第5章 热力学基础

第5章 热力学基础

5-1 （1）P?V图上用一条曲线表示的过程是否一定是准静态过程？

（2）理想气体向真空自由膨胀后，状态由(P这一过程能否在P?V1,V1)变至(P2,V2)，图上用一条曲线表示，

r（3）是否有PV1r?P12V2成立？

答：（1）是； （2）不能；

（3）成立，但中间过程的状态不满足该关系式。

5-2（1）有可能对物体加热而不升高物体的温度吗? （2）有可能不作任何热交换，而使系统的温度发生变化吗？

答：（1）可能，如等温膨胀过程；

（2）可能，如绝热压缩过程，与外界没有热交换但温度升高。

5-3 （1）气体的内能与哪些因数有关？（2）为什么说理想气体的内能是温度的单值函数？

答：（1）气体的内能与温度、体积及气体量有关；

（2）理想气体分子间没有相互作用，也就没有势能，所以内能与分子间距离无关，也就与体积无关，因而理想气体的内能是温度的单值函数。

5-4 如图所示，系统沿过程曲线abc从a态变化到c态共吸收热量500J，同时对外做功400J，后沿过程曲线cda回到a态，并向外放热300J。系统沿过程曲线cda从c态变化到a态时内能的变化及对外做的功。

解：据热力学第一定律计算

a→b→c：?Q1?500J，A1?400J，??E1?100J c→d→a：?Q2??300J，?E2??100J，?A1??200J 系统沿过程曲线cda从c态变化到a态时 内能的变化：?E2??100J； 对外做的功：A1??200J

5-5 内能和热量的概念有何不同，下面两种说法是否正确？（1）物体的温度愈高，→则热量愈多；（2）物体的温度愈高，则内能愈大。

答：内能是状态量，热量是过程量。 （1）物体的温度愈高，→则热量愈多。错。

习题5-4图

（2）物体的温度愈高，则内能愈大。对。

5-6 1 mol氧气由状态1变化到状态2，所经历的过程如图，一次沿1?m?2路径，另一次沿1?2直线路径。试分别求出这两个过程中系统吸收热量Q、对外界所作的功A以

P/Pa 及内能的变化E2?E1。

解：根据理想气体状态方程pV = RT， 1.25×105 可得气体在状态1和2的温度分别为 1.0×105 T1 = p1V1/R和T2 = p2V2．

氧气是双原子气体，自由度i = 5，由于内 能是状态量，所以其状态从1到2不论从 经过什么路径，内能的变化都是 0 1 m 2 V/m3 5×10-2

1×10-2

ii?E?R(T2?T1)?(p2V2?p1V1)= 9.375×103[J]．

22系统状态从1→m的变化是等压变化，对外所做的功为

A??pdV?p(V2?V1)= 5.0×103[J]．

V1V2系统状态从m→2的变化是等容变化，对外不做功．因此系统状态沿1→m→2路径变化时，对外做功为8.0×103J；吸收的热量为

Q = ΔE + A = 1.4375×104[J]．

系统状态直接从1→2的变化时所做的功就是直线下的面积，即

A?1(p2?p1)(V2?V1)= 4.5×103[J]． 2吸收的热量为

Q = ΔE + A = 1.3875×104[J]．

5-7 1mol 氢在压强为1.013?10Pa，温度为20℃时的体积为V0，今使其经以下两种过程达同一状态：（1）先保持体积不变，加热使其温度升高到80℃，然后令其作等温膨胀，体积变为原体积的2倍；（2）先使其作等温膨胀至原体积的2倍，然后保持体积不变，升温至80℃。试分别计算以上两过程中吸收的热量，气体所做的功和内能增量。将上述两过程画在同一P?V图上并说明所得结果。

解：氢气是双原子气体，自由度i = 5，由于内能是状态量，所以不论从经过什么路径从初态到终态，内能的增量都是

5?E?iR(T2?T1)= 1.2465×103[J]． 2V2V2（1）气体先做等容变化时，对外不做功，而做等温变化时，对外所做的功为

A2??pdV?RT2?V1V11dV Vp T2 T1 O V0 2V0 V ?RT2ln2= 2.0333×103[J]，

所吸收的热量为

Q2 = ΔE + A2 = 3.2798×103[J]．

（2）气体先做等温变化时，对外所做的功为

A1??pdV?RT1?V1V2V2V11dV?RT1ln2= 1.6877×103[J]， V所吸收的热量为

Q1 = ΔE + A1 = 2.9242×103[J]．

如图所示，气体在高温下做等温膨胀时，吸收的热量多些，曲线下的面积也大些．

5-8 为了测定气体的?(?Cp/CV)，可用下列方法：一定量气体，它的初始温度、体积和压强分别为T0,V0和P0。用一根通电铂丝对它加热，设两次加热电流和时间相同，使气体吸收热量保持一样。第一次保持气体体积V0不变，而温度和压强变为T1，P1；第二次保持压强P0不变，而温度和体积则变为T2，V1，证明：

??证明：定容摩尔热容为：CV?在本题中为：CV = ΔQ/(T1 – T0)； 定压摩尔热容为：Cp?(P1?P0)V0

(V1?V0)P0(dQ)V， dT(dQ)pdT，在本题中为：Cp = ΔQ/(T2 – T0)；

对于等容过程有：p1/T1 = p0/T0，所以：T1 = T0p1/p0； 对于等压过程有：V2/T2 = V0/T0，所以：T2 = T0V2/V0． 因此：??

