周期型方形信号的傅里叶级数展开

周期方波的傅里叶级数

周期方形信号的傅里叶级数展开

提出问题：

用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。

设周期为2 的方波信号由以下函数给出

f(t) /4, 0 t 。

/4, t 2

利用Mathematica软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。

问题背景：

在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Mathematica软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。

知识基础：

周期函数的傅里叶级数展开，Mathematica软件

实验过程：

对于周期为2 函数f(t), 满足Dirichlet条件，则可展为傅里叶级数

将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Mathematica软件，编写程序如下： Clear[s,f,n,k,x,t,a,b,A,B]

f[t_]:=Piecewise[{{4/Pi,0 t<Pi || 2*Pi t<3*Pi},{-4/Pi,Pi t<2*Pi || 3*Pi t<4*Pi}}] a[0]=Integrate[f[t],{t,0,2*Pi}]/Pi;

a[n_]:=Integrate[f[t]*Cos[n*t],{t,0,2*Pi}]/Pi

b[n_]:=Integrate[f[t]*Sin[n*t],{t,0,2*Pi}]/Pi

s[x_]:=a[0]/2+Sum[a[k]*Cos[k*x]+b[k]*Sin[k*x],{k,1,n}]

A=Plot[f[t],{t,0,4*Pi},PlotStyle {RGBColor[1,0,0],Thickness[0.009]}]

Do[Plot[Evaluate[s[x]],{x,0,4*Pi},PlotStyle {RGBColor[0.5,0,0.5]}],{n,10,20,5}] T=Table[s[x],{n,10,20,5}];

B=Plot[Evaluate[T],{x,0,4*Pi},PlotStyle {RGBColor[0.3,1,0.5]}]

Show[A,B]

输出结果为：

a0 f(t) (ancosnt

bnsinnt).2n 1

周期方波的傅里叶级数

结论：

（1） 一个周期方波信号可以由频率成整数倍的正弦波谐波叠加而成。

（2） 随着谐波的增多，叠加而成的波形逐渐接近方波的形状。

拓展练习：

1. 可将周期2 扩展为任意周期T,则此时方波信号的角频率 2 /T，当方波信号

f(t)满足Dirichlet条件时，则可展为傅里叶级数：

a0 f(t) (ancosn t bnsinn t).2n 1a0 2 Tf(t)dt 0T2 Ta f(t)cosn t dt nT 0bn 2 Tf(t)sinn t dt。 0T

从而该傅里叶级数展开形式可以更实际用于频谱分析。

2. 考虑周期矩形或周期锯齿形，及非周期信号的傅里叶级数展开

知识点： 第12章第八节 一般周期函数的傅里叶级数

参考文献：

1. 王彦良，用有限项傅里叶级数三维趋近周期性方波信号，沈阳工程学院学报(自然科学版)， 2006，2，

187-189.

2. 汪逸新，方波信号的傅里叶分解实验，大学物理，1996，15， 30-32.

3. 宋复成，方波信号的傅里叶合成演示，徐州师范大学学报(自然科学版)，1998，16，30-32.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3az1.html