概率论试题

1．设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生

2．设 A、B为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。则P(B?A)＝ 3．若事件A和事件B相互独立, P(A)=?,P(B)=0.3，P(A?B)=0.7,则?? 4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为

5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为

6.设离散型随机变量X分布律为P{X?k}?5A(1/2)kA=______________

7. 已知随机变量X的密度为f(x)??(k?1,2,???)则

?ax?b,0?x?1,且P{x?1/2}?5/8,则

0,其它?a?________ b?________

2

8. 设X～N(2,?),且P{2?x?4}?0.3,则P{x?0}? _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为中率为_________

10.若随机变量?在（1，6）上服从均匀分布，则方程x+?x+1=0有实根的概率是

2

80，则该射手的命8111.设P{X?0,Y?0}?34，P{X?0}?P{Y?0}?，则P{max{X,Y}?0}? 7712.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a?X?b,Y?c}? 13.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X?a,Y?b}? 14.设平面区域D由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知X~N(?2,0.4)，则E(X?3)＝ 16.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则

1

22D(3X?Y)?

17.设X的概率密度为f(x)?1?e?x，则D(X)＝ 218.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，2），X3服从参数为?=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=

2

19.设D(X)?25,D?Y??36,?xy?0.4，则D(X?Y)? 20.设X1,X2,???,Xn,???是独立同分布的随机变量序列,且均值为?,方差为?,那么当n充分大时,近似有X～ 或 n2

X???～ 。特别是，当同为正态分布时，

对于任意的n，都精确有X～ 或nX???～ .

21.设X1,X2,???,Xn,???是独立同分布的随机变量序列,且EXi??，DXi??2(i?1,2,???)

1n2那么?Xi依概率收敛于 .

ni?122.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，令Y?(X1?X2)2?(X3?X4)2,

2则当C? 时CY～?(2)。

223.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

24.设X1,X2,?Xn为来自正态总体??N(?,?)的一个简单随机样本，则样本均值

21n????i服从

ni?1二、选择题

1. 设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是

（A）P (A+B) = P (A); （B）P(AB)?P(A); （C）P(B|A)?P(B); （D）P(B?A)?P(B)?P(A) 2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为

2

（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销” （C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是

（A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5 4. 对于事件A，B，下列命题正确的是 （A）若A，B互不相容，则A与B也互不相容。 （B）若A，B相容，那么A与B也相容。

（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。 （D）若A，B相互独立，那么A与B也相互独立。

5. 若P(BA)?1，那么下列命题中正确的是

（A）A?B （B）B?A （C）A?B?? （D）P(A?B)?0 6． 设X～N(?,?2),那么当?增大时，P{X????}? A）增大 B）减少 C）不变 D）增减不定。

7．设X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，且f(x)?f(?x)。那么对任意给定的a都有 A）f(?a)?1??a0f(x)dx B） F(?a)?a1??f(x)dx 02 C）F(a)?F(?a) D） F(?a)?2F(a)?1 8．下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 A）F(x)?1?111F(x)??arctanx B）

x22??1?xx???(1?e),x?0 C）F(x)??2 D） F(x)??f(t)dt，其中?f(t)dt?1

?????0,x?0?9． 假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是

A）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).

3

?Ae?x,x??10．已知随机变量X的密度函数f(x)=?(?>0,A为常数)，则概率P{??X

?0,x??（a>0）的值

A）与a无关，随?的增大而增大 B）与a无关，随?的增大而减小 C）与?无关，随a的增大而增大 D）与?无关，随a的增大而减小

11．X1,X2独立,且分布率为 (i?1,2),那么下列结论正确的是

A）X1?X2 Ｂ）P{X1?X2}?1 C）P{X1?X2}?1Ｄ）以上都不正确 212．设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 (X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) 且X,Y相互独立，则

P1/61/91/181/3?? A） ??2/9,??1/9 B） ??1/9,??2/9 C） ??1/6,??1/6 D） ??8/15,??1/18

2213．若X～(?1,?1)，Y～(?2,?2)那么(X,Y)的联合分布为

A） 二维正态，且??0 B）二维正态，且?不定 C） 未必是二维正态 D）以上都不对

14．设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是

A）FZ（z）= max { FX(x),FY(y)}; B) FZ（z）= max { |FX(x)|,|FY(y)|} C) FZ（z）= FX（x）·FY(y) D)都不是

