2022年高中数学人教A版选修4-4自我小测：第一讲四 柱坐标系与球

自我小测

1．设点M的直角坐标为(－1，3

-，3)，则它的柱坐标是()．

A．

π

23

3

??

?

??

，，B．

2π

23

3

??

?

??

，，C．

4π

23

3

??

?

??

，，D．

5π

23

3

??

?

??

，，

2．设点M的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为()．

A．

ππ

2

44

??

?

??

，，B．

π5π

2

44

??

?

??

，，C．

5ππ

2

44

??

?

??

，，D．

3ππ

2

44

??

?

??

，，

3．点P的柱坐标为

π

165

3

??

?

??

，，，则其直角坐标为()．

A．(5,8,83) B．(8,83,5) C．(83,8,5) D．(4,83,5)

4．点M的球坐标为(r，φ，θ)(φ，θ∈(0，π))，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为()．A．(－r，－φ，－θ) B．(r，π－φ，π－θ)

C．(r，π＋φ，θ) D．(r，π－φ，π＋θ)

5．已知点P的柱坐标为

π

2,,5

4

??

?

??

，点B的球坐标为

ππ

6,,

36

??

?

??

，则这两个点在空

间直角坐标系中的点的坐标为()．

A．P(5,1,1)，

36326

,,

442

B

??

?

?

??

B．P(1,1,5)，

36326

,,

442

B

??

?

?

??

C．

36326

,,

442

P

??

?

?

??

，B(1,1,5) D．P(1,1,5)，

63632

,,

244

B

??

?

?

??

6．已知点M的球坐标为

π3π

4,,

44

??

?

??

，则它的直角坐标是______，它的柱坐标是______．

7．设点M的球坐标为

π5π

2,,

44

??

?

??

，O为原点，则M到原点的距离为________，OM与

xOy平面所成的角为________．

8．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中什么曲面？方程z＝－1表示什么曲面？

9．在球坐标系中，求两点

ππ

3,,

64

P

??

?

??

，

π3π

3,,

64

Q

??

?

??

的距离．

参考答案

1. 答案：C

解析：∵22132ρ(-)(-)＝＋

＝，4π3θ＝，z ＝3， ∴点M 的柱坐标为4π233?? ???

，，.

2. 答案：B 解析：由坐标变换公式，得2222r x y z ＝＋＋＝

， 2cos 2

z r ?＝＝，∴π4?＝. ∵1tan 11y

x θ--＝＝＝，∴5π4

θ＝. ∴点M 的球坐标为π5π244?? ???，，.

3. 答案：B

解析：∵ρ＝16，π3

θ＝，z ＝5，

∴x ＝ρcos θ＝8，y ＝ρsin θ＝83，z ＝5，

∴点P 的直角坐标为(8,83,5)．

4. 答案：D

解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则点M 关于(0,0,0)的对称点M ′的直角坐标为(－x ，－y ，－z )，设M ′的球坐标为(r ′，φ′，θ′)，因为sin cos sin sin cos x r y r z r ?θ?θ??????

＝，＝，＝，

所以????? r ′sin φ′cos θ′＝－r sin φcos θ，r ′sin φ′sin θ′＝－r sin φsin θ，

r ′cos φ′＝－r cos φ，

可得ππr'r ''??θθ?????

＝，＝－，＝＋，

即M ′的球坐标为(r ，π－φ，π＋θ)．

5. 答案：B

解析：此题考查空间直角坐标与空间柱坐标、球坐标的互化．只要我们记住互化公式，

问题就能够解决．球坐标与直角坐标的互化公式为sin cos ,sin sin ,cos ;x r y r z r ?θ?θ??????

＝＝＝

柱坐标与直角坐标的互化公式为cos sin .x y z z ρθρθ?????

＝，＝，＝

设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )， 则π2=2cos 2=142

x =?，π2sin =14y =，z ＝5. 设B 点的直角坐标为(x ′，y ′，z ′)， 则ππ33366sin cos =636224

x'=??=， ππ3132=6sin sin 636224

y'=??=， π166cos 6322

z'==?=. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为36326,,442?? ? ???

.

6. 答案：(－2,2,22) 3π22,

,224?? ??? 7. 答案：2 π4

8. 解：方程ρ＝1表示以z 轴为中心轴，以1为底面半径的圆柱面；方程z ＝－1表示与xOy 坐标面平行的平面，且此平面与xOy 面的距离为1，并且在此平面的下方．

9. 解：将P ，Q 两点的球坐标转化为直角坐标：

ππ32:3sin cos 644

P x ==， ππ323sin sin 644y ==，π333cos 62

z ==， ∴点P 的直角坐标为323233,,442??

? ???.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3apl.html