中考数学复习专题-一元二次方程

专题 一元二次方程

一）一元二次方程的定义

ax

2

bx c 0(a 0)是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的

2

最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。ax

b

bx 0；ax

2

2

c 0；ax

2

0这三个方

程都是一元二次方程。求根公式为x 二）ax

2

b 4ac2a

b

2

4ac 0

bx c 0(a 0)。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系

数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？ 1、 ＝b2 4ac当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根；

3、当Δ< 0时方程无实数根.

4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）; 5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根;

6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为

ba

7、当a、b、c是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。 8若x1,x2是一元二次方程ax 即① x1 x2

ba

2

bx c 0(a 0)的两个实数根，

ca

x1 x2

（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足

Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。） 例：已知关于X的方程x 2 m 2 x m

2

2

0,问：是否存在实数m，使方程的两个实数

根的平方和等于56，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。 ②一元二次方程ax

2

bx c 0(a 0)可变形为a x x1 x x2 0的形式。可以用求

根公式法分解二次三项式。

9、以两个数x1 x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（x1+ x2）+ x1 x2＝0 10几种常见的关于x1,x2的对称式的恒等变形 ①x1 x2 x1 x2 2x1x2

2

2

2

②x1 x2 x1 x2 x1 x1x2 x2

3

3

2

2

x

1

x2 x1 x2 3x1x2

2

③x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

2

2

④ x1 a x2 a x1 x2 a x1 x2 a

2

⑤

1x1

1x2

x1 x2x1 x2

2

⑥

1x1

2

1x2

2

x1 x2x1 x2

2

2

2

x1 x2 2 2x1x2

x1 x2 2

x1

2

⑦x1 x2 三）例题

x1 x2

2 x2 4x1x2

1如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，求另一个根及常数项的值。 解法一）用方程根的定义解： 解法二）用根系数关系解： 解法三）用“一元二次方程ax

2

bx c 0(a 0)可变形为a x x1 x x2 0的

形式”比较对应系数求解：

2用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是0，这样的题型若能用十字相乘法解题的、要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得多）。

十字相乘法的口诀是：右竖乘等于常数项，左竖乘等于二次项系数，对角积之和等于一次项系数。三个条件都符合，结论添字母横写（看成是关于谁的二次三项式就添谁）。

解下面一道一元二次方程x2-110x+2925=0

1 -65

-65 -45= -110

3下列关于X的一元二次方程px

2

5px 6p m 2 0，其中p为一切实数，求以方程

的两个根与m的值为三角形的三条边的面积是多少？ 四）Δ与根的关系的综合运用（ax2

五) “Δ”,“x1.x2 ”，“ x1+x2”与“0”的关系综合判断一元二次方程根的情况

Δ>0 1有两个不相等的负实数根1.x2>0 1+x2< 0

Δ>0

2有两个不相等的正实数根1.x2>0 x1+x2>0 Δ>0 31.x2< 0 x1+x2< 0 Δ>0 4两个异号根正的绝对值较大1.x2< 0 1+x2>0 Δ>0 5两根异号，但绝对值相等1.x2< 0 1+x2＝0 Δ>0 6一个负根，一个零根 x1.x2＝ 0 x1+x2< 0 7一个正根，一个零根1.x2>0 x1+x2>0 Δ＝0 8有两个相等的负根1.x2>0 x1+x2< 0 Δ＝0 9有两个相等的正根1.x2>0 x1+x2>0

Δ＝0

10有两个相的等的根都为零1.x2＝0

x1+x2＝0 Δ>0

11两根互为倒数1.x2＝1 12两根互为相反数Δ>0

x1+x2＝0

13两根异号Δ>0 141.x2<

15Δ>0 161.x2＝ 17有一根为Δ>0 18无实数根 Δ< 0

Δ≥0 1.x2>0 有一根为Δ>0

19两根一个根大于m，另一个小于m，（m∈R）Δ>0

x1 m x2 m 0

20 ax+bx+c (a≠0)这个二次三项式是完全平方式 Δ＝0

21方程ax2+bx+c ＝0 (a≠0)（a、b、c都是有理数）的根为有理根，则Δ是一个完全 平方式。

22方程ax+bx+c ＝0 (a≠0)的两根之差的绝对值为：x1 x2 23 Δ＝0,方程ax2+bx+c ＝0 (a≠0)有相等的两个实数根。 24 Δ< 0, 方程ax+bx+c ＝0 (a≠0)无实数根.

