概率论与数理统计第二章补充题及答案

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统计学院概率论与数理统计补充题

《概率论与数理统计》第二单元补充题

一、填空题：

1、函数f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数的充要条件是

1），2）

2、随机变量X的分布律为为__________

XP011321021，则X2的分布律为__________,2X+1的分布律51?，则随机变量,k?1,2,?Y?sinXk223、设离散型随机变量X的分布律为P{X?k}?的分布律为

4、设离散型随机变量X的分布律为 k=1, 2, 3,?，则c= .

5、设随机变量X的概率密度函数为

，

则P(0

6、随机变量X~b(10,)，则P ?X?0??7、随机变量X的分布律为P?X?k??则a?13，P?X?1??

a，（k?1,2,3,4,5)， 5

，F(2.5)?8、随机变量X服从(0,b)上的均匀分布，且P?1?X?3??1，则b?3，

9、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则P?X?1??P?X?1??

二、选择题：

1、下列命题正确的是。

（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数（ B ）连续型随机变量的密度函数f(x)满足0?f(x)?1 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数（ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数

第?单元补充题及参考答案第 1 页共 11 页 2013-月

统计学院概率论与数理统计补充题

2、设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，则为使

F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是________

3222,b?? （ B ） a?,b?? 55331313( C ） a??,b? （ D ） a??,b??

2222（ A ） a?三、计算题

1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为常数c并计算P{ξ<1|ξ≠0}.

2、已知ξ~?(x)??1357, 确定,,,2c4c8c16c?2x0?x?1, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).

?0其它?0?23、设连续型随机变量ξ的分布函数为:F(x)??Ax?1?求：（1）、系数A; （2）、P(0.3<ξ<0.7); （3）、概率密度φ(x).

4、设随机变量X的密度函数f(x)??x?00?x?1 x?1?2x0?x?1用Y表示对X的三次独立重复观察

其他?0中事件{X?}出现的次数，求（1）P{Y=2}；（2）P{Y≥1}.

5、已知离散型随机变量X的概率分布为P{X?n}?122,n?1,2,?，求随机变量n3Y?1?(?1)X的分布律和分布函数.

6、（1）、已知随机变量X的概率密度函数为fX(x)?函数。

（2）、已知随机变量X的分布函数为FX(x),另有随机变量

1?xe,???x???，求X的分布2?1,Y????1,X?0,X?0。

试求Y的分布律和分布函数。

7、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的命中率分别为0.7和0.8。记Y表示二人投篮的总次数。（1）求Y的分布律；（2）问谁先投中的可能性大？

8、假设随机变量X的绝对值不大于1，P{X??1}?11；P{X?1}?；在事件84“|X|<1”发生的条件下，X在（-1，1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度

第?单元补充题及参考答案第 2 页共 11 页 2013-月

统计学院概率论与数理统计补充题

成正比，求X的分布函数.

9.一个人在一年中患感冒的次数X服从参数为??4的Poisson分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数?降为??1（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数?降为??3（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？

四、问答题

1、随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有何意义？

2、随机变量的分布函数有什么意义？

3、连续型随机变量的f(x)dx与离散型随机变量的pk在概率中的意义是否相同？ 4、为什么P{X?a}?0不能说明X=a是不可能事件？ 5、不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？

第?单元补充题及参考答案第 3 页共 11 页 2013-月

统计学院概率论与数理统计补充题

《概率论与数理统计》第二单元补充题参考答案

一、填空题：

1、函数f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数的充要条件是

（1）f(x)?0, （2）

????f(x)dx?1. 01132105 151?，则随机变量,k?1,2,?Y?sinXk222、随机变量X的分布律为

XP21，则X2的分布律为X25P01132104,2X+1的15分布律为2X?1P13132103、设离散型随机变量X的分布律为P{X?k}?的分布律为Y?101218p15315

4、设离散型随机变量X的分布律为 k=1, 2, 3,?，则c= 0.5 .

5、设随机变量X的概率密度函数为

，

则P(0

10101?2??2?(X?0)???，P(X?1)?1???. 6、随机变量X~b(10,)，则P

3?3??3?7、随机变量X的分布律为P?X?k??则a?1a，（k?1,2,3,4,5)， 52，F(2.5)?

51，则b?32e-28、随机变量X服从(0,b)上的均匀分布，且P?1?X?3??6或32

9、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则P(X?1)?,，

P(X?1)?3e-2,

二、选择题：

1、下列命题正确的是 C 。

（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数（ B ）连续型随机变量的密度函数f(x)满足0?f(x)?1

第?单元补充题及参考答案第 4 页共 11 页 2013-月

统计学院概率论与数理统计补充题

（ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数（ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数

2、设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，则为使

F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是__A______ 3222,b?? （ B ） a?,b?? 55331313( C ） a??,b? （ D ） a??,b??

2222（ A ） a?

二、计算题

1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为常数c并计算P{ξ<1|ξ≠0}.

1357, 确定,,,2c4c8c16c解: 根据概率函数的性质有

P{???1}?P{??0}?P{??1}?P{??2}?1

即

1357????1 2c4c8c16c得

c?13578?12?10?737??????2.3125 248161616设事件A为ξ<1, B为ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则

P{??1|??0}?P(AB)P{??1???0}?P(B)P{??0)1. P{???1}82????0.32157P{???1}?P{??1}?P{??2}25??2816

2、已知ξ~?(x)???2x0?x?1, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).

