大学物理第四版(马文蔚)量子物理习题

大学物理第四版量子物理习题

大学物理习题课量子物理

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量子力学的历史早期量子论

普朗克能量量子化假说 爱因斯坦光子假说 康普顿效应 玻尔的氢原子理论 德布罗意实物粒子波粒二象性 海森伯的测不准关系 波恩的物质波统计解释 薛定谔方程 狄拉克把量子力学与 狭义相对论相结合

量子力学

相对论量子力学

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量子物理一 黑体辐射的实验定律 1)斯特藩 斯特藩1)斯特藩-玻耳兹曼定律 M(T )=σT 4 σ σ = 5.67×10-8 W/m2K4 × 2)维恩位移律 2)维恩位移律

Μλ 0(Τ)

2200K 2000K 1800K 1600K

λm

λ

λm T = b

b = 2.898 × 10 3 m K

νm = cν T

cν = 5.88 ×1010 Hz/K2πν2 hν Mν (T) = 2 hν c ekT 12πhc2 Mλ (T) = 5

二 普朗克量子假说 (1)黑体 带电线性谐振子 黑体—带电线性谐振子 黑体 (2)能量不连续， = nε 0 能量不连续， 能量不连续 ε (3)能量子 ε0 = hν 能量子

λ

1 ehc kTλ

1

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三 光电效应 1 爱因斯坦光电效应方程 光的“波粒二象性” 2 光的“波粒二象性”

1 2 hν = mvm+ W 2

ε =hν

P=

h

四 康普顿效应 h h λ =λ λ0= (1 cos ) λc = = 0.0024nm m0c m0c 五 玻尔氢原子量子论 (1)定态假设 定态假设 (2)频率条件 hν =| En Em | 频率条件 (3)轨道量量子化L = n n = 1, 2, 3 轨道量量子化 o 4πε0 2 2 n 氢原子轨道半径 rn = r = a0 = 0.529 A 2 1 me 1 me4 能级 En = E1 = 13.6eV 2 2 (4πε0n )

λ

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六 德布罗意波 ν= E λ= h p h 七 不确定性关系

p x x ≥ 2波函数及其统计解释 波函数及其统计解释

E t ≥ 2

|ψ |2dxdydz =1 ∫∫∫波函数的标准条件 单值、有限、 单值、有限、连续

微观粒子的运动状态可以用波函数完全描述。 时刻， 微观粒子的运动状态可以用波函数完全描述。 t 时刻，波函数在空间某点的模的 描述 平方与该时刻在该点附近找到粒子的概率密度成正比。 平方与该时刻在该点附近找到粒子的概率密度成正比。

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八 薛定谔方程 2 2 ψ (r , t) i = [ + EP (r , t)] (r , t) ψ t 2m 2 2 定态薛定谔方程 (r ) + EP (r ) (r ) = E (r ) 2m 一维无限深方势阱 0 0≤ x≤a EP (x) = ∞ x < 0, x > a

ψ n (r , t ) = n (r ) e

i En t

a a 1 2 2 线性谐振子 EP (x) = mω x 2 1 ) ω 1α2x2 En= (n + n (x) = Nne 2 Hn (α x)

n2π2 2 n =1,2,3, En = 2 2ma n (x) = 2 sin nπ x

2

n = 0,1,2,

一维方势垒

D ≈ D0 e

2 a 2 m ( E P 0 E )

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九

量子力学中的氢原子问题

n = 1, 2, 3, l = 0 , 1, 2 , , n 1 ml = 0, ± 1, ± 2, , ± l

1 m e4 En = 2 (4πε 0 n ) 2

L = l (l + 1)

Lz = ml

决定能量的主要因素 1.主量子数 1.主量子数 n = 1, 2, 3, … 2.角量子数 2.角量子数 l = 0, 1, 2, …, n-1 l 有 n 种取值 L = l(l +1) 副量子数 轨道量子数 3.磁量子数 3.磁

量子数 ml = 0,±1,±2,…,±l 有 2l +1 种取值 决定电子角动量z分量 的大小， 分量L 决定电子角动量 分量 z的大小，空间量子化 ms= ± 1 4.自旋磁量子数 4.自旋磁量子数 只有 2 种取值 2 决定电子自旋角动量的z分量 分量S 决定电子自旋角动量的 分量 z的大小

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十 原子的壳层结构

1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f 5g 6s 6p 6d 6f 6g 6f 7s 7p 7d ……

n , l , ml , ms核外电子分布遵从的两条规律 1.泡利原理 1.泡利原理 2.能量最低原理 2.能量最低原理 (n+0.7l ) 原 子 中 外 层 电子 优 先 占 据 (n+0.7l )值小的状态。 值小的状态。 值小的状态 各壳层最多能容纳的电子数 对给定的次壳层， 对给定的次壳层，l 次壳层

l=0 1 2 s p d 可容纳的最多电子数： 2 6 10 可容纳的最多电子数：

3 4 …… f g …… 14 18 ……

对给定的壳层, 对给定的壳层, n 壳层

n = 1 2 3 4 5 …… K L M N O …… 可容纳的最多电子数： 可容纳的最多电子数： 2 8 18 32 50 …...