25方程ax+bx+c ＝0 (a≠0)一定有一根为“1”Δ≥0 26方程ax+bx+c ＝0 (a≠0)的解为x

22

2

2

2

a

b b 4ac2a

ba

2

b

2

4ac 0

27方程ax2+bx+c ＝0 (a≠0)若Δ≥0则 x1 x2

x1 x2

ca

a

x1 x2

2

注：凡是题中出现了x1.x2< 0；或

ca

0；或a、c异号就能确保 ＝b 4ac>0

1[例题] m为何值时，方程3x2 10x m 0 ①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根；④有一根为0；⑤两根同号；⑥有一个正根一个负根；⑦两根互为倒数。

2[例题]k为何值时关于x的方程x 4mx 4x 3m 2m 4k 0(m为有理数)的根为有理数。

3[例题]不论m为何值时 x 2 x 3 m 1都可以分解成二个一次因式的积

2

22

4[例题] 已知方程x 4x 2m 8 0 的两根一个大于1，另一个根小于1，求m的值的范围。

5[例题]已知方程ax+bx+c ＝0 (a≠0)的实数根为m、n求下列对称式子的值 ①

1m 1n

2

2

；②m2 n2；③

nm

mn

；④m3 n3；⑤ m n ；⑥m n。

2

22

6例题]已知实数a、b满足a 2 2a,b 2 2b且a b求

ba

ab

的值。

2

7例题已知p 2P 5 0. 5q 2q 1 0其中p、q为实数。求p

22

1q

2

的值。

8用配方法求下面关于x的一元二次方程ax+bx+c ＝0 (a≠0)

9已知 x a x b x b x c x c x a 是一个完全平方式，若a≠0试证明：方程ay2 by c 0无实数解。 10已知关于x的方程x （2）化简 k 2

2

2

2

（1）求k的取值范围。2k 4x k 0有两个不相等的实数根，

k 4k 4

11、求非对称性式子的值（解题思想是逐次降次） 例1已知X

2

X 1 0求－X

2

3

2X

2

2003的值。

2

例2设a、b是方程X X 2009 0的两个实数根，求a 2a b的值。

12用适当的方法解下列方程(说明选用的理由）

① 9 x 1 4 ② x2 2x 1

2

③ 3y2 6y 2 0 ④x2 3x 14 0

六）“归旧”思想在解一元二次方程中的应用

“归旧”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题。一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法，这几种解法，都是用“归旧”的数学思想方法求解。下面就各种方法分别加以说明。

直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形如（mx+n）2=p (m≠0,p≥0)的方程。我们可以利用平方根的定义“归旧”为两个一元一次方程去解，即有一元一次方程为mx+n=±的两个根。

用简明图表可表示为：

直接开平方法：形如（mx+n）2=p (m≠0,p≥配方

p，分别解这两个一元一次方程就得到原方程

：最适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数的形式的一元二次方程，形

如x2+2kx+m=0（当然一般的形如ax2+bx+c=0 a≠0 也可用,但不一定是最合适的方法）。

2这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段，把原方程“归旧”为上述形如（mx+n）=p (m≠0,p≥0) 的方程，然后再用直接开平方法的方法求解。

用简明图表可表示为：

2

形如（mx+n）=p (m≠0,p≥0)的方程 因式分解法：这种方法平时用的最多，最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形式的一元二次方程方程。这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段，把原方程转化为形如(a1x+c1)(a2x+c2)=0方程，从而“归旧”为a1x+c1=0 、a2x+c2=0 ，再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的两个解。

