对2012年北京高考理科数学第19题的探究

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数学通讯——2 O 1 3年第 4期 (上半月)

专论荟萃

线 Z恒过定点 ( 2 p, O ) .

对于结论 2、结论 3、结论 5、结论 6、结论 7的证明，在此不赘述，有兴趣的读者可模仿结论 1、结论4的证明尝试之.(收稿日期： 2 0 1 2—1 0—3 0 )

结论 7 已知抛物线 C: Y一 2 p x( p> O ),过定点( 2 p, O )的动直线交抛物线于 A, B两点 ( A, B点不是顶点 ),则以线段 AB为直径的圆恒过原点 o.

对2 0 1 2年北京高考理科数学第 1 9题的探究施月 4良(浙江省德清县第三中学，3 1 3 2 0 1 )

一

、

高考试题及解答呈现

2 y。一 8与直线方程 y— k x+4得， ( 1+2 k。 ) +1 6 k x+2 4— 0,设 M( x 1, y 1 ), N( x 2, Y 2 ),贝 0 z 1十 2】 6 k一一 z

已知曲线 C: ( 5一m) x。+( m一2 ) Y。一8 ( m∈R) .

2 4‘

( 1 )若曲线 C是焦点在 z轴上的椭圆，求 m的

取值范围； ( 2 )设 m= 4,曲线 C与 Y轴的交点为A, B(点 A位于点 B的上方 ),直线— k x+4与曲线 C交于不同的两点 M, N,直线 Y一 1与直线 B M交于点

又 A( 0, 2 ), B ( 0,一2 ),于是，直线 B M的方程

为：+2一

兰z,直线 A N的方程为：一2一

.

G,求证： A, G, N三点共线 . 试题解答 ( 1 )答案为< m< 5,过程略；

X 2

设直线 B M与 AN相交于 H点，则: . 一

丝±(妇 2+ 2 ) xl

一——

( 2 )当 m一 4时，联立椭圆方程+2 y。一8 与直线方程 Y— k x+ 4得， ( 1+2 。 ) z +1 6 k x+ 2 4— 0,设 M( x 1, y 1 ), N( x 2, Y 2 ),则.

Y H一 2

l一

Y 2—2~

一

3.

l十 z2一一

1 6

, X1 X2一

2 4

1+ 2 k+一2 z 。‘

又 A( O, 2 ), B( o,一2 ),于是，直线 B M的方程

即得 Y H= 1 .

为：一1 ) .

兰z一2,由此得 G的坐标为G(Xl y1十

,

又直线一 1与直线 B M交于点 G,即知 Y c一

1,所以，点 G与点 H重合，即得 A, G, N三点共线 .注另证利用了同一法的思想，利用这种想

所以，是^ G一一

,是 A N一

,因此，

法下面得到了这道高考题的推广.二、试题的纵向、横向研究著名数学家波利亚说过：没有任何一个题目

忌 A N—k^ G一丝_二兰+( 2+ 4 )一 2 .(如1+4 )+ 2一

是彻底完成了的，总还会有些事情可以做；在经过充分的研究和观察以后，我们可以将任何解题方法加以改进；而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解.受上面另证的启发，笔者就猜想此高考题是否可以推广，带着这样的问题笔者开始了如下的探究.

—— _4k+ 2

‘——五-X lX 2

一

±一 4 k— 4 k一 0,

即得 A, G, N三点共线 .【 2 )的另证当 m一 4时，联立椭圆方程 X +

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设直线 z: Y— h+与椭圆+ y 2—1 (。> b>O )相交于 M( x , Y。 ), N( x , y 2 )两点，椭圆与y轴的交点为 A( O, 6 ), B( 0, -b ) (点 A位于点B的上方) .

注

由于此定理的证明与定理 1类似，笔者

在此不再叙述定理 2的证明，留给有兴趣的读者 .三、试题背景探究

上面得到的定理实际上是关于极点与极线的性质，即 P( O, )称为有心圆锥曲线的一个极点， 直线 z: Y一称为与 P点对应的有心圆锥曲线的

当 m≠土b时，联立椭圆与直线方程得 ( n k +b。 ) z +2 k ma z+口。 m 一口 b。一 0,故.

2k m口0

口 m 2一口 6 0￣ Xl X2=== ‘

zl十 z2一一

极线.而且，从定理的证明过程可以得到如下重要的结论：

又直线 B M的方程为： y+ b=1

z,直线

已知点A( O, 6 ), B ( O,一6 ),且点G满足竽为AG

AN的方程为 Y— b=丝二 z,设直线 B M与 AN2

定值，则点 G的轨迹为一直线 .

此结论的特殊化在人教版 A版选修 2— 1第4 2页练习 4可以找到原型，这也是定理的又一特殊背景. 四、定理的逆向探究

相交于 G点，则

±垒一！±鱼 . 垒YG— b一。——‘

Xl

Y 2一 b

( k xl+ m+ b ) x2 。 (。 k。。。 x。。。。 z。。。。。" -。。￣。。。。 m。。。。。。 -。。。。。 ‘ b ) x— l— +( m+ (一 k—z ) 。 、‘ n +6 2 k b 2+( m一 6 )丑

在有关圆锥曲线的一些命题中，考虑它的逆

丛 k

命题往往可以得到一些新的命题，受这样的想法启发，笔者通过思考又得到了如下性质 . 定理 3 已知椭圆 x z T y Z:=: 1 (口> 6>O )与Y轴的交点为 A( O, 6 ), B( O,一6 )(点 A位于点 B

n +6 2

口 0+一———

b+ mb——— -——‘ m——‘

即得 y a一 .