15．下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

???cosx,??x?,0?y?1 A）f(x,y)=? 22?0,其他??1?cosx,??x?,0?y?B) g(x,y)=?222

0,?其他C) ?(x,y)=??cosx,0?x??,0?y?1

其他?0,4

1?cosx,0?x??,0?y?D) h(x,y)=?2

?0,其他16．掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为

A） 50 B） 100 C）120 D） 150

17． 设X1,X2,X3相互独立同服从参数??3的泊松分布，令Y?1(X1?X2?X3)，则 3E(Y2)? A）1. B）9. C）10. D）6. 18．对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)?E(Y)，则

A）D(XY)?D(X)?D(Y) B）D(X?Y)?D(X)?D(Y) C）X和Y独立 D）X和Y不独立

19．设??P(?)(Poission分布)，且E??(X?1)?X?2????1，则?= A）1， B）2， C）3， D）0

20． 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X?Y)?D?X??D?Y?是X和Y的 A）不相关的充分条件，但不是必要条件； B）独立的必要条件，但不是充分条件； C）不相关的充分必要条件； D）独立的充分必要条件

21．设X～N(?,?)其中?已知，?未知，X1,X2,X3样本，则下列选项中不是统计量的是

A）X1?X2?X3 B）max{X1,X2,X3} C）

22

??i?13Xi22 D）X1??

22．设X～?(1,p) ,X1,X2,???,Xn,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是 A）当n充分大时，近似有X～N?p,??p(1?p)?? n?kkB）P{X?k}?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,2,???,n

C）P{X?}?Cnp(1?p)kkknkkn?k,k?0,1,2,???,n

D）P{Xi?k}?Cnp(1?p)n?k,1?i?n

5

23．若X～t(n)那么?2～

A）F(1,n) B）F(n,1) C）?2(n) D）t(n)

24．设X1,X2,?Xn为来自正态总体N(?,?2)简单随机样本，X是样本均值，记

1n1n1n22222，，， S?(X?X)S?(X?X)S?(X??)???i2i3in?1i?1ni?1n?1i?1211nS??(Xi??)2，则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是

ni?124A) t?X??S1/n?1 B) t?X??S2/n?1 C) t?X??S3/n D) t?X??S4/n

25．设X1,X2,?Xn，Xn+1, ?,Xn+m是来自正态总体N(0,?2)的容量为n+m的样本，则统计量

V?m??i2n??i2i?n?1i?1n?mn服从的分布是

A) F(m,n) B) F(n?1,m?1) C) F(n,m) D) F(m?1,n?1)

三、解答题

1．10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

2.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。 1） 3本一套放在一起。 2）两套各自放在一起。 3）两套中至少有一套放在一起。

3.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。 1）至少购买一种电器的； 2）至多购买一种电器的； 3）三种电器都没购买的；

6

4．仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。

5． 一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中

任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？

6． 有标号1～n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个

球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。

7．从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回 （2）不放回

8．设随机变量X的密度函数为f(x)?Ae求 (1）系数A, (2) P{0?x?1} (3) 分布函数F(x)。

9．对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内。求体积的密度函数。

10．设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

11．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高

?x (???x???),

X?N(168,72),问车门的高度应如何确定？

12． 设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-??x???). 求：（1）系数A与B；

（2）X落在（-1，1）内的概率； （3）X的分布密度。

13．把一枚均匀的硬币连抛三次，以X表示出现正面的次数，Y表示正、反两面次数差的绝对值 ，求(X,Y)的联合分布律与边缘分布。 14．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为

7

F(x,y)?A(B?arctanxy)(C?arctan) 23求（1）A、B、C的值， （2）(X,Y)的联合密度， （3） 判断X、Y的独立性。

?Ae?(3x?4y),x?0,y?015．设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=?,

其他0,?求 （1）系数A；（2）落在区域D：{0?x?1,0?y?2}的概率。 16． 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x，

（1）求系数A，（2）求(X,Y)的联合分布函数。

17．上题条件下：（1）求关于X及Y的边缘密度。 （2）X与Y是否相互独立？ 18．在第16）题条件下，求f(yx)和f(xy)。

19．盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。

20． 有一物品的重量为1克，2克，﹒﹒﹒，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?

21． 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。

22．设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？

23．一袋中有n张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n，从中有放回地抽取出k张来，以X表示所得号码之和，求E(X),D(X)。

24．设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=?求：① 常数k， ② E?XY?及D(XY).