用简明图表可表示为：

两

公式法：公式法的实质就是配方法，只不过在解题时省去了配方的过程，所以解法简单。但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小的数值情况下才考虑使用该方法。

由此可见以上四种解法都是运用了归旧的数学思想，把新东西转换成熟悉的旧的东西 去解决。归旧思想在初中数学中还有许多运用：如解二元一次方程归旧为一元一次方程，分式方程归旧为整式方程，二元二次方程组归旧为二元一次方程组或代入消元归旧为一元二次方程，平行四边形、矩形、梯形通过添加辅助线归旧为三角形问题等，由此可见熟练掌握归旧数学思想，对增强解题能力，改善知识结构，提高数学素养大有裨益。

一元二次方程应用题总复习

一、列方程解应用题的一般步骤是

1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位； 3.列:列代数式,列方程；

4.解:解所列的方程；

5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意；

6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.

注：列方程解应用题的关键是: 找出等量关系

二、《一元二次方程》，其应用题的范围也比较广泛，归纳起来可大致有以下几种类型：

一）求互相联系的两数：

连续的整数：设其中一数为x，另一数为x+1 连续的奇数：设其中一数为x，另一数为x+2 连续的偶数：设其中一数为x，另一数为x+2

和一定的两数（和为a）：设其中一数为x，另一数为a-x 差一定的两数（差为a）：设其中一数为x，另一数为x+a 积一定的两数（积为a）：设其中一数为x，另一数为a/x

商一定的两数（商为a）：设其中一数为x，另一数为ax（a/x） 例：两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。 解：设其中一数为x，另一数为x+2， 依题意得：x（x+2）＝168 x2+2x-168=0

（x-12）（x+14）＝0 x1=12，x2 =－14

当x＝12时，另一数为14； 当x＝-14时，另一数为-12.

答：这两个偶数分别为12、14或-14、-12. 二）求直角三角形的边：

面积S一定，两直角边和（和为a）一定：设其中一边为x，另一边为a-x，则1/2x（a-x）=S

面积S一定，两直角边差（差为a）一定：设其中一边为x，另一边为x+a，则1/2x（x+a）=S

斜边c一定，两直角边和（和为a）一定：设其中一边为x，另一边为a-x，则x2+（a-x）2=c2

斜边c一定，两直角边差（差为a）一定：设其中一边为x，另一边为x+a，则x2+（x+a）2=c2

例：一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm，求较长的直角边的长。 解：设较短的直角边的长为x厘米，较长的直角边的长为（x＋3）厘米，根据三角形的面积公式，得1/2x（x+3）=9

解得：X=3或X=-6（不合题意，舍去） 故X=3，X+3=6

所以较长的直角的边长为6厘米。 三）求矩形的边：

例：①利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形场地？

解：设靠墙的一边为x

x（20-2x）=20 解得：x=5

∴设靠墙的两边为5m，另一边为10m 四）赛制循环问题：

单循环：设参加的球队为x，则全部比赛共1/2[x（x-1）]场； 双循环：设参加的球队为x，则全部比赛共x（x-1）场； 【单循环比双循环少了一半】

例：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人握手10次，有多少人参加聚会？ 解：设一共有x人 x （x-1）2=10

解得：x=5 或x=-4（不合题意，舍去） ∴一共有5人

五）利滚利问题：

年利息＝本金×年利率年利率为a%

存一年的本息和：本金×（1+年利率） ，即本金×（1+ a%） 存两年的本息和：本金×（1+年利率）， 即本金×（1+a%） 存三年的本息和：本金×（1+年利率）， 即本金×（1+a%） 存n年的本息和：本金×（1+年利率）， 即本金×（1+a%）

例：我村2006年的人均收入为1200元，2008年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率。

解：设均收入的年平均增长率，则1200×（1+x）=1452 解得：x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）

