2016黑龙江工业学院单招数学模拟试题(附答案)

考单招——上高职单招网 2016黑龙江工业学院单招数学模拟试题(附答案)

一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)

1.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为?2,公差为4的等差数列.若an?bn,则n的值为( ).

A.4 B.5 C.6 D.7

2.函数y?cos2(x???12)?sin2(x??12)?1的最小正周期为( ).

? A. B. C.? D.

422?

3.已知f(10x)?x,则f(5)?( ).

A.105 B.510 C.lg5 D.log510

4.两个集合A与B之差记为“A/B”,定义为A/B?{x|x?A,x?B}.如果集合 A?{x|log2x?1,x?R},集合B?{x||x?2|?1,x?R},那么A/B?( ).

A.{x|x?1} B.{x|x?3} C.{x|1?x?2} D.{x|0?x?1} 5.设a,b?R,a?2i??1?bi3?i,则lima?ba?bnnnnn??等于( ).

A.1 B.?1 C. ?1或1 D.不存在

6.已知球面上的四点P、A、B、C,PA、PB、PC的长分别为3、4、5,且这三条线段两两 垂直,则这个球面的表面积为( ). A.202? D.200?

B.252?

C.50?

7.正方体ABCD?A1B1C1D1中,若E为棱AB的中点,则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为( ).

考单招——上高职单招网 A.

1726 B.

24 C.1717 D.

x28.已知椭圆

8?y22m?1(0?m?22)的两焦点分别为F1、F2,点P(2,2)满足

|PF1|?|PF2|?42,则m?( ). A.2 B.22 C.1 D.2

9.直线Ax?By?C?0与圆x2?y2?4交于M、N两点,若满足C2?A2?B2,则?????????OM?ON(O为坐标原点)等于( ).

A.?2 B.?1 C.0 D.1 10.已知方程x2?(1?a)x?1?a?b?0的两根为x1,x2,且0?x1?1?x2,则的取值范围

ab是( ).

A.(?1,?] B.(?1,?) C.(?2,?] D.(?2,?) B 22221111CA

11.五个人站在图中A、B、C、D、E五个位置上互相传球,规定每次 只能传给相邻的人,如B不能直接传给D等.若开始时球在A手中,则经 E 过四次传球后,球又回到A手中的传法种数是( ).

A.16 B.32 C.64 D.128

D

12.设f(n)为整数n(十进制)的各位数上的数字的平方之和,比如f(123)?12?22?32, 记f1(n)?f(n),fk?1(n)?f[fk(n)](k?1,2,3,?),则f2007(2006)等于( ). A.20 B.42 C.37 D.45

第(Ⅱ)卷 (非选择题 共90分)

二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)

??13.已知a?(2,?1),b?(1,2),且|a?tb|?5,则实数t?__________.

考单招——上高职单招网 14.已知(1?x)?(1?x)2?(1?x)3???(1?x)n?a0?a1x?a2x2???anxn,且a0?a1???an?126,那么二项式(3x?21x)n的展开式中常数项为__________.

15.过双曲线M：x?yb22?1(b?0)的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的

两条渐近线分别交于点B、C,且|AB|?|BC|,则双曲线M的离心率__________. 16.在000,001,?,999这1000个连号中抽奖,若抽出的号码中,出现仅出现两个偶数数字则中奖,那么抽取一个号码能中奖的概率是________.

三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知

sinB?513,且a、 b、c成等比数列.

(Ⅰ)求cotA?cotC的值； ???????? (Ⅱ)若AB?BC??12,求a?c的值.

18.(本小题满分12分)四个纪念币A、B、C、D,投掷时正面向上的概率如下表所示(0?a?1).

纪念币 概率

A

12B

12C

D

a

a

考单招——上高职单招网 这四个纪念币同时投掷一次,设?表示出现正面向上的个数. (Ⅰ)求?的分布列及数学期望；

(Ⅱ)在概率P(??i)(i?0,1,2,3,4)中,若P(??2)的值最大,求a的取值范围；

19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱ABC?A1B1C1中,侧面AA1B1B?底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60?的角,AA1?2.底面ABC是边长为2的正三角形,

其重心为G点.E是线段BC1上的一点,且BE?BC1.

31A1

C1

B1

(Ⅰ)求证：GE//侧面AA1B1B；

(Ⅱ)求平面B1GE与底面ABC所成的锐二面角的大小.

20.(本小题满分12分)设f(x)?x3EA G B

C 3,g(x)?t3x?t(t?R).

322

考单招——上高职单招网 (Ⅰ)当t?8时,求函数y?f(x)?g(x)的单调区间； (Ⅱ)求证：当x?0时,f(x)?g(x)对任意正实数t成立.

21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列{an}由a1?1,an?1?1c?11c?an(n?1,2,3,?)确定.

(Ⅰ)对于一切的n?N*,证明：

1c?a?an?1；

(Ⅱ)若a是满足a?Sn?1.