?k,0?x?1,0?y?x

其他?0,25．设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

8

26．一系统是由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95？

27．甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。

228．设总体X服从正态分布，又设X与S分别为样本均值和样本方差，又设

且Xn?1与X1,X2,???,Xn相互独立，求统计量 Xn?1?N(?,?2)，

Xn?1?XSn的分布。 n?129．在天平上重复称量一重为?的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，为使PXn?a?0.1?0.95成立，N(?,0.22)，

求n的最小值应不小于的自然数？

30．证明题 设A，B是两个事件，满足P(BA)?P(BA)，证明事件A，B相互独立。 31．证明题 设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y?1?e从均匀分

?2X??在区间（0，1）上服

9

一、填空题

21．设X1,X2,?,X16 是来自总体X~N(4,?2) 的简单随机样本，?已知，令

4X?16116服从分布为 （必须写出分布的参数）。 X??Xi，则统计量

16i?1?2．设X~N(?,?2)，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X中抽取的样本，则?的矩估计值为 。

3．设X~U[a,1]，X1,?,Xn是从总体X中抽取的样本，求a的矩估计为 。 4．已知F0.1(8,20)?2，则F0.9(20,8)? 。

?和??是比??都是参数a的无偏估计，如果有 成立 ，则称??有效的估计。5．?

6．设样本的频数分布为

X 0 1 2 3 4 频数 1 3 2 1 2

则样本方差s2=_____________________。

7．设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D（X）＝________________________。

8．设总体X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ未知，X1，X2，?，Xn为其样本。若假设

检验问题为H0：?2＝1?H1：?2?1，则采用的检验统计量应________________。 9．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, ?，xn）落

入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。

10．设样本X1，X2，?，Xn来自正态总体N（μ，1），假设检验问题为： H0：?＝0?H1：??0，则在H0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W应为______________________。

11．设总体服从正态分布

N(?,1)，且?未知，设X1,?,Xn为来自该总体的一个样本，记

10

1nX??Xini?1，则?的置信水平为1??的置信区间公式是 ；若已知1???0.95，

则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n至少要取__ __。

22X,X,?,XN(?,?)的一个简单随机样本，12n12．设为来自正态总体其中参数?和?均

n1n2X??XiQ??(Xi?X)2Hni?1，i?1未知，记，则假设0：??0的t检验使用的统计

量是 。（用X和Q表示）

2X~N(?,?)，且?已知、?2未知，设X1,X2,X3是来自该总体的一个样本，13．设总体

1(X1?X2?X3)??2222X?2?X?3?XX?X?X??，X(1)?2?中是统计3123123则，，

量的有 。

14．设总体X的分布函数F(x)，设则

X1,X2,?,Xn为来自该总体的一个简单随机样本，

X1,X2,?,Xn的联合分布函数 。

X,?,Xn是

15．设总体X服从参数为p的两点分布，p（0?p?1）未知。设1来自该总体的一个样本，则的有 。

?X,?(Xii?1i?1nn2?X),Xn?6,max{Xi},Xn?pX1i1?i?n中是统计量

16．设总体服从正态分布N(?,1)，且?未知，设X1,?,Xn为来自该总体的一个样本，记

1nX??Xini?1，则?的置信水平为1??的置信区间公式是 。

22Y~N(?,?)，且X与Y相互独立，设X1,?,Xm为来自总体X~N(?,?)YYXX17．设，22Y,?,YSSn为来自总体Y的一个样本；X和Y分别是其无偏样本方差，X的一个样本；设122SX/?X22S/?YY则服从的分布是 。

218．设X?N?,0.3，容量n?9，均值X?5，则未知参数?的置信度为0.95的置信

??区间是 (查表Z0.025?1.96）

19．设总体X～N(?,?)，X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D（X）＝________________________。

11

2

20．设总体X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ未知，X1，X2，?，Xn为其样本。若假设