∴人均收入的年平均增长率为10%。 六）传染问题：（几何级数）

传染源：1个【 每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1：（1+x）】

2

n

n

3

3

2

2

患者： 第一轮后：共（1+x）个

第二轮后：共（1+x）（1+x），即（1+x）个 第三轮后：共（1+x），即（1+x）个

第n轮后：共（1+x）个

例：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染。请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意得：x2=81 解得：x=9或-9（负值不合题意，舍去）

∵93=729＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。

七）薄利多销问题（价格与销量问题）（略） 八）函数与方程 九）信息题 十）背景题 十一）古诗题

十二）象棋比赛题 十三）几何类题 三、应用举例

一）数字型

1、 两个数的和是-7，积是12，则这两个数是多少？

2、5个连续正数，前3个数的平方比后两个数的积小1，这5个连续整数分别是多少？ 3、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数是多少？

二）百分数应用题（含增长率方面的）题型

1、 某企业2004年初投资100万元生产适销对路的产品，2004年底将获得的利润与年初

的投资和作2005年的投资，到2005年底，两年共获利润为56万元，已知2005年的年获利比2004的年获利率多10个百分点（即2005的年获利率是2004年的年获利率与10%的和），求2004年和2005年获利率各是多少？

2、 某工厂一月份生产某种机器100台，计划二、三月份共生产280台。设二、三月份每月的平均增长率为X，求增长率为多少？ 3、 某市土地沙漠化严重，2005年沙漠化土地面积为100Km2，经过综合治理，希望到2007

年沙漠化土地面积降到81 Km2，如果每年治理沙漠化土地的降低百分率相同，求每

年的沙漠化土地的降低百分率。 三）传染病毒应用题

1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

2、 中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？

四） 银行利率应用题

n3

3

2

1、 某人将2000元按一年定期存银行。到期后取出1000元，并将剩下的1000元及利息再按一年定期存入银行，到期后取得本息共计1091.8元。求银行一年定期储蓄的利率是多少？

五）销售利润方案类题

（1）经济类一

1、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？ 解：设每件售价x元，则每件利润为x-8， 销售量则为200-（x-10）/0.5*10=200-20(x-10) 所以每天利润为640元时，则有 （x-8)[200-20(x-10)]=640 则有x-28x+192=0 即（x-12)（x-16)=0

所以x=12或x=16。

即当每件售价为12元或16元时，每天利润为640元

2、 神州行旅行社为吸引市民组团去大纵湖风景区旅游,推出如下收费标准,如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元，如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元，某单位组织员工去大纵湖风景区旅游，共支付给神州旅行社旅游费用2700元，请问该单位这次共有多少员工去旅游了。

3、苏宁服装商场将每件进价为30元的内衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，经过试销发现，每件内衣涨价10元，其销量就将减少10件，为了实现每月8700元销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？ 解：设涨价10x元,销量将减少10x件:

(300-10X)(50+10X-30)=8700 6000+3000X-200X-100X²=8700

X²-28X+27=0 (X-1)(X-27)=0

X1=1,以每件50+10*1=60元售出，平均每月能售出300-10*1=290件,进货290件,以每件60元售出.

X2=27,以每件50+10*27=320元售出，平均每月能售出300-10*27=30件,进货30件,以每件320元售出.因为售出价320元太高,此解舍去.

