数学模型复习题

数学模型复习题

1、x(t)为连续函数，初值条件x(0)?x0，假设其增长率为常数r，显然有

x(t??t)?x(t)?rx(t)?t，则其满足微分方程 ；微分方程满足初值条件的解为 ；这个模型称为 。

2、叙述数学建模的一般步骤

模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用

3、简述数学模型按以下方面的分类：

按应用领域可分为：人口、交通、能源、环境、经济、规划等等； 按建立模型的数学方法可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等等；

按模型的表现特征可以分为：确定性和随机性、线性和非线性、静态和动态、连续与离散等等

4、在超市购物时你可能注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如中华牙膏65g每支2.5元，120g每支3.8元，二者单位重量的价格比约为1.21：1。

（1）分析商品单位重量价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本所决定，这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正比、有的与体积（重量w）无关。

（2）给出单位重量价格C与w的关系，画出它们的简图。说明w越大C越小，但是随着w的增加C减小的速度变慢，解释其意义是什么？

5、2005级新生入学后，统计与应用数学学院共有在校学生1050人，其中统计学专业600人，信息与计算科学专业400人，数学与应用数学专业50人。要在全院推选23名学生组成学生代表团，试用下面的方法分配各专业的学生代表：

（1）按比例分配取整的方法，剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者； （2）用Q值方法进行分配

6、工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用。设在一个生产周期T内，原料每天的需求量为常数r，每次的定货费用为c1，每天每单位原料的存储费为

c2，订货后可立即到货，每次订货量为Q。

（1）建立一周期的总费用函数（包括订货费与库存费，购货费是常数可不予考虑）；

（2）为使每天的平均费用最小，求最佳订货批量Q、订货周期T和最小成本C。

7、一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天体重增加2公斤。目前生猪的出售价格为每公斤8元，但是预测价格每天降低0.1元。

（1）问该饲养场应该在什么时候出售这样的生猪最划算？

（2）在最佳出售时机的价格之下，作体重增加关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；

（3）在最佳出售时机的价格之下，作价格的降低关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；

8、利润U(p)是销售收入I(p)与生产支出C(p)之差，p为每单位商品的售价，即U(p)?I(p)?C(p)。

dIdCdU称为 ；称为 ；称dpdpdp为 ；利润最大化的条件是 。

给定I(p)?px，C(p)?qx，需求函数x(p)?a?bp，a,b,q?0已知 （1）建立利润函数的表达式；

（2）利用上述条件求利润最大化时的价格。

9、消费者对甲、乙两种商品的效用曲线（无差异曲线）U(q1,q2)，问他如何利用手中的钱s购买两种单价分别为p1和p2的商品以达到效用最大。

（1）建立效用最大化的数学规划模型；

（2）利用Lagrange乘数法求出利润最大化的条件，并对结果进行解释。 10、某公司用木头雕刻士兵模型出售。公司的两大主要产品分别是“盟军”和“联军”士兵，每件利润分别是28美元和30美元。制作一个“盟军”士兵需要使用2张木版，花费4小时的木工，再经过2小时的整修；制作一个“联军”士兵需要使用3张木版，花费3.5小时的木工，再经过3小时的整修。该公司每周能得到100张木版，可供使用的木工（机器时间）为120小时，整修时间为90小时。

（1）确定每种士兵的生产数量，使得每周的利润最大，建立线性规划问题的数学模型。

（2）对于你建立的线性规划模型，利用LINDO6.0求解结果如下： 请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 972.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 9.000000 0.000000 X2 24.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 10.000000 0.000000 3) 0.000000 4.800000 4) 0.000000 4.400000 NO. ITERATIONS= 1

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 28.000000 6.285715 8.000000 X2 30.000000 12.000000 5.500000 RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE

2 100.000000 INFINITY 10.000000 3 120.000000 60.000000 14.999999 4 90.000000 10.000000 30.000000 11、牧场主知道，对于一匹体型中等的马来说，最低的营养需求为：40磅蛋白质、20磅碳水化合物、45磅粗饲料，这些营养成分是从不同的饲料中得到的，饲料及其价格如下表： 饲料 营养成分 蛋白质（磅） 碳水化合物（磅） 粗饲料（磅） 价格（美元） 干草 燕麦片 饲料块 高蛋白浓缩料 每批马的需求 （每捆） （每袋） （每块） （每袋） （每天） 0.5 1.0 2.0 6.0 40.0 2.0 4.0 0.5 1.0 20.0 5.0 2.0 1.0 2.5 45.0 1.80 3.50 0.40 1.00 （1）建立数学模型，确定如何以最少的成本满足最低的营养需求。 对于你建立的线性规划模型，利用LINDO6.0求解结果如下：

请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 17.00000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 5.000000 0.000000 X2 0.000000 1.500000 X3 20.000000 0.000000 X4 0.000000 0.100000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2.500000 0.000000 3) 0.000000 -0.400000 4) 0.000000 -0.200000 NO. ITERATIONS= 3

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 1.800000 0.200000 0.200000 X2 3.500000 INFINITY 1.500000 X3 0.400000 0.046875 0.040000 X4 1.000000 INFINITY 0.100000 RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE 2 40.000000 2.500000 INFINITY 3 20.000000 2.500000 0.131579 4 45.000000 0.333333 5.000000 12、用x(t)和y(t)分别表示甲乙交战双方时刻t的兵力（人数），每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,分别为f(x,y),g(x,y)；每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）只与本方的兵力成正比；甲乙双方的增援率是给定的时间的函数，分别为u(t),v(t)。则兵力变化的微分方程为：

?dx?dt??f(x,y)??x?u(t) ?dy???g(x,y)??y?v(t)?dt根据以下条件，求出甲乙兵力的函数，分析甲、乙方获胜的条件。

?dx?dt??ay??dy??bx正规战争：? ?dt?x(0)?x0,y(0)?y0???dx?dt??cxy??dy游击战争：???dxy

?dt?x(0)?x0,y(0)?y0???dx?dt??cxy??dy??bx混合战争：? ?dt?x(0)?x0,y(0)?y0??13、在经济增长模型中，为了适用于不同的对象，可将产量函数折算成现金，考虑到物价上涨因素，我们记物价上升指数为p(t)(p(0)?1)，则产品的表面价值y(t)、实际价值Q(t)和物价指数p(t)之间有关系y(t)?Q(t)p(t)。

（1）导出y(t),Q(t),p(t)的相对增长率之间的关系，并作出解释； （2）设雇佣工人数为L(t)，每个工人的工资w(t)，其他成本C(t)企业的利润函数为

R(t)?y(t)?L(t)w(t)?C(t)?Q(t)p(t)?L(t)w(t)?C(t)

根据Cobb—Douglas生产函数Q(t)?aLr(t)k1?r(t)讨论，企业应雇佣多少工人可使利润最大？

14、记时刻t渔场中的鱼量为x(t)，在无捕捞的条件下x(t)的增长服从Logistic规律

dxx???rx?1??其中r是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量。dxN??解这个微分方程满足初值条件x(0)?x0，并解释何时鱼量达到最大？

15、Volterra食饵—捕食者模型

?dx?dt?x(r?ay) ?dy??y(?d?bx)?dt（1）消去dt后，化为关于x,y的微分方程； （2）分离变量，求解上述微分方程并进行化简； （3）解释食饵—捕食者两类生物数量变化的规律。 16、叙述层次分析法的基本步骤

17、用层次分析法解决一个实际问题，建立合理的层次结构，并给出层次结构中所有关系的判别矩阵。（不必求解）

18、试用和法求下列正互反矩阵的最大特征值与对应的权重。计算一致性指标CI，根据3阶判断矩阵的随机性一致指标为RI?0.58，计算一致性比率CR并作一致性检验。

25?34??11/31/8??1?1??????A??1/212?,A??311/3?,A??1/312?