检验问题为H0：?2＝1?H1：?2?1，则采用的检验统计量应________________。 21．设X1,X2,???,Xn是来自正态总体N(?,?2)的简单随机样本，?和?均未知，记

n1n2X??Xi,???(Xi?X)2,则假设H0:??0的t检验使用统计量Tni?1i?12＝ 。

1m1n22．设X??Xi和Y??Yi分别来自两个正态总体N(?1,?12)和N(?2,?22)的样本

mi?1ni?12均值，参数?1，?2未知，两正态总体相互独立，欲检验H0:?12??2 ，应用 检验法，其检验统计量是 。

23．设总体X～N(?,?2)，?,?2为未知参数，从X中抽取的容量为n的样本均值记为X，

*修正样本标准差为Sn，在显著性水平?下，检验假设H0:??80，H1:??80的拒绝域

为 ，在显著性水平?下，检验假设H0:?2??02（?0已知），H1:?1??02的拒绝域为 。

24．设总体X～b(n,p),0?p?1,X1,X2,???,Xn为其子样，n及p的矩估计分别是 。

25．设总体X～U?0,??,(X1,X2,???,Xn)是来自X的样本，则?的最大似然估计量是 。

26．设总体X～N(?,0.9)，X1,X2,???,X9是容量为9的简单随机样本，均值x?5，则未知参数?的置信水平为0.95的置信区间是 。

27．测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下： +2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

28．设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，令Y?(X1?X2)?(X3?X4),

2则当C? 时CY～?(2)。

222212

29．设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

30．设X1,X2,?Xn为来自正态总体??N(?,?2)的一个简单随机样本，则样本均值

1n????i服从

ni?1二、选择题

1）的一部分样本，设：1.X1,X2,?,X16是来自总体X~N(0，2222，则Z?X1???X8Y?X9???X16Z~（ ） Y(A)N(0,1) (B)t(16) (C)?2(16) (D)F(8,8)

2.已知X1,X2,?,Xn是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ ）

11n2(D)X?aX1+5 +10 X(A)X?X +A (B)(C)X?a?i3n?1i?13.设X1,?,X8和Y1,?,Y10分别来自两个相互独立的正态总体N(?1,22)和N(2,5)的样本,

2分别是其样本方差，则下列服从F(7,9)的统计量是( ) S12和S22S124S125S125S12(A) (B) (C) (D) 22224S25S25S22S21n24.设总体X~N(?,?)，X1,?,Xn为抽取样本，则?(Xi?X)是（ ）

ni?12(A)?的无偏估计 (B)?2的无偏估计 (C)?的矩估计 (D) ?2的矩估计

5、设X1,?,Xn是来自总体X的样本，且EX??，则下列是?的无偏估计的是（ ）

1n?11n?11n1n(A)?Xi (B)Xi (D)Xi ?Xi (C)n??n?1i?1ni?1n?1i?1i?22X,X,?,XN(?,?)的一个样本，若进行假设检验，当__ 12n6．设为来自正态总体__时，

t?一般采用统计量X??0S/n 13

2222?未知，检验?＝??已知，检验?＝?00(A) (B) 22?未知，检验?＝??0(C) (D)已知，检验?＝?0

7．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为列说法正确的是___ __

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

mi的样本，则下

(C)方差分析中

Se???(yij?yi.)2i?1j?1rrmi包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D)方差分析中

SA??mi(yi.?y)2i?1包含了随机误差外,还包含效应间的差异

8．在一次假设检验中，下列说法正确的是______ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

2X~N(?,?)的均值?和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指9．对总体

这个区间

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值

(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含?的值 10．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 (B)在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 (C)在H00成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 (D)在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率

22

11. 设总体X服从正态分布N?,?,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则?的最大似然

??估计为

221n1n1n2（A）??Xi?X? （B）Xi?X? （C）?Xi （D）X2 ??ni?1n?1i?1ni?114

2(X,?,Xn)是来自总体X的一个样本，则

12.X服从正态分布，EX??1，EX?5，1X?1ni?1?Xi服从的分布为___ 。

n(A)N(?1,5/n) (B)N(?1,4/n) (C)N(?1/n,5/n) (D)N(?1/n,4/n)

2X,X,?,XN(?,?)的一个样本，若进行假设检验，当___ __12n13．设为来自正态总体

U?时，一般采用统计量

X??0?/n 2222?未知，检验?＝??已知，检验?＝?00(A) (B)

22?未知，检验?＝??0(C) (D)已知，检验?＝?0

14．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为下列说法正确的是____ _

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

mi的样本，则

(C) 方差分析中

Se???(yij?yi.)2i?1j?1rrmi包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D) 方差分析中

SA??mi(yi.?y)2i?1包含了随机误差外,还包含效应间的差异

15．在一次假设检验中，下列说法正确的是___ ____ (A)第一类错误和第二类错误同时都要犯

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

???16．设?是未知参数?的一个估计量，若E???，则?是?的___ _____

(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计

17．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, ?，xn）

落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为__________。 (A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25