5-9 理想气体的既非等温也非绝热的过程可表示为PV=常数，这样的过程叫多方过程，n叫多方指数；

（1）说明n?0,1,?和?各是什么过程？ （2）证明：多方过程中理想气体对外作功：

nCpCV?T1?T0T0p1/p0?T0(p1?p0)V0 证毕。 ??T2?T0T0V2/V0?T0(V2?V0)p0A?P1V1?P2V2

n?1（3） 证明：多方过程中理想气体的摩尔热容量为：C?CV(并就此说明（1）中各过程的C值。 解：（1）[说明]：

当n = 0时，p为常数，因此是等压过程；

??n1?n)

当n = 1时，根据理想气体状态方程pV = RT，温度T为常数，因此是等温过程； 当n = γ时表示绝热过程；

当n =∞时，则有p1/nV = 常数，表示等容过程．

（2）[证明]对于多方过程有：pVn = p1V1n = p2V2n = C(常数)，

V2V2?n理想气体对外所做的功为：A?V1?pdV??CVV1dV

?pV?pVC(V21?n?V11?n)?1122．证毕． 1?nn?1（2）[证明]对于一摩尔理想气体有：pV = RT，

RT1?RT2，

n?1i1R(T2?T1)， 气体吸收的热量为：Q = ΔE + A = R(T2?T1)?21?n因此气体对外所做的功可表示为：A?摩尔热容量为：C?Qi1i?2?in?(?)R?R

T2?T121?n2(1?n)(i?2)/i?ni??n?R?CV．证毕．

1?n21?n?

5- 10 一气缸内贮有10 mol 的单原子理想气体，在压缩过程中，外力做功209J，气体温度升高1℃。试计算气体内能增量和所吸收的热量，在此过程中气体的摩尔热容量是多少？

解：单原子分子的自由度为i = 3，一摩尔理想气体内能的增量为：

?E?iR?T= 12.465[J]， 210mol气体内能的增量为124.65J。

气体对外所做的功为A = - 209J，所以气体吸收的热量为：Q = ΔE + A = -84.35[J]。 1摩尔气体所吸收的热量为热容为-8.435J，所以摩尔热容为：

C = -8.435[J·mol-1·K-1]．

5-11 （1）一条绝热线和一条等温线能否有两个交点？两条绝热线和一条等温线能否构成一个循环。

答：（1）不能，（2）不能，若有，效率为100%，故不能。

5-12 气缸内有单原子理想气体，若绝热压缩使体积减半，问气体分子的平均速率变为原来速率的几倍？若为双原子理想气体，又为几倍？

解：根据题意由T1V1??1?T2V2??1和v?8kT有： ?mv2TV?2?31?1.26T1V2单原子理想气体平均速率变为原来速率的：v1

v2TV?2?51?1.15T1V2双原子理想气体平均速率变为原来速率的：v1

5-13一定量的单原子分子理想气体，从初态A出发，沿图示直线过程变到另一状态B，又经过等容,等压两过程回到状态A.

(1)A?B,B?C,C?A各过程中系统对外所作的功A,内能的增量?E以及所吸收的热量Q.

(2)整个循环过程中系统对外所作的总功以及从外界吸收的总热量(各过程吸热的代数和)

解：单原子分子的自由度i = 3．

（1）在A→B的过程中，系统对外所做的功为AB直线下的面积，即 AAB = (pA + pB)(VB – VA)/2 = 200[J]， 内能的增量为

?EAB?iMiR(TB?TA)?(pBVB?pAVA)= 750[J]．

22?吸收的热量为：QAB = ΔEAB + AAB = 950[J]．

B→C是等容过程，系统对外不做功．内能的增量为： 习题5-13图

?EBC?iMiR(TC?TB)?(pCVC?pBVB)= -600[J]．

22?吸收的热量为：QBC = ΔEBC + ABC = -600[J]，

C→A是等压过程，系统对外做的功为：ACA = pA(VA – VC) = -100[J]。 内能的增量为：?ECA?iMiR(TA?TC)?(pAVA?pCVC)= -150[J]。

22?吸收的热量为：QCA = ΔECA + ACA = -250[J]。

（2）对外做的总功为：A = AAB + ABC + ACA = 100[J]。 吸收的总热量为：Q = QAB + QBC + QCA = 100[J]。

由此可见：当系统循环一周时，内能不变化，从外界所吸收的热量全部转化为对外所做的功．

5-14 1mol单原子分子的理想气体，经历如图所示的可逆循环，连接ac两点的曲线III

2的 方程为p?p0V2/V0，a点的温度为T0

(1) 以 T0，R 表示I，II，III过程中气体吸收的热量。 (2) 求此循环的效率。

解：由题可知：p0V0 = RT0．

（1）I是等容过程，系统不对外做功，

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