?83?1/51/21??1/41/21?1???????19、已知6支球队循环比赛的邻接矩阵

?0??0?1A???0?0??0?1010000000111110001101001??1?0??（1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系； 1?1??0??（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序 已知4支球队循环比赛的邻接矩阵

?0??0A??0??1?100011000??1?（1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系； 1??0??（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序 已知5支球队循环比赛的邻接矩阵

?0??1A??0??1?0?0011010000001011??1?1?（1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系； ?0?0??（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序 20、有n个工人，他们的生产是相互独立的，生产周期是常数，n个工作台均匀排列；每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；在一个周期内有m个钩子通过每一个工作台上方，钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的；每个工人在任何时候都能触到一只钩子，也只能触到一只钩子，于是他在生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的那只钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果那只钩子非空，则他只能将这件产品放在地上，永

1??远退出这个系统。（1）证明：任一个钩子非空的概率为p?1??1??；

?m?（2）计算这个传送系统的传送率

n21、报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设每份报纸的购进价为b，零售价为a，退回价为c，满足a?b?c。如果每天报纸的需求量是随机的，需求r份的概率f(r)(r?0,1,2,3,.....)，或者可以把r看作连续变化的，其密度函数为f(r)(r?0,1,2,3,.....)。如果报童每天从报社购进n份报纸，L是报童每天所得利润，则L是r与n的函数L?g(r)

（1）建立利润函数L?g(r)；

（2）确定每天的购进量n，使报童每天的期望利润最大。

22、某商店每天要订购一批牛奶零售，设购进价c1，售出价c2(c2?c1)，当天销售不出去则削价处理，处理价c3(c3?c1)并能处理完所有剩余的牛奶。如果该商店每天销售牛奶的数量r是随机变量，其概率密度函数为f(r)。如果商店每天订购牛奶的数量为n，L该商店销售牛奶每天所得利润，则L是r与n的函数L?g(r)

（1）建立利润函数L?g(r)；

（2）确定每天的购进量n，使报童每天的期望利润最大。 23、水泥凝固时放出的热量Y与其四种成分的记录

x1：3CaOAl2O3（%）；x2：3CaOSiO2（%）；

； x4：2CaOSiO2（%） x3：4CaOAl2O3Fe2O3（%）

2 3 4 5 6 7 8 9 序号 1 7 1 11 11 7 11 3 1 2 x1 x2 x3 10 21 47 4 26 11 1 40 23 34 12 11 66 9 12 13 10 68 8 12 26 6 60 29 15 52 56 8 20 31 8 47 52 6 33 55 9 22 71 17 6 31 22 44 54 18 22 x4 Y 78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4 假如Y与x1、x2、x3、x4呈线性关系Y?用EXCEL进行回归，计算结果如下： SUMMARY OUTPUT

回归统计

Multiple R 0.991149 R Square 0.982376 Adjusted R Square 0.973563 标准误差 2.446008 观测值 13

?0??1x1??2x2??3x3??4x4??，利

方差分析

df SS MS F Significance F 回归分析 4 2667.899 666.9749 111.4792 4.76E-07

残差 8 47.863645 .982955

总计 122 715.763

Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

回归常数 62.40537 70.07096 0.890602 0.399134 -99.1787 223.9894

x1 x2 x3 x4

1.551103 0.74477 2.08266 0.070822 -0.16634 3.268546 2.179227 1.842273 1.491017

0.510168 0.723788 0.704858 0.500901 -1.15889 0.101909 0.754709 0.135031 0.895923 -1.63845 -0.14406 0.709052 -0.20317 0.844071 -1.77914

（1）求Y对x1、x2、x3、x4的线性回归方程； （2）对输出结果进行分析，并对回归效果进行显著性检验；

通过计算x1、x2、x3、x4的相关系数矩阵如下：

10.2286?0.8241?0.2455????0.22861?0.1392?0.9730??R??

?0.8241?0.139210.0295?????0.2455?0.97300.0295?1??对该模型作何诊断？应该如何处理？ 删除变量x3与x4重新计算如下： SUMMARY OUTPUT

回归统计

Multiple R 0.989282 R Square 0.978678 Adjusted R Square 0.974414 标准误差 2.406335 观测值 13

方差分析

df SS MS F Significance F 回归分析 22 657.8591 328.929 229.5037 4.41E-09

残差 105 7.904485 .790448

总计 122 715.763

Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lower 95%U pper 95% 回归常数 52.57735 2.2861742 2.997965 .46E-10 47.48343 57.67126 x1 1.468306 0.1213011 2.104652 .69E-07 1.19803 1.738581 x2 0.66225 0.0458551 4.442365 .03E-08 0.56008 0.764421

重新建立回归方程，并进行相关性检验。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3am2.html