18.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用

（A）t检验法 （B）u检验法 （C）F检验法 （D）?检验法

15

2

19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有

（A）样本值与样本容量 （B）显著性水平? （C）检验统计量 （D）A,B,C同时成立 20.对正态总体的数学期望?进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H0:???0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是

（A）必须接受H0 （B）可能接受，也可能拒绝H0 （C）必拒绝H0 （D）不接受，也不拒绝H0

21.设X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个简单样本，则E(X2)的矩估计是

1n1n22S?(Xi?X)S2??(Xi?X)2?n?1i?1ni?1（A）（B）

21（C）

S12?X2 （D）

2

2S2?X2

22.总体X～N(?,?2)，?已知，n? 时，才能使总体均值?的置信水平为0.95的置信区间长不大于L

（A）15?/L （B）15.3664?/L （C）16?/L （D）16

223.设X1,X2,???,Xn为总体X的一个随机样本，E(X)??,D(X)??，

n?1i?12

222222???C?(Xi?1?Xi)2为 ?2的无偏估计，C＝

（A）1/n （B）1/n?1 （C） 1/2(n?1) （D） 1/n?2

2224.设总体X服从正态分布N?,?,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则?的最大似然

??估计为

221n1n1n2（A）??Xi?X? （B）Xi?X? （C）?Xi （D）X2 ??ni?1n?1i?1ni?125.设X～?(1,p) ,X1,X2,???,Xn,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是 (A)当n充分大时，近似有X～N?p,??p(1?p)?? n?kk(B)P{X?k}?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,2,???,n

16

(C）P{X?}?Cnp(1?p)knkkn?k,k?0,1,2,???,n

kk(D）P{Xi?k}?Cnp(1?p)n?k,1?i?n

26.若X～t(n)那么?2～ 2F(1,n)F(n,1)?(A） (B） (C）(n) (D）t(n)

27.设X1,X2,?Xn为来自正态总体N(?,?2)简单随机样本，X是样本均值，记

1n1n1n2222S?(Xi?X)，S2??(Xi?X)，S3?(Xi??)2， ??n?1i?1ni?1n?1i?1211nS??(Xi??)2，则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是

ni?124(A) t?X??S1/n?1 (B) t?X??S2/n?1 (C) t?X??S3/n (D) t?X??S4/n

28.设X1,X2,?Xn，Xn+1, ?,Xn+m是来自正态总体N(0,?2)的容量为n+m的样本，则统计量

V?m??i2n??i2i?n?1i?1n?mn服从的分布是

(A) F(m,n) (B) F(n?1,m?1) (C) F(n,m) (D) F(m?1,n?1) 29．设 X~N?,?2，其中?已知,?未知,X1,X2,X3,X4为其样本， 下列各项不

??2

是统计量的是＿＿＿＿

14 (Ａ)X??Xi (Ｂ)X1?X4?2?

4i?114(Ｃ)K?2?(Xi?X) (Ｄ)S??(Xi?X)

?i?13i?1122430. 设 ?~N?,?2，其中?已知，?未知，X,X12??2

,X3为其样本， 下列各项不是

统计量的是（ ）

(A)1(X2?X2?X2) (Ｂ)X?3? 12312?17

(Ｃ)max(X,X,X) (D)1(X?X?X)

1231233三、计算题

1.已知某随机变量X服从参数为?的指数分布，设X1,X2,?,Xn是子样观察值，求?的极大似然估计和矩估计。（10分）

2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从N(?,0.06)，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（??0.05，Z0.05?1.645，Z0.025?1.96）（8分）

3.某包装机包装物品重量服从正态分布N(?,42)。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为x?900，样本均方差为S?2，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有

22变化？（??0.05）（?0（8分） )?6.262，?0（15）?27.488）.975(15.0252?(??1)x?0?x?14.设某随机变量X的密度函数为f(x)?? 求?的极大似然估计。

其他0?（6分）

5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为

?2?0.04，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对??0.05求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）(Z0.05?1.645,Z0.025?1.96)

6.某种动物的体重服从正态分布N(?,9)，今抽取9个动物考察，测得平均体重为51.3公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤。（??0.05）（8分）（Z0.05?1.645Z0.025?1.96）