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壳层表： 壳层表：

l壳层

K L M N O P

n 1 2 3 4 5 6

0 s 1s 2s 3s 4s 5s 6s

1 p 2p 3p 4p 5p 6p

2 d

3 f

4 g

5 h

3d 4d 5d 6d

4f 5f 6f

5g 6g

6h

各壳层的电子又是如何排列呢？ 各壳层的电子又是如何排列呢？分析表明 基态原子中的核外电子排列满足如下两个 原理： 原理：

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两个原理 1)泡利不相容原理(Pauli exclusion principle) )泡利不相容原理( )在原子系统内， 在原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子 具有相同的状态， 具有相同的状态，亦不可能具有相同的四个量子数 由此可知： 因对应一个量子数为 的壳层， 由此可知： 因对应一个量子数为n的壳层 的壳层， 还有n个不同的角量子态 还有 个不同的角量子态 l [l = 0.1.2 (n 1 )] 对应每个角量子态还有

(2l +1)磁量子态 [ml = 0. ±1. ± 2 ± l]

此外对应每个磁量子数还 有2个自旋磁量子态。 个自旋磁量子态。 个自旋磁量子态

[mS = ±1/ 2]

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故每个壳层最多可容纳的电子数： 故每个壳层最多可容纳的电子数：

2 + 2[(2n 1) +1] 2 Nn = ∑2(2l +1) = n = 2n 2 l =0n 1

各壳层最多可容纳的电子数： 各壳层最多可容纳的电子数： 壳层符号 K L M 1 3 主量子数 n 2

Nn支壳层符号 角量子数 l

2 s 0 2

8 p 1 6

18 d 2 10

N 4 32 f 3 14

O 5 50 g 4 18

P 6 72 h 5 22

各支壳层最多可容纳的电子数： 各支壳层最多可容纳的电子数： (2l +1) 2

Nl

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2)能量最小原理 ) 当原子处在正常状态时电子尽可能地会占据未 被填充的最低能级。 被填充的最低能级。由此可见：主量子数越小，能级越低，越被首先填满。 由此可见：主量子数越小，能级越低，越被首先填满。

注意： )对多电子原子， 注意：1)对多电子原子，能量或能级也与副量子 数有关。

数有关。因此判别能级高低不能只看主量 子数n。我国学者研究出一个判别式： 子数 。我国学者研究出一个判别式： 的值越大者，能级越高。 (n+ 0.7l) 的值越大者，能级越高。 能级的高低。 例：判别4s与3d能级的高低。 判别 与 能级的高低 对4s能级 (n + 0.7l) = 4 + 0.7×0 = 4 能级 对3d能级 (n + 0.7l) = 3 + 0.7× 2 = 4.4 > 4 能级 电子先填充4s能级 再填3d能级 能级， 电子先填充 能级，再填 能级

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1.铝的逸出功是 4.2eV, 今用波长为 2000埃 的光照射铝表面，求： 铝的逸出功是 埃 的光照射铝表面， (1) 光电子最大初动能： ) 光电子最大初动能： (2) 截至电压； ) 截至电压； (3) 铝的红限波长。 ) 铝的红限波长。 1 2 h = mum + A 及 = λν , ν c 解： 由光电效应方程 2(1) 光电子最大初动能

1 2 hc E0 = mum = h A = A = 3.23×10 19 (J ) ν 2 λ(2) 初动能全部用于克服电场力作功，截止电压为2 1 2mum 1 2 mum = e Ua , ∴Ua = = 2.02(V ) 2 e

(3) 由光电效应方程，电子最大初动能为零时 hc hc = A, 红 波 为 0 = 限 长 λ = 2.96×10 7 (m) λ0 A

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波长为1.00Å的X射线在碳块上作康普顿散射实验， 射线在碳块上作康普顿散射实验， 2.用波长为 的 射线在碳块上作康普顿散射实验 散射的X射线的波长 射线的波长。 度 散射角θ = 60度。求：(1)散射的 射线的波长。 反冲电子的动能。 反冲电子的速度。 (2)反冲电子的动能。 (3)反冲电子的速度。 λ =λ′ λ = h (1 cosθ ) 解： (1)Pλ ′

Pλ me

mυ

θ

(2)