?0其它00.50,5解: P{??0.5}???(x)dx??????0dx??2xdx?x020.5|0?0.52?02?0.25；

因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P{ξ=0.5}=0；现在求F(x): 当x<0时, F(x)=0

第?单元补充题及参考答案第 5 页共 11 页 2013-月

统计学院概率论与数理统计补充题

x当0≤x<1时, F(x)???(t)dt??????0dt??2tdt?t|00x2x0?x2

当x≥1时, F(x)=1 综上所述, 最后得:

?0?F(x)??x2?1?

x?00?x?1 x?1x?00?x?1 x?1?0?23、设连续型随机变量ξ的分布函数为:F(x)??Ax?1?求：（1）、系数A; （2）、P(0.3<ξ<0.7); （3）、概率密度φ(x).

解: （1）因ξ是连续型随机变量, 因此F(x)必是连续曲线, 则F(1?0)?F(1?0) 因此A×12=1, 即A=1. （2）则分布函数为

?0?F(x)??x2?1?x?00?x?1 x?1P(0.3<ξ<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4 （3）概率密度φ(x)为

?2x0?x?1??(x)?F(x)??

0其它?

4、设随机变量X的密度函数f(x)???2x0?x?1用Y表示对X的三次独立重复观察

其他?0中事件{X?}出现的次数，求（1）P{Y=2}；（2）P{Y≥1}

1113解：首先可计算得到P{X?}??12xdx?x2|11?1??

2442212由题意知Y～b（3，

3） 4223?3?127所以（1）P{Y?2}?C????

?4?464第?单元补充题及参考答案第 6 页共 11 页 2013-月

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63?3??1?（2）P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C??????

4464????0303

5、已知离散型随机变量X的概率分布为P{X?n}?2,n?1,2,?，求随机变量n3Y?1?(?1)X的分布律和分布函数

解：由于

P{Y?0}??P{X?2k?1}??k?0k?0????232k?12??1213??k???

143k?0931?91P{Y?2}?1?P{Y?0}?4

因此，Y的分布律为：

Ypk034214，

易计算，它的分布函数为

?0?3FY(y)???4?1

y?00?y?2y?2。

1?xe,???x???，求X的分布2

6、（1）、已知随机变量X的概率密度函数为fX(x)?函数。

（2）、已知随机变量X的分布函数为FX(x),另有随机变量

?1,Y????1,X?0,X?0。

试求Y的分布律和分布函数。

?1xe,x?0,??2解：（1）由于fX(x)?? 所以

?1e?x,x?0.??2x当x?0时，FX(x)?当x?0时，FX(x)???x?fX(x)dx?1x1xedx?e ?22??0xx???111fX(x)dx??exdx??e?xdx?1?e?x

222??0第?单元补充题及参考答案第 7 页共 11 页 2013-月

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?1xe,x?0,??2所以FX(x)??

1?1?e?x,x?0.??211（2）易知P(Y??1)?P(X?0)?FX(0)?,P(Y?1)?P(X?0)?1?FX(0)?,

22于是Y的分布律为

Y -1 1 P 1 1 22y??1?0,?1?分布函数为FY(y)??,?1?y?1

?2y?1??1,

解：易知P{Y=1}=0.7 P{Y=2}=0.3×0.8 P{Y=3}=0.3×0.2×0.7 P{Y=4}=0.32×0.2×0.8 所以：（1）分布律：

P{Y?2k}?0.3k0.2k?10.8P{Y?2k?1}?0.3k?10.2k?10.7??k?1,2,...

0.7?0.7447

1?0.06（2）P{甲先投中}??P{Y?2k?1}??(0.3k?10.2k?10.7)?k?1k?1P{乙先投中}??P{Y?2k}??(0.3k0.2k?10.8)?k?1k?1??0.24?0.2553

1?0.06∴甲先投中的可能性大

8、假设随机变量X的绝对值不大于1，P{X??1}?11；P{X?1}?；在事件84“|X|<1”发生的条件下，X在（-1，1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数

解：当x??1 当x??1 当x?1F(x)?0

F(?1)?1 8F(x)?1

第?单元补充题及参考答案第 8 页共 11 页 2013-月

统计学院概率论与数理统计补充题

由于当?1?x?1时，有P{?1?X?x|?1?X?1}?k(x?1) 即当x?1k(1?1)?1?k?1 2 P{?1?X?x|?1?X?1}? ∴P{?1?X?x}?P{?1?X?x}x?1 ?P{?1?X?1}2x?1?11?5(x?1) ?1????2?84?16F(x)?P{X?x}?P{X??1}?P{?1?X?x}?15(x?1)5x?7??81616

P?X?k??pk?1?1?p???1?p?k?1p?k?2，3，4，??

解：设A1??此药疗效显著?，A2??此药疗效一般?，A3??此药无效?， B??某人一年中患2次感冒?，则

P?A1B??P?A1?P?BA1??P?A?P?Bkk?13Ak?

12?10.22?e2??0.2206 21?132?342?40.22?e?0.37?e?0.41?e222

四、问答题

1、随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有何意义？

答：随机变量是在随机试验的样本空间S上，对每一个e?S，给予一个实数X（e）与之对应而得到的一个实值单值函数。从定义可以认识到：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间。这两点是二者的主要区别。

引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要。为了便于数学推理和计

第?单元补充题及参考答案第 9 页共 11 页 2013-月

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算，有必要将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。

2、随机变量的分布函数有什么意义？