0?x?1?(a?1)xa7.设总体X的密度函数为：f(x)?? ， 设X1,?,Xn是X的

其他0?样本，求a的矩估计量和极大似然估计。（10分）

8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得S?0.2，

22求?的置信区间（??0.1，??(11)?19.68，??(11)?4.57）（8分）

21?218

9．某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm）

2后算得x＝175.9，y＝172.0；s1假设两市新生身高分别服从正态?11.3，s22?9.1。

分布X-N(μ1，σ)，Y-N（μ2，σ）其中σ未知。试求μ1－μ2的置信度为0.95的置信区间。（t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010）

10．（10分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。

随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得x?20（分钟），无

22N(?,?)?,?s?3偏方差的标准差。若假设此样本来自正态总体，其中均未知，试求?222

的置信水平为0.95的置信下限。

2N(?,?)，且?与?2都未知，设X1,?,Xn为来自总体11．（10分）设总体服从正态分布

1n1n2X??XiSn??(Xi?X)2x,?,xn，设ni?1ni?1，的一个样本，其观测值为1。求?和?的

极大似然估计量。

12．（8分）掷一骰子120次，得到数据如下表

出现点数 次数 2 1 2 3 4 5 6 x 20 20 20 20 40－x 若我们使用?检验，则x取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水平??0.05下被接受？

13.（14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从X~N(?,?)正态分布，

22规定每袋标准重量为??1kg,方差??0.02。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，

2从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值

为x?0.998，无偏标准差为s?0.032，

?(x?x)ii?1n2?0.008192。

问(1)在显著性水平??0.05下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异？

(2) 在显著性水平??0.05下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？

19

(3)你觉得该天包装机工作是否正常？ 14．（8分）设总体X有概率分布

取值 概率 xi 1 2 3 2pi ?2 2?(1??) (1??) 现在观察到一个容量为3的样本,

x1?1,x2?2,x3?1。求?的极大似然估计值?

15．（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间X（秒）和 腐蚀深度Y（毫米）的数据见下表：

X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120

Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46

假设Y与X之间符合一元线回归模型

（1）试建立线性回归方程。

Y??0??1X??

H:??0

（2）在显著性水平??0.01下，检验0116. (7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产量

机器 日 产 量 I 138 144 135 149 143 II 163 148 152 146 157 III 155 144 159 141 153 现把上述数据汇总成方差分析表如下 方差来源 A e T 20

平方和 352.933 893.733 自由度 12 14 均方和 F比

??2?26．[4.412,5.588]， 27．2 ， 28．1/8 ， 29．?=7， S=2， 30．N??,?

n??2

二、选择题

1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．A 9．D 10．C 11．A 12．B 13．D 14．D 15．C 16．D 17．B 18．B 19．D 20．A 21．D 22．B 23．C 24．A 25．B 26．A 三、计算题

1．（10分）

解：设X1,X2,?,Xn是子样观察值 极大似然估计： n L(?)??n?e??xi??n???e?xii?1

i?1 lnL(?)?n?ln?n???xi

i?1 ?lnL(?)???nn???xi?0

i?1 ??1x 矩估计：

??E(X)??x???e??xdx?10? 样本的一阶原点矩为：X?1nn?Xi

i?1所以有：EX?X?1???X???1X 2．（8分）

解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有：

26

27．B 28．C 29．C 30．A

置信区间为：[X???Z?,X?Z?] 2nn2由题得：X?1(14.6?15.1?14.9?14.8?15.2?15.1)?14.95 6 ??0.05Z0.025?1.96n?6 代入即得：[14.95?0.060.06?1.96,14.95??1.96] 66所以为：[14.754,15.146] 3．（8分） 解：统计量为：

(n?1)S2?2~X2(n?1)

22 H0：?2??0?42，H1：?2??0n?16，S2?2，?2?42代入统计量得

21.875??0)?6.262 .975(1515?2?1.875 16所以H0不成立，即其方差有变化。 4．（6分）

解：极大似然估计：

L(X1,?,Xn；?)??(??1)Xi?(??1)(?Xi)?