=1.21×10 12 m = 0.0121 Å λ′ = λ + λ =1.012 Å Ek = hν0 hν= hc hc λ λ′相对论效应可以忽略

mec

(3) E0 = mec2 = 8.02×10 14 JE k ≈ 1 m ev 2 2

= hc λ = 2.36 ×10 17J λλ′

mevsin = hsinθ λ′

2Ek 1 6 v= = 7.20 ×10 m s me

≈ 60o

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3.原则上讲，玻尔理论也适用于太阳系，地球相当于电子，太阳 原则上讲，玻尔理论也适用于太阳系，地球相当于电子， 原则上讲 相当于核，而万有引力相当于库仑力。 相当于核，而万有引力相当于库仑力。 (1) 求地球绕太阳运动的允许半径公式； ) 求地球绕太阳运动的允许半径公式； (2) 地球运行实际半径为 1.50×1011m, 与此半径对应的量子 ) × 多大？ 数 n 多大？ (3) 地球实际轨道和它的下一个较大可能半径差值多大？ ) 地球实际轨道和它的下一个较大可能半径差值多大？ ( ME=5.98×1024 kg, Ms=1.99×1030 kg, G=6.67×10-11Nm2kg-2) × × ×解: (1)玻尔理论即为经典理论加量子化条件，据此有

两式联立，有：

ME Ms v2 ME = G (1) 2 R R h L = MEvR = n = n (2) 2π

n 2 GMs 2 ( ) = , 得 R = n2 , n =1,2,3 2 ME R R GMEMsR 为地球绕太阳运动的允许半径公式。

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(2)地球实际

运动半径为 Rn,则相应的量子数为

ME n= RnGMs = 2.53×1074 (3) 地球实际轨道和它的下一个较大可能轨道半径差值为

2 2 R = (n +1)2 n2 ≈ 2n =1.19×10 63 (m) GM M GME Ms E s

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4.戴维孙 革末实验装置如图，自热阴极 发出的电子束经 戴维孙-革末实验装置如图 自热阴极K发出的电子束经 发出的电子束经U=500 戴维孙 革末实验装置如图， 伏的电势差加速后投射到某晶体上，在掠射角φ 伏的电势差加速后投射到某晶体上，在掠射角φ=200时，测得电 流强度出现第二次极大值， 流强度出现第二次极大值，试计算电子射线的德布罗意波长及 晶体的晶格常数。 晶体的晶格常数。解: (1) 由 (1/2)mv2=eU 可得：v=(2eU/m)1/2 ∴λ=h/p=h/mv=h/(2meU)1/2=0.549×10-10m (2) 晶体的布拉格衍射公式为: 2dsinφ=k λ 电流第二次出现极大值 ∴ k=2

∴d=k λ/2sin200=2 λ/2sin200=0.549 ×10-10/sin200

U

=1.61 ×10-10(m)

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5.(1)试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比为 ( )试证明：

λC E 2 = ( ) 1 λD E0分别为粒子的静能和运动粒子的总能量。 式中 Eo 和 E 分别为粒子的静能和运动粒子的总能量。 (2)试问：当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它 )试问：当电子的动能为何值时， 的康普顿波长？ 的康普顿波长？解： (1) 粒子的康普顿波长

粒子的德布罗意波长

h λc = mc 0 h λD = p

由相对论粒子能量和动量的关系2 2 2 E2 = c2 p2 + E0 , E0 = m0 c4 ,

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1 ∴p = c

2 E2 E0 ,

代 入 λ D中 ： λ D =

hc E 2 E 02

E 2 E02 E 2 E02 E 2 λc = = = ( ) 1 2 2 m0c E0 E0 λD(2) 两波长相等时，即

λc = λD

有

(

E 2 E ) 1 =1 得 = 2E0 , E0

) 此 动 为 k = E E0 = ( 2 1 E0 时 能 E

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6.设一维运动的粒子处在 设一维运动的粒子处在

ψ ( x) = 0( x ≤ 0)

ψ ( x) = Axe λx ( x ≥ 0)

的状态,其中λ 试求 试求:(1)归一化因子 粒子坐标的概率分 归一化因子,(2)粒子坐标的概率分 的状态 其中λ>0,试求 其中 归一化因子 在何处找到粒子的概率最大,(4)x和x2的平均值 布,(3)在何处找到粒子的概率最大 在何处找到粒子的概率最大 和 解:(1)求归一化因子 求归一化因子2

∞

A 2 2 ∞ ∞ 2 2 λx =A = 2 3 ψ ( x) dx= ∫ Axe dx 3 λ ( 2λ) 0

∫

∞

式中运用定积分:a>0,n为整数时 注:式中运用定积分 式中运用定积分 为整数时

xe ∫0

n ax

n! = n+1 a

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2 ∞

即∫

λ

3 2

∞

A 2

, 一 因 为 ψ ( x) dx =1 归 化 子

2λ A

3 2

(2)粒子坐标的概率分布函数 即几率密度函数 粒子坐标的概率分布函数(即几率密度函数 粒子坐标的概率分布函数 即几率密度函数)2λ ρ ( x) = ψ ( x) A3 2 2

2λ = A

3 2

2

Axe λx

= 4λ3x2e 2λx (

x ≥ 0)

ρ ( x) = 0( x ≤ 0)

d ρ ( x) (3)若求粒子概率最大处 令 若求粒子概率最大处,令 若求粒子概率最大处 =0 dx 1 2λx 2 2λx 即 xe 2λx e 2 = 0, 得x =

λ

该处找到粒子的概率最大. 该处找到粒子的概率最大

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3av1.html