+4mb+b
2=b 若以弦MN为直径的圆过原点,则有
即:x1x2+y1y2=0 2
∴b-4b=0.
解得:b=4或b=0(不合题意舍去)
故,在x轴上存在着点P(4,0)满足题意。
根据题设条件, 选用恰当的直线方程形式是达到求简目的的重要手段, 一旦灵活选用恰当的方程,就可以大大简化求解过程. 当直线过圆锥曲线在x轴上的焦点或直线和圆锥曲线相交,且与x轴相交时, 常常可以设出直线方程为x = m y + n, 这样既避免了讨论,又提高了解题速度。
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