?ni?1i?1nnlnL?nln(??1)??ln?Xi

i?1ndlnLn???lnXi?0 d???1i?1nn??? 得 ?n??lnXii?1?lnXi?1n

i5．（8分）

解： 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：

27

[x???Z?,x?Z?] 2nn2由题意得：

x?15?2?0.04??0.05n?9代入计算可得

[15?0.20.2] ?1.96,15??1.96] 化间得：[14.869,15.131996．（8分）

解：H0:???0?52，H1:???0

x???n2?51.3?52??0.7 39???1.96

|?0.7|?0.7??0.025?1.96

所以接受H0，即可以认为该动物的体重平均值为52。 7．（10分） 解： 矩估计为：

a?1a?21a?1 E(X)??x?(a?1)xdx?x?0a?2a?20a11n样本的一阶原点矩为：X??xi

ni?1所以有：

a?12X?1???X?a

a?21?X极大似然估计：

f(x1,x2,?,xn)??[(a?1)xi]?(a?1)??xai

ani?1i?1nnn两边取对数：lnf(x1,?,xn)?nln(a?1)?a?ln(x)

ii?128

n?lnfn?两边对a求偏导数：??ln(xi)=0 ?aa?1i?1???1?所以有：an?ln(x)ii?1n

8．（8分） 解：由?21??2?(n?1)S2?2，?22得 ???2 ?2?(n?1)S2??22?(n?1)S2?2?1?2

(n?1)S2(n?1)S2所以?的置信区间为：[，] 22??(11)??(11)21?2将n?12，S?0.2代入得 [0.15，0.31]

9．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，

2n1?5,n2?6,x?175.9，y?172，s1?11.3，s2，??0.05.2?9.1

2(n1-1)s1?(n2-1)s22sw?n1?n2-2 (2分)

=3.1746, （4分） 选取t0.025(9)=2.2622,

则?1－?2置信度为0.95的置信区间为： ?x-y-t?(n1?n2-2)sw??21111??,x-y?t?(n1?n2-2)sw?? (8分) n1n2n1n2?2 ＝[-0.4484,8.2484]. (10分) 注：置信区间写为开区间者不扣分。 10． 解：由于?未知，故采用

??2(n?1)S2?2~?2(n?1)作枢轴量 （2分）

要求P(???L)?1?? （2分） 这等价于要求 P(???L)?1??，

29

22

P((n?1)S21)S2也即

?2?(n??2)?1??L （2分）

1)S22而

P((n??2??1??(n?1))?1?? （2分）

(n?1)S22(n?1)?21???(n?1)S2所以

?2??，故

LL?21??(n?1) （1分） (n?1)S22故?L?的置信水平为1???的置信下限为

?1??(n?1)

由于这里n?9，??0.05，?20.95(8)?15.507

所以由样本算得??L?2.155 （1分） 即?的置信水平为0.95的置信下限为2.155。 11． 解：写出似然函数

?xi??)2?n(xi??)2i?1L(?,?2)??n1(2?2?(2??2)?n?2e2?2

i?12??e （4分）

lnL(?,?2)??nln(2??2)?1取对数

22?2?n(x2i??)i?1 （2分）

求偏导数，得似然方程

???lnL??1n(x??2????2?i)?0i?1??lnLn??????n??1?3?(xi??)2?0i?1 （3分）

解似然方程得：???X，???S2n （1分）

12．解：设第i点出现的概率为pi，i?1,?,6

H10:p1?p2???p6?16，H1:p1,p2,?,p6中至少有一个不等于6?2r?采用统计量 ?(ni?npi)2i?1npi (1分)

在本题中，r?6，??0.05，?20.95(5)?11.07 (1分)

所以拒绝域为W?{?2?11.107} (1分)

30

(1分)

21算实际的?值，由于npi?120?6?20，所以

(ni?npi)2(x?20)2?4?(20?20)2?(20?x)2(x?20)2?????npi2010i?1 (1分)

26(x?20)20??11.10710 所以由题意得时被原假设被接受

即9.46?x?30.54，故x取[10,30]之间的整数时， (2分) 此骰子是均匀的的假设在显著性水平??0.05下被接受。(1分)

13. 解：“这几天包装是否正常”，即需要对这天包装的每袋食盐净重的期望与方差分别作

假设检验

(1)（检验均值，总共6分）H0:??1，H1:??1 选统计量，并确定其分布

t?X?1~t(n?1)S/n

确定否定域

W?{|t|?t1??}?{|t|?2.306}2

t? 统计量的观测值为 因为

x?1?0.1875s/n

2|t|?0.1875?2.306?t1??，所以接受H0:??1。

(2)（检验方差，总共6分）

H0:?2?0.022，H0:?2?0.022

1n22??(X?X)~?(n?1)?i20.02i?1选统计量

2确定否定域W?{???1??(n?1)}?{??15.5}

2221n8?0.03222??(xi?x)??20.482?20.02i?10.02统计量的观测值为

22222??20.48?15.5??(n?1)H:??0.021??因为，所以拒绝0

(3)（2分）结论：综合(1)与(2)可以认为，该天包装机工作是不正常的。 14．解：此时的似然函数为

L(?)?P(X1?1,X2?2,X3?1)?P(X1?1)P(X2?2)P(X3?1) 即 L(?)?

