2010级合肥工业大学研究生矩阵理论试卷及参考答案

合肥工业大学矩阵理论试卷（2010级）

1. （15分）已知 1 (1,2,1, 2)T， 2 (2,3,1,0)T， 3 (1,2,2, 3)T，

TTT

1 (1,1,1,1)， 2 (1,0,1, 1)， 3 (1,3,0, 4)。

求（1）W1 span( 1, 2, 3)（即表示W1由 1, 2, 3生成的子空间，下同）的基与维数；（2）W2 span( 1, 2, 3)的基与维数；（3）W1 W2及W1 W2的基与维数。 2. （10分）设R2中线性变换T1对基底 1 (1,2)T, 2 (2,1)T的矩阵为

3 2

3

。 4

1 2

2

，线性变3

换T2对基底 1 (1,1)T, 2 (1,2)T的矩阵为

（1）求T1 T2对基底 1, 2的矩阵；（2）设 (3,3)T，求T1( )在基底 1, 2下的坐标； 3.（10分）在线性空间V R t 4(次数小于4的实系数多项式)中定义内积 f t ，g t

1 1

f t g t dt，

V1 span 1，t 为V的子空间，求V1的一个标准正交基。

4. （10分） 设T是欧氏空间V上的变换，对V中任意向量 α，β有 Tα，Tβ α，β ，证明T是V上的线性变换 。

3

5．（10分） 设A 1

1

01 1

0

1， 3

（1）．求A的特征值及对应的特征子空间；

（2）．.求A的不变因子，初等因子及最小多项式，并说明A能否对角化？

6．（10分）设复数域C上的线性空间V的一个基为 1, 2, 3，线性变换T在该基下的矩阵为

1

A 1

1

20 1

6 3 4

求V的另一个基 1, 2, 3（用 1, 2, 3表示），使T在该基下的矩阵为若当（Jordan）标

准形；

sint

7 （10分）设A(t) et

1

lntcost0

t 2

t ，求：(1) A (t), (2) 3 t

x

1

A(t)dt．

2

8. （15分）设A 1

1

2 1 2 1 At

1 ，求e． 2

9 （10分） 证明： Ak收敛的充要条件是 (A) 1,（其中 A max i ， i为A

k 0

1 i n

1

的特征值），收敛时其和为（E A），并且对任何正整数k，

E A） （E A A

1k

A

k 1

1 A

。

矩阵理论试卷（2011级）参考答案

1 2 1 解：（Ⅰ） 1 2

2310

1 1 20

02 3 0

2 1 14

1

0

，易求出r({ 1, 2, 3} )，3故1 1

dimW1 r({ 1, 2, 3}) 3，且 1, 2, 3为W1的一组基。

（Ⅱ）类似可得dimW2 3且 1, 2, 3为W2的一组基。 111121 100121

（Ⅲ） 103232

0 10111

。 110112 00 10 11 1

1

4

2

3 0

5

5

15

可以看出， r({ 1, 2, 3, 1, 2, 3}) 4，故

dim(W1 W2) r({ 1, 2, 3, 1, 2, 3}) 4，

且易看出 1, 2, 3, 1为W1 W2的一组基。

解方程组x1 1 x2 2 x3 3 y1 1 y2 2 y3 3 0 （1） （1）式等价于方程组

x1 2y1 5y3 0,

x2 y1 y2 3y3 0,

x 3

y2 y3 0, 5y1

13y2 15y3 0.

得基础解系为 (26, 18, 5, 13,5,0)T， T

1 2 (1,0,1, 3,0,1)，再令

13 ( T

1 1, 2, 3) 5 13 1 5 2 ( 3, 11, 8,26)，

0 3 T

2 ( 1,2, 3) 0 3 1 3 ( 2, 4, 1,3)。

1

则W1 W2 L( 1, 2)，dimW1 W2 2且 1, 2为W1 W2的一组基。

2. 解：（1）由假设知

T1( 1, 2) ( 1, 2)A （1） T2( 1, 2) ( 1, 2)B （2） 其中A 12 B 3

3 1 1

2

3 ， 2

4 。令( 1, 2) ( 1, 2

)P，则由1

1

2 2

2

1 P，可

1

求得P

12 1

1

1 1

11 3 2 1

3

1

。故 0

6

（3） 1

5

1

T1( 1, 2) ( 1, 2)PAP ( 1, 2) 2

3

由（2），（3）有

5

(T1 T2)( 1, 2) ( 1, 2) 2

3

8

即T 1T2在基 1, 2下的矩阵为 4

3

9 。 3

2 1

1

6

3 1 2 83 ( 1, 2) 44 3

9

。 3

x1 x1 1

（2）设 x1 1 x2 2 ( 1, 2) ，则

x2 2 x2 1 1 1

T1 T1 ( 1, 2) ( 1, 2)A ，( 1, 2)

1 1 2

3 1

。故 3 1

2 1 3 ( 1, 2) 。 3 1 5

即T1 在基 1, 2下的坐标为(3,5)T。

3 解：解 设f t a3t a2t a1t a0为V1中任一多项式，由

32

1 0 f t ，

及

f t ，t 0得

2

a2 2a0 0 3

22 a a 031

3 5

从而求得V1的一个基为f1 t

53

t t，f2 t 3t 1。

3

2

因 f1 t ，f2 t 0，将其单位化得V1的一个标准正交基为

52

t

3

32

t，

2

2

2

。

4 证明 由 T α β Tα Tβ，T α β Tα Tβ 0

证得 T α β Tα Tβ。

对 P，由 T α Tα，T α Tα 0

证得 T α Tα

5解：1.

1 3, 2,3 2; 1= 111 ,V L( 1);

1

T

2= 0

11 ,V 2 L( 2)

T

基分别为 1， 2

2. 不变因子1,1，( 3)( 2)2，初等因子：( 3), ( 2)2，最小多项式

( 3)( 2)，不能对角化

2

6. 可求出A的若当形J及相似变换矩阵P分别为： 1 J 0

0

010

0 1 1，P 1 01

211

2

0 由 1, 2, 3 1, 2, 3 P，求得V的另一个 1

基为 1 1 2， 2 2 1 2 3， 3 2 1 3，T在该基下的矩阵为J。

cos1 cosx

x

A(t)dt e e

x 1

12 1

0 1 , 1

cost t

7. A (t) e

0

1t sint0

1 2t , 23t

xlnx x 1sinx sin1

x

1

x 1

2 3

x 1

34

x 1

4

2

1

8. J 0

0

1100 1 0 , P 1 1 1

2t1 2t 2t

k

1001 0

1

0 , P 1

1 0

e

At

1 t

t e t

t t

t 1 t

9. 证： 由于级数 x的收敛半径为R 1，因此当 (A) 1时， Ak收敛；另一方面，

k 0

k 0

N

k

A S, A SN，从而 limA

k

k

记

k

N

N

lim(SN SN 1) S S 0，由教材定理,

N

N 1 1

知 (A) 1。 由于SN ASN E A，故(E A)S E，得S (E A)。此

E A） （E A A ||A

1kk 1

A

k 2

|| A

k 1

(||E|| ||A|| ||A|| )

2

A

k 1

1 A

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