建模作业

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灰色关联度模型及应用

摘要

本文对灰色关联分析相关理论及其应用进行了研究和总结,针对灰色绝对关联度模型、进行了研究,以期更好地将灰色关联度模型应用于实际问题的分析中。本文的研究工作主要有以下两个方面:首先,总结了灰色关联分析理论的发展与现状、基本内容。其次,本文利用灰色模型分析了国内生产总值与三大产业的权重关系,得出第二产业与国内生产总值关联度最大,国内生产总值与第二产业的发展密切相关。 关键词:灰色系统,灰色关联分析 国内生产总值

第一章绪论

1.1 目的和意义

灰色系统理论是邓聚龙教授于 1982 年提出来的一门新兴理论,该理论是一种运用特定的方法描述信息不完全的系统并进行预测、决策、控制的崭新的系统理论。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定的幅值和一定时区变化的灰色量,并把随机过程看成灰色过程,其是控制论观点和方法的延伸,它从系统的角度出发来研究信息间的关系,即研究如何利用已知信息去揭示未知信息,也即系统的“白化”问题。灰色系统的实质为:部分信息已知部分信息未知的一类系统。灰色关联分析是灰色系统理论的主要内容之一,它是对运行机制与物理原型不清楚或者根本缺乏物理原型的灰关系序列化、模式化,进而建立灰关联分析模型,使灰关系量化、序化、显化,能为复杂系统的建模提供重要的技术分析手段。灰色关联分析方法是一种新的多因素分析方

法,其基本原理是通过对统计序列几何关系的比较来分清系统中多因素的关系的紧密程度,序列曲线的几何形状越接近,则它们之间的灰关联度就越大,反之越小。灰色关联分析是在由系统因素集合和灰色关联算子集合构成的因子空间中来进行研究的,灰色关联是指事物之间的不确定关联,是系统因子之间、因子对主行为之间的不确定关联。灰色关联分析的基本任务是基于行为因子序列的微观或宏观几何接近,以分析和确定因子之间的影响程度或对因子对主行为的贡献测度。关联分析的实质是整体比较,是有参考系的、有测度的比较。距离空间中的“距离”是比较的测度,但是这种比较只限于两点之间的比较,是两两比较。点集拓扑是整体比较,是邻域的比较,但是没有测度。因而,距离空间与点集拓朴空间的结合,构成有参考系的,有测度的整体比较,这便是灰色关联分析空间。在对复杂系统进行系统分析时,以往大都采用统计分析或者其它分析法,灰色关联分析法比起它们的优势体现在:灰关联分析是按发展趋势做分析,因此对样本量的多少没有过多的要求,也不需要典型的分布规律,而且计算量比较小,其结果与定性分析结果会比较吻合。因此,灰关联分析是系统分析中比较简单、可靠的一种分析方法。灰色关联分析法是借助于灰色关联度模型来完成计算分析工作的,目前已经建立起来的一些计算灰色关联度的量化模型都有各自的优点和适用范围,随着灰色关联分析理论应用领域的不断扩大,现有的一些模型存在的不足之处使得其不能很好地解决某些方面的实际问题,也使得灰色关联分析整个理论体系目前还不是很完善,其应用受到了某些限制。所以灰色系统的理论研究灰

色关联分析模型及其应用的研究工作者不断地对灰色关联分析模型进行改进和完善。 1.2 国内外的研究现状

灰色关联分析作为一种技术方法,是分析系统中各因素关联程度的方法。作为一种数学理论,这种方法实质上是将无限收敛问题转化为近似收敛问题来研究;将无限空间的问题转化为有限数列的问题来解决;将连续的概念用离散的数据而取代的一种分析方法。自从灰色系统理论诞生以来,灰色关联分析理论作为其中最重要的一部分就受到学术界的广泛关注并且展开了相应的理论模型和实际应用方面的研究。因其应用领域的广泛性,这也给人一个错觉,即任何一个系统所进行的系统分析都可利用灰色关联分析法。其实,要利用该方法,这个系统必须是灰色系统。灰色系统中灰的主要含义是信息不完全性(部分性)和非唯一性,其中的“非唯一性”是灰色系统的重要特征,非唯一性原理在决策上的体现是灰靶思想,即体现的是决策多目标、方法多途径,处理态度灵活机动;在分析上体现的是关联序:关联度的大小并不重要,重要的是关联序;在求解过程中体现的是定性与定量相结合,面对许可能的解,需要通过信息补充,定性分析,以确定一个或几个满意解。因此灰关联分析模型不是函数模型,是序关系模型,其技术内涵为:获取序列间的差异信息,建立差异信息空间;建立和计算差异信息比较测度;建立因子间的序关系。灰色关联空间涉及到灰关联因子空间、灰关联差异信息空间等。灰关联因子空间是灰关联分析的基础,其是由具备“可比性”、“可接近性”、“极性一致性”的序