25?2?2?(1??)???2?(1? ? ) （2分）

（2分）

31

lnL(?)?ln2?5ln??ln(1??) （1分）

dlnL(?)51??d??1?? （1分）

dlnL?()?0d?令 （1分）

得?的极大似然估计值

???56.（1分）

15．解：(1)解：根据公式可得

?? Y??0??1X

??lXY??0?lXX?????Y???X?11 其中 （2分）

lXXn1n??X?nX??(Xi?X)??X?(?Xi)2ni?1i?1i?1i?1 （1分）

2i222innnlXYn1n??XiYi?nXY??(Xi?X)(Yi?Y)??XiYi?(?Xi)(?Yi)ni?1i?1i?1i?1i?1（1分）

nn??4.375???0???0.323??? 用上述公式求得1 （2分）

?即得线性回方程为Y?4.375?0.323X

ST??(yi?y)?1464.5312i?111(2)，

?i?y)2?1418.8744SR??(yi?111

SE?ST?SR?45.6565 （1分）

检验假设

H0:?1?0,H1:?1?0 （1分）

F?SR?F1??(1,n?2)SE/(n?2) （1分）

H0的检验统计量为

H0的临界值F1??(1,n?2)?F0.01(1,9)?10.6（1分）

F?由前面的计算可知

SR?279.679?10.6?F1??(1,n?2)SE/(n?2)（1分）

??0。

所以在显著性水平??0.01下，拒绝原假设，认为1（1分）

16．解： (1)

32

方差来源 A e T 平方和 352.933 540.8 893.733 自由度 2 12 14 均方和 176.467 45.067 F比 3.916 （每空1分，共5分） (2)又因为F?3.916?F0.95(2,12)?3.89，所以样本落入拒绝域，即认为三台机器的生产能力有显著差异。 （2分） 17． 解：(1)由公式可得

?xn?110＜x＜1　?n()?，　pn(x)?????X(n)?0 , 其它的概率密度函数 （5分） ?nn?10＜x＜1　?x，　pn(x)???n??0 , 其它即 （2分）

E[X(n)]??x?pn(x)dx??x?0011n(2)

?nxn?1dx?n?n?1 （3分）

2222H:??0.02H:??0.020018． 解：， （2分）

1n??(Xi?X)2~?2(n?1)2?0.02i?1选统计量 （2分）

2222W?{???(n?1)}?{??15.5} （1分） 1??确定否定域

1n8?0.03222??(xi?x)??20.482?20.020.02i?1统计量的观测值为 （1分）

22222??20.48?15.5??(n?1)H:??0.021??0因为，所以拒绝 （1分）

19．解：因为正态分布的线性组合还是正态分布

所以Xk?1?Xk服从正态分布 （2分）

所以下面只需要确定这个正态分布的期望与方差就可以了。

1k?11kXk?1?Xk?Xi??Xi?k?1i?1ki?1 由于

1k?1k?1k?(?Xi?Xi)?k?1ki?1i?1

33

k1k?11k?(?Xi??Xi??Xi)ki?1i?1 k?1i?1

由于

?1(Xk?1?Xk)k?1 （3分）

Xk?1与Xk是相互独立的，且求得

E[11(Xk?1?Xk)]?(EXk?1?EXk)?????0k?1k?1 （2分）

Var[11(Xk?1?Xk)]?[Var(Xk?1)?Var(Xk)]2k?1(k?1)

?21122?[??]??2kk(k?1) （2分） (k?1)可知统计量Xk?1?Xk服从正态分布

N(0,1?2)k(k?1) （1分）

20．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，

2n1?5,n2?6,x?175.9，y?172，s1?11.3，s2，??0.05.2?9.1

2(n1-1)s1?(n2-1)s22sw?n1?n2-2 (2分)

=3.1746, （4分） 选取t0.025(9)=2.2622,

则?1－?2置信度为0.95的置信区间为： ?x-y-t?(n1?n2-2)sw??21111??,x-y?t?(n1?n2-2)sw?? (8分) n1n2n1n2?2 ＝[-0.4484,8.2484]. (10分) 注：置信区间写为开区间者不扣分。

34

35

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3aig.html