的正实数,且Sn?|a1?a|?|a2?a|???|an?a|,证明：

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22.(本小题满分14分)已知常数列a?0,点A(?a,0)是直角?ABC的直角顶点,顶点B在定直线l：x?上移动,斜边BC所在直线恒过定点D(a,0).

2a (Ⅰ)求顶点C的轨迹T的方程；

(Ⅱ)设P是轨迹T上的任一点,l是过点P法线(即与过P点的切线垂直的直线),且M(?2a,0),N(2a,0),证明：直线MP、NP与直线l的夹角相等.

参考答案

一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.) 题号 答案

二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,) 13.0 14. ?540 15. 10 16. 272001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B C C D B C C D A D B B

.

三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

考单招——上高职单招网 17.(本小题满分12分)在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知

513sinB?,且a、 b、c成等比数列.

????????cotA?cotC (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若AB?BC??12,求a?c的值.

解：(Ⅰ)依题意,b2?ac,由正弦定理及sinB?513,得sinAsinC?sin2B?51325169.

cotA?cotC?cosAsinA?cosCsinC?sin(A?C)sinAsinC?sinBsinAsinC??16925?135.

????????5 (Ⅱ)由AB?BC??12,得accos(??B)??12,即accosB?12.由sinB?,得

13cosB??1213(舍负)

1213 ∴b2?ac?13,由余弦定理,得13?(a?c)2?2ac?2?a?c?37. ac,∴(a?c)2?63,故

18.(本小题满分12分)四个纪念币A、B、C、D,投掷时正面向上的概率如下表所示(0?a?1).

纪念币 概率

A

12B

12C

D

a

a

这四个纪念币同时投掷一次,设?表示出现正面向上的个数. (Ⅰ)求?的分布列及数学期望；

(Ⅱ)在概率P(??i)(i?0,1,2,3,4)中,若P(??2)的值最大,求a的取值范围；

解：(Ⅰ)P(?)是?个正面向上,4??个背面向上的概率.其中?的可能取值为0,1,2,3,4.

00 ∴P(??0)?C2(1?)2C2(1?a)2?(1?a)2,

11241001P(??1)?C2?(1?)C2(1?a)2?C2(1?)C2a(1?a)?(1?a),

111122222011022P(??2)?C2?()2C2(1?a)2?C2?(1?)C2a(1?a)?C2(1?)2C2a?(1?2a?2a2),

1111122224

考单招——上高职单招网 21122222P(??3)?C2()2C2a(1?a)?C2?(1?)C2a?,P(??4)?C2()2C2a?a2.

111a11222224 ∴?的分布列为

?

140

121

122

(1?2a?2a2)

3

a24

14P (1?a) (1?a)

4

a2

?的数学期望为

E??0?(1?a)2?1?(1?a)?2?(1?2a?2a2)?3??4?a2?2a?1.

42424111a1 (Ⅱ)∵0?a?1,∴P(??0)?P(??1),P(??4)?P(??3).则

P(??2)?P(??1)?(1?2a

41?2a2)???(2a2?4a?1)?0,P(??2)?P(??3)?(1?2a?2a2)???(2a2?1)?0,

244242?2??2a?4a?1?0 由?2,得

2??2a?1?0a11a12?a?22,即a的取值范围是[2?22,22].

19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱ABC?A1B1C1中,侧面AA1B1B?底面ABC,侧棱

A1 AA1与底面 C1 ABC成60?的角,AA1?2.底面ABC是边长为2的正三角形,

EB1

其重心为G点.E是线段BC1上的一点,且BE?BC1.

31A G B

C (Ⅰ)求证：GE//侧面AA1B1B；

(Ⅱ)求平面B1GE与底面ABC所成的锐二面角的大小.

解：(Ⅰ)延长B1E交BC于点F,则BF?B1C1?BC,即F为BC的中点.∵G为

2211?ABC的重心,

∴A、G、F三点共线,且

FGFA?FEFB1?,∴GE//AB1,故GE//侧面AA1B1B.

31

考单招——上高职单招网 (Ⅱ)作B1H?AB于H,∴B1H?面ABC.∵侧棱AA1与底面ABC成60?的角,AA1?2.

∴?B1BH?60?,BH?1,B1H?3.作HT?AF于T,连B1T,则BT1?AF,∴?B1TH为

所求二面角的平面角.又AH?AB?BH?3,?HAT?30?,∴HT?AHsin30??,

23在

Rt?B1HT中,tan?B1TH?B1HHT?233x3,故所求锐二面角的大小为arctan2233.

20.(本小题满分12分)设f(x)?3,g(x)?t3x?t(t?R).