列构成,灰关联差异信息空间则是灰关联分析的依据。目前,灰色关联分析理论的研究成果主要集中在计算模型和实际问题的应用两大方面。

1.3灰色关联分析的应用现状

灰色关联分析方法在一定程度上排除人们的主观随意性,使过去凭经验和类比法等处理实际问题的传统做法转向数学化、科学化、人工智能化。基于这样的计算和分析,得出的结论比较全面、客观、公正,相应的决策也就比较正确、合理和有效。所以,作为灰色系统理论比较完善和成熟的一部分内容,目前应用甚是广泛。灰色关联分析的应用大致可以分为以下三大方面:因素分析、综合评价、优势分析。 (1) 因素分析

一般的抽象系统如社会系统、经济系统和生态系统等都包含着多种因素,多种因素共同作用的结果决定系统的发展态势。要进行系统分析,显然首要的工作是要分清楚这些因素间的关系,这样才能抓住影响系统的主要矛盾、主要特征和主要关系。作为因素分析的一种新的方法,灰色关联分析正可以解决这方面的问题。其主要步骤为:首先要确定参考序列和与参考序列作关联程度分析的比较因素序列,将参考序列和比较序列具体确定后,就可以对该系统进行因素分析了。 (2) 综合评价

在现实生活、工作中,我们经常会遇到综合评价问题,而我们知道,评价的依据就是指标。但由于影响各评价事物的因素往往是众多而复杂的,如果仅从单一指标上对被评价事物进行综合评价不尽合理,因

此往往需要将反映被评价事物的多项指标的信息加以汇集,得到一个综合指标,从整体上反映被评价事物的情况。这就是多指标综合评价方法。也就是说,综合评价就是根据多项指标、从多灰色关联分析模型及其应用的研究个不同侧面对有关现象进行全面的综合判断,是应用定量方法对特定现象(主要是社会经济现象)的多个方面数量表现进行高度抽象综合,对数据进行加工和提炼,进而以定量形式确定现象综合优劣水平与次序的一种方法。在工程技术的设计或者复杂系统的评价中,如何对备选的方案进行优次排序或选择出最优的对象,一直是系统工作者普遍感兴趣的课题。近年来,围绕着多指标综合评价,其他领域的相关知识不断滲入,使得多指标综合评价方法不断丰富,有关这方面的研究也不断深入。目前国内外提出的综合评价方法已有几十种之多,但总体上可归为两大类:即主观赋权评价法和客观赋权评价法。 (3) 优势分析

优势分析指的是参考序列和比较序列都不止一个的关联分析,此时所有的系统特征行为序列和相关因素行为序列之间的关联度可以构造出一个灰色关联矩阵,该矩阵隐含着大量的信息,每一行数字表示的是同一个系统特征行为序列对不同的因素行为序列的关联度,每一列表示的是不同系统特征行为序列对同一个因素行为序列的关联度的数值。如果某行的各个元素均大于其它各行的对应元素,则该行的系统特征行为序列称为最优特征。如果某列的各个元素均大于其它各列的对应元素,则该列的因素序列称为最优因素。进行优势分析,对于

研究社会经济发展战略,合理地分配和使用人力、物力、财力资源,统筹安排各个部门和各项生产的发展,提高社会经济和生态效益,都有着十分重要的意义。 1.3参考序列的选取

应用灰色关联综合评价方法的关键有两点:一是要对非量化的技术经济指标作白化函数的量化处理。一般作这种量化处理时,取何种形式的白化函数可视指标的实际情况而定;二是确定参考序列。参考序列通常确定为系统的理想方案(正理想方案和负理想方案),具体的确定方法有两种:理想方案从排序方案内部产生,其各项元素由诸方案指标数据里的最优(劣)值组成;理想方案从序列方案的外界产生,是根据排序方案的性质,设计(规定、要求)的能力,以及各指标在过 去曾出现过的最优(劣),结合现在已出现和将来可能或希望出现的最优(劣)值综合而定的,具有一定的稳定性。其中第一种方法用的最为普遍,得到理想方案后,再计算各方案与理想方案的灰色关联度。

第二章基本原理

2.1基本概念

定义 2.1 设 X0 为表征系统行为的量,其在序号k 上的观测数据为

x0,(k = 1,2,??,n),则称Xi(k)?(xi(1),xi(2),xi(3),......,xi(n)) 为系统

特征行为序列。

定 义 2.2 设Xi为系统因素,其在序号 k 上的观测数据为xi(k),(k =1,2,??,n),则称Xi(k)?(xi(1),xi(2),xi(3),......,xi(n)),(i?1,2,......,m)为系统的相关因素行为序列。

若 k 为时间序号,则Xi为行为时间序列,xi(k)为因素Xi 在k 时刻的观测数据;若k 为指标序号,则Xi 为行为指标序列,xi(k)为因素Xi 关于第k 个指标的观测数据;若k 为观测对象序号,则Xi 为行为横向序列,xi(k) 为因素Xi 关于第k 个对象的观测数据。无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据,都可以用来作灰色关联分析。

定义 2.3 设系统特征行为序列X0 为增长序列, Xi 为相关因素行为序列,则有

(1)当Xi 为增长序列时, Xi 与X0 为正相关关系; (2)当Xi 为衰减序列时, Xi 与X0 为负相关关系。 定义 2.4 设序列X = (x(1), x(2),??, x(n)),则称

