直线方程x=my+b分析

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直线方程x=my+b分析

李鹏

解析几何中，在设直线方程时，习惯于用y=kx+b的形式，但这类直线方程不能表示与x轴垂直的直线，往往需要分类讨论k的存在与否。但当直线斜率不为零时，或过x轴上某点（b,0）时，可将直线设为x=my+b(其中b为横截距），不仅可以回避直线斜率是否存在的分类讨论，而且有时能大大地简化运算，达到优化解题的目的。

直线方程x=my+b的特征：

1. 所表示直线斜率为1/m，若直线倾斜角为α，则m=cotα. 2. 直线在x轴上的截距为b.

3. 能表示与x轴垂直的直线，但不能表示与y轴垂直（斜率为零）的直线。 一、解决三角形面积的问题

0

e.g.1：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，AB是过焦点的弦，且直线AB的倾斜角为30求：△OAB的面积。

e.g.2：过点D（2，0）的直线L交曲线C：y2=4(x-1)于P、Q两点，E点的坐标是（1，0），若△EPQ的面积为4，求直线L的倾斜角α的值。 解：依题意可设直线方程为：x=my+2

P(x1,y1) Q(x2,y2)

联立 x=my+2

消去x得y2-4my-4=0 y2=4(x-1)

则：y1+y2=4m y1·y2=-4 所以：

即：α=π/6或α=5π/6

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e.g.3:设F1 , F2 是椭圆2x2 + 3y2 = 6的左、右焦点,弦AB过F2. 求△F1AB的面积的最 大值。

总结：设直线AB 的方程为x = m y + 1,避免了对直线AB 的斜率存在与不存在的讨论. 本题恰好是直线AB的斜率不存在时, △F1AB达到最大值因此, 在已知直线过x轴上的某点, 或在要考虑斜率不存在的直线方程时,设此方程形式不仅能显示出其优越性,而且能回避陷入僵局的情形.

二、用于解决点的轨迹问题

e.g.4：已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线L过定点A（4，0），且与抛物线交于P、Q两点。

① 若以弦PQ为直径的圆恒过原点O，求抛物线C.。 ② 在①的条件下，

求动点R的轨迹方程。

解：①依题意，可设直线L的方程为x=my+4 联立 x=my+4

y2=2px 消去x得：y2-2pmy-8p=0 设P(x1,y1) Q(x2,y2)

则：y1+y2=2pm y1y2= -8p

∴x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16= -8pm2+8pm2+16=16 由已知可得： 即：x1x2+y1y2=0 ∴16-8p=0 ∴p=2 即y2=4x

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②由①知，抛物线方程为y=4x 设动点R（x,y）

∵F(1,0) P(x1,y1) Q(x2,y2) ∴

∵

∴ (x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(x-1,y) ∴ x-1=x1+x2-2=m(y1+y2)+6 y=y1+y2

由①知：y1+y2=4m代入上式有： x=4m2+7

y=4m 消去参数m，得动点R的方程为：y2=4x-28 故：y2=4x-28为所求动点R轨迹方程。

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三、用于判断动直线是否过定点问题

e.g.5：已知点A (x0 , 2) 在曲线C: y2 = 4x上,过点A 作曲线C的两条弦AD和AE, 且AD、AE的斜率分别为k1、k2 满足k1k2 = 2,试判断动直线DE是否过定点并证明。

四、用于解决探索性问题

e.g.6：已知抛物线y2=4x ，在x轴上是否存在一点P（b,0）,使得过点P任意作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点。若存在请求出b值，若不存在请说明理由。 解：假设存在点P（b,0）,满足题意，设过点P（b,0）作弦为MN，直线MN的方程为x=my+b. M(x1,y1) , N（x2,y2） 联立 x=my+b. y2=4x

消去x得：y2-4my-4b=0 .则：y1+y2=4m y1y2=-4b

2

∴ x1x2=my1y2+bm(y1+y2)+b

2

=-4mb+4mb+b

2=b 若以弦MN为直径的圆过原点，则有

即：x1x2+y1y2=0 2

∴b-4b=0.

解得：b=4或b=0(不合题意舍去)

故，在x轴上存在着点P（4，0）满足题意。

根据题设条件, 选用恰当的直线方程形式是达到求简目的的重要手段, 一旦灵活选用恰当的方程,就可以大大简化求解过程. 当直线过圆锥曲线在x轴上的焦点或直线和圆锥曲线相交，且与x轴相交时, 常常可以设出直线方程为x = m y + n, 这样既避免了讨论,又提高了解题速度。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3b6o.html