32(Ⅰ)当t?8时,求函数y?f(x)?g(x)的单调区间； (Ⅱ)求证：当x?0时,f(x)?g(x)对任意正实数t成立. (Ⅰ)解：当t?8时,y?x?(??,?2)?(2,??)时,

y??0；当x?(?2,2)时,y??0,∴y的单调增区间是(??,?2),(2,??)；单调增区间是(?2,2).

x33?4x?163,由y??x2?4?0,得x??2.∵当

(Ⅱ)证明：令h(x)?f(x)?g(x)?h?(x)?0,

x33?t3x?t(x?0),则h?(x)?x2?t3.当t?0时,由

3222x?t3；当x?(t3,??)时,h?(x)?0；当x?(0,t3)时,h?(x)?0,∴h(x)在(0,??)上的最小值

是h(t3)?0,故当x?0时,f(x)?g(x)对任意正实数t成立. 21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列{an}由a1?1,an?1?1c?11c?an1111(n?1,2,3,?)确定.

(Ⅰ)对于一切的n?N*,证明：

?an?1；

考单招——上高职单招网 (Ⅱ)若a是满足a?Sn?1.

1c?a的正实数,且Sn?|a1?a|?|a2?a|???|an?a|,证明：

解：(Ⅰ)用数学归纳法证明：当n?1时,a1?1,c?0, 假设n?k时结论成立,即

1c?11c?1?a1?1成立.

1c?1?ak?1,则c?1c?1?c?ak?c?1,即

?1c?ak?1c??c?12?1.

1c?1∴

1c?1?ak?1?1,∴n?k?1时结论也成立,综上,对一切的n?N*,

1c?an?an?1成立.

(Ⅱ)|an?1?a|?|?1c?a|?1(c?an)(c?a)|an?a|?an?1a|an?a|?a|an?a|,

1c?a ∴|an?a|?an?1|a1?a|.当a?1时,

1c?1?1,与a?矛盾,故0?a?1.

∴Sn?|a1?a|?|a2?a|???|an?a|?|a1?a|?a|a1?a|???an?1|a1?a|

?(1?a)(1?a?a2???an?1)?(1?a)?11?a?1.

22.(本小题满分14分)已知常数列a?0,点A(?a,0)是直角?ABC的直角顶点,顶点B在定直线

l：x?a2上移动,斜边BC所在直线恒过定点D(a,0).

(Ⅰ)求顶点C的轨迹T的方程；

(Ⅱ)设P是轨迹T上的任一点,l是过点P法线(即与过P点的切线垂直的直线),且M(?2a,0),

N(2a,0),证明：直线MP、NP与直线l的夹角相等.

????????3a 解：(Ⅰ)设B(,t),C(x,y),依题意AB?AC?0,∴(,t)?(x?a,y)?0,即

a223a2(x?a)?ty?0 ①.

考单招——上高职单招网 ????????a 又CD与BD共线,∴(a?x)(?t)?y??0 ②. 由①②消去t,得

2xa22?y223a?1(y?0).

(Ⅱ)由双曲线的对称性,不妨设P(x0,y0)是双曲线上位于x轴上方的点,由

xa22?y223a?1,

3x3x?3a22 得y?3x2?3a2,∴y??x0a22.故过点P的切线的斜率k切?3x023x0?3a2,而

?y03a22?1,

3x0y0 ∴k切?y03x0y0,∴kl??y03x0,kMP?y0x0?2a.设?是MP与直线l的夹角,则

???y0x0?2atan??|1?y0|?|4x0y0?2ay023x0?6ax0?y02y0|?|4x0y0?2ay03a?6ax02|?2y03a. 设?是NP与直线l的夹角,

3x0x0?2a?y03x0y0??x0?2a4x0y0?2ay023x0kNP?y0x0?2a,则tan??|1?y0|?|?6ax0?2y0|?|4x0y0?2ay03a?6ax02|?2y03a.

3x0x0?2a ∴tan??tan?,又0????90?,0????90?,∴???,故直线MP、NP与直线l的夹角相等.

考单招——上高职单招网 ????????a 又CD与BD共线,∴(a?x)(?t)?y??0 ②. 由①②消去t,得

2xa22?y223a?1(y?0).

(Ⅱ)由双曲线的对称性,不妨设P(x0,y0)是双曲线上位于x轴上方的点,由

xa22?y223a?1,

3x3x?3a22 得y?3x2?3a2,∴y??x0a22.故过点P的切线的斜率k切?3x023x0?3a2,而

?y03a22?1,

3x0y0 ∴k切?y03x0y0,∴kl??y03x0,kMP?y0x0?2a.设?是MP与直线l的夹角,则

???y0x0?2atan??|1?y0|?|4x0y0?2ay023x0?6ax0?y02y0|?|4x0y0?2ay03a?6ax02|?2y03a. 设?是NP与直线l的夹角,

3x0x0?2a?y03x0y0??x0?2a4x0y0?2ay023x0kNP?y0x0?2a,则tan??|1?y0|?|?6ax0?2y0|?|4x0y0?2ay03a?6ax02|?2y03a.

3x0x0?2a ∴tan??tan?,又0????90?,0????90?,∴???,故直线MP、NP与直线l的夹角相等.

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