(1) α = x(k) ? x(k ?1), k = 2,3,??,n,为X 在区间[ k ?1, k ]上的斜率; (2) ??x(s)?x(k),s?k;k?1,2,......,n?1,为X 在区间[ k, s ]上的斜率。 s?k2.2 数据变化及其性质

在进行关联分析之前,一般要对搜集来的原始数据进行数据变化和处理,因为所给的数据序列的取值单位一般来说是不同的,为保障建立模型的质量和系统分析的正确结果,使其数据具有可比性是必要的。 2.3 单指标序列的数据变化及其性质

对单指标数据序列 X = (x(1), x(2),??, x(n))进行无量纲的数据变化方法通常有以下几种: (1)初值化变换,即

XD1?(x(1)d1,x(2)d1,x(3)d1,......,x(n)d1)

其中:x(k)d1?x(k)/x(1),x(1) ≠ 0,k = 1,2,??,n (2)均值化变换,即

XD2?(x(1)d2,x(2)d2,x(3)d2,......,x(n)d2)

其中:x(k)?x(k)/x,x?0;k = 1,2,??,n (3)极小化变换,即

XD3?(x(1)d3,x(2)d3,x(3)d3,......,x(n)d3)

其中:x(k)d3?x(k)/M,M ≠ 0,k = 1,2,??,n (4)极大化变换,即

XD4?(x(1)d4,x(2)d4,x(3)d4,......,x(n)d4)

其中:x(k)dk?x(k)/m,m ≠ 0,k = 1,2,??,n (5)极差变换,即

XD5?(x(1)d5,x(2)d5,x(3)d5,......,x(n)d5)

其中:x(k)d5?(x(k)?m)/(M?m) ;M ? m ≠ 0,k = 1,2,??,n (6)归一化变换,即

XiD6?(x(1)d6,x(2)d6,x(3)d6,......,x(n)d6)

其中:其中x0为大于零的某个常数值,k = 1,2,??,n x(k)d6?x(k)/x0 ,(7)标准化变换,即

XiD7?(x(1)d7,x(2)d7,x(3)d7,......,x(n)d7)

其中:x(k)d7?(x(k)?x)/?;σ ≠ 0,k = 1,2,??,n 其中:x 为因素序列X 的各个取值的样本均值,σ 为其样本标准差,

M 为因素序列X 的最大值,m 为序列X 的最小值。上述除了标准化变

化 d7外的各变化dj( j =1,2,??,6)都满足下面的性质 性质 2.1 对任意给定非负的单指标数据序列

X = (x(1), x(2),??, x(n))

有下面的性质

(1)保号性:当x(k) > 0时,x(k)dj?0 。

(2)保序性:对?x(k1),x(k2)?X ,当 x(k1)?x(k2)时,x(k1)dj?x(k2)dj 。 (3)保差异性:对?x(k1),x(k2),x(k3),x(k4)?X,

x(k1)?x(k2)x(k1)dj?x(k2)dj ?x(k3)?x(k4)x(k3)dj?x(k4)dj2.4 灰色关联公理与灰色关联度

为了建立一套完整的灰色关联理论体系,灰色关联四公理作为定义灰色关联度满足的条件被提出,即灰色关联分析模型是在灰色关联四公理的基础上来定义的。灰色关联四公理 [5]是指: (1) 规范性

0??(X0,Xi)?1,?(X0,Xi)?1?X0?Xi

(2) 整体性

对于Xi,Xj??X,s?0,1,2,......,m;m?2? ,有

?(Xi,Xj)??(Xj,Xi)(i?j)

(3) 偶对对称性 对于Xi,Xj?X ,有

?(Xi,Xj)??(Xj,Xi)?X??Xi,Xj? (4) 接近性

x0(k)?xi(k)越小, ?(x0(k),xi(k))越大

其中:实数?(X0,Xi)为 Xi与X0灰色关联度。 2.5 灰色关联分析的基本特征 (1)总体性

灰色关联度虽是数据序列几何形状的接近程度的度量,但它一般强调的是若干个数据序列对一个既定的数据序列接近的相对程度,即要排出关联度大小的顺序,这就是总体性,其将各因素统一置于系统之中进行比较与分析。 (2)非对称性

在同一系统中,甲对乙的关联度,并不等于乙对甲的关联度,这较真实地反映了系统中因素之间真实的灰关系。 (3)非唯一性

关联度随着参考序列不同、因素序列不同、原始数据处理方法不同、数据多少不同而不同。 (4)动态性

因素间的灰色关联度随着序列的长度不同而变化,表明系统在发展过程中,各因素之间的关联关系也随着时间不断变化。 2.6原始数据的处理

由于各因素各有不同的计量单位,因而原始数据存在量纲和数量级上的差异,不同的量纲和数量级不便于比较,或者比较时难以得出正确结论。因此,在计算关联度之前,通常要对原始数据进行无量纲化处理。

设Xi?(xi(1),xi(2),......,xi(n))为因素Xi的行为序列

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/39rt.html

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