的上方 ),点 G满足为定值 K,直线 B G与 AG分A G

当 m一土 b时，显然也有 Y a一 .

别与椭圆相交于 M, N两点，则直线 MN过定点. 事实上，设直线 MN: y— h+m与椭圆+

通过上述探究，笔者得到了如下定理 1 . 定理 l 设直线 z: y1一

yZ + 与椭圆x z T

菩一l ( a>b>o )相交于M( x , Y ), N ( x 2, Y 2 )两点，联立椭圆与直线方程得 (口。 k+ b。 ) z+ 2 k ma。 z+ a 2 m。一口。 b。一 0,故 1+ X 2一一一

1 ( n> b> O )相交于 M ( x 1, 3, 1 ), N( x 2, Y 2 )两

点，椭圆与 Y轴的交点为 A( O, 6 ), B( O,一6 )(点A

位于点 B的上方 ),直线 B M与AN相交于 G点，则

’ z - z一：一K一生一k AⅣ

挪’刃 p么

G点在直线 Y— b Z上.

注此定理 1即为上述高考题的推广 . 考虑到椭圆与双曲线之间具有相似的性质，笔者在得到了上述定理 1之后，马上类比猜想得到如下定理 2 .

一一

k

±垒.zl

一 (如1+m+6 ) 2

( 2+ m一 6 ) z1

Y 2一 b

+(仇+ 6 ) (一 k (——

一z )

定理 2 设直线 z: Y— k x+ m与双曲线一一

aZm z—

-

_一 a 2 k 0上 b 2

a Z b￣ )+ ( m- 6 ) z‘

1 (口>0, 6>0 )相交于M( l, y 1 ), N( x 2, y 2 )

b+ m—一

b—— -————— m—‘

两点，双曲线虚轴的两个端点分别为 A( O, 6 ),

即得 m一而 K- 1 6,

B( O,一6 )(点 A位于点 B的上方 ),直线 B M与AN相交于 G点，则 G点在直线 y一一 0上.

也即直线 MN过定点 Q( O,

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考虑到椭圆与双曲线之间具有相似的性质，于是笔者在得到了上述定理 1之后，马上通过类比

上找到它的原型.所以，我们要善于钻研课本，以课本为本，最大限度地发挥课本在高考复习中的

猜想得到如下定理 4 .一

重要作用，以不变应万变.在平常的教学研究和学2 . . 2

定理 4 已知双曲线一 一l (口> 0, b>Ⅱ O

习活动中，对高考试题的研究应成为我们一线教师的一种习惯，这样做有助于提高我们的教科研

0 )虚轴的两个端点分别为 A( o, 6 ), B( 0,一6 ) (点L

意识.只有在培养自身的能力上不断地下苦功，同

A位于点 B的上方 ),点 G满足为定值 K,直线AG

时在平常的教学实践中不断地向学生渗透自己研究数学的思维过程和一些想法，把数学的学术形

B G与 AG分别与双曲线相交于M, N两点，则直线MN过定点 .

态转化为学生易于接受的教育形态，才能使学生的数学思维能力得到提高，这是提高我们教学有效性的一个重要途径 .正所谓要给学生一碗水，教师必须有一桶水.(收稿日期： 2 0 1 2—0 9—2 2 )

注由于定理 4的证明与定理 3相似，笔者在此不再叙述它的证明，留给有兴趣的读者.五、结束语

高考试题是许多专家、学者、优秀教师集体智慧的结晶，有很好的研究价值 .高考试题源于课本

又高于

课本，许多高考试题的背景都可以在书本

L I -接 r弗 Z贝 )

所以a+∈( 0,詈),且s i n ( a+ )一 s i n a c o s q￣+c o s a s i n￣ o

z一 3 c o s 0+9 s i n 0— 3 v/ T O s i n ( 0+ ),其中t a n一

1,

∈( 0,詈 ) .。得s i n ≤ c。 s,所以一1≤

一

—

[ 3 ( 一4 )+2

=_],

3√3 0

由8≤

所以，当 0一 a时， z取得最大值

s i n 0

塑三，所以0≤≤ a或7 c一≤<2兀，3√3

z 一 3、/,而

[ 3 (√ 30

一4 )

其中 a∈ (。,号 )且 s i n a -寿 ,从而可得 ≤0+≤ a+或丁 c—a+≤+< 2 7 r+ .

+2一 .

二_]而+ ( 一4 ) .的取值范

显然兀一 a+ <萼，所以，当 0+￣ -萼时，z取得最小值 z i一一 3 .

综上所述： z一 ( z+ )+3

围[一3√而，互 .√ 二+ (、/, 一4 )] .参考文献：

由t a n q￣

1,

∈ (。,号 )可得s i n 一‘,

c o s 5 D一

,且∈ ( o,

[ 1] 李建潮.一道希望杯培训题的质疑与探究.数学通讯 (上半月), 2 o 1 2 ( 1 1、 1 2 ) .

由s i n a=== _ J￣- -4,

3 4 3 3 4 3

∈ ( 0,要)可得 C O S 0 t一【收稿日期： 2 0 1 2—1 1— 2 6 )

,且 a∈ ( 0,

O

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3a74.html