4、某越剧团准备在市大剧院演出,该剧院能容纳1200人,经调研,如果票价定为30元，那么门票可以全部售完，门票价格每增加1元，售出的门票数就减少30张，如果想获得36750元的门票收入，票价应定为多少元？

5、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售出2件，

1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 答案：1) 设每件衬衫应降价X元。得 (20+X*2)*(40-X)=1200 解 X=10 答：应降价10元

2）设每件衬衫应降价X元,商场平均每天盈利最多y元。得 (20+X·2)（40-X)=y

Y＝ 2X 15 305

2

2

解 X=15 答：应降价15元

（2）经济类二（经济类试题一元二次方程的实际应用）

近年来方程的应用与相关经济类试题呈逐渐增多的趋势．现举例说明：

例1：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

分析：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利(40―x)元，降价后每天可卖出(20+2x)件，由关系式：总利润=每个商品的利润×售出商品的总量，可列出方程． 解：设每件衬衫降价x元， 依题意，得(40―x)(20+2x)=1200，

整理得：x2―30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20，

因为要尽快减少库存，所以x=10舍去． 答：每件衬衫应降价20元．

例2：某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后加强改进管理，经减员增效，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？(精确到0.1%)

分析：设三、四月份平均每月增长的百分率为x，二月份销售额为60(1―10%)万元，三月份的销售额是二月份的(1+x)倍，即三月份销售额为60(1―10%)(1+x)万元，四月份的销售额是三月份的(1+x)倍，则四月份的销售额为60(1―10%)(1+x)2万元，其等量关系为：四月份销售额=96．

解：设三、四月份平均每月的增长率为x， 依题意，得60(1―10%)(1+x)2=96

解得：x1= ，x2= (舍去) 答：平均每月的增长率为33.3%．

例3：某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350―10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需卖出多少件商品，每件售价应为多少元？

解：依题意得(a―21)(350―10a)=400，

整理得a2―56a+775=0，即(a―25)(a―31)=0，

解得a1=25，a2=31．

又因为21×(1+20%)=25.2，

例4．(本题满分10分)利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品

零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更

大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

解：（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元． 根据题意，得

x+y=5

x=2

解得

3(x+1)+2(2y-1)=19 y=3

答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．

（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则 s=(1-m)(500+100×

mm

)+(5-3-m)(300+100×) 0.10.1

即 s=-2000m2+2200m+1100 =-2000(m-0.55)2+1705.

∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705.

答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每

天的最大利润是1705元.

六）函数与方程

1.某工厂生产的某种产品质量分为10个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元.媒体搞一个档次，每件利润增加2元，但每天产量减少4件.

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1 x 10），求出y关于x的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次. 解:1)生产数量为:76-4(X-1)

利润为:10+2(X-1)

则函数为:Y=[76-4(X-1)][10+2(X-1)]

2

整理为:Y=-8X+128X+640

把Y=1080代入解得X=5或X=11(不合题舍) 固为第五档.

七）信息题

1、某开发区为改善居民住房条件，每年都要建一批住房，这样人均住房面积逐年增加，该开发区2005年至2006年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图所示，请根据下列两图提供信息解答问题：

（1）该区2005年和2006年这两年，哪一年比上年增加的住房面积多？多增加多少平方米？ （2）预计到2008年年底，该区人口是总数将比2006年年底增加2万人，为使到2007年年底该区人均住房面积达到22m2/人，试求2006年，2008年两年该区住房总面积的年平均

每年年底人口总数和人均住房面积的统计如图1，图2．

请根据图1，图2提供的信息解答下面问题：

（1）该区2005年和2006年两年中哪一年比上一年增加的住房面积多多增加多少平方米？ （2）由于经济发展需要，预计到2008年底该区人口总数比2006年底增加2万人，为使到2008年底该区人均住房面积达到11m/人，试求2007年和2008年这两年该区住房总面积的年平均增长率为多少？

2

考点：一元二次方程的应用． 专题：增长率问题；图表型．

分析：本题根据图象提供的信息进行分析、筛选，整理有关数据，根据题目的要求，正确识

图，进而找出2005年和2006年人均住房面积及多增加多少万平方米．第二个问题的实质是2007年和2008年的平均增长率是以2006年底人口为基础，再结合人均住房面积，求出总面积．

解答：解：（1）2006年比2005年增加住房面积：

20×10-18×9.6=27.2，

2005年比2004年增加住房面积： 18×9.6-17×9=19.8，

所以2006年比2005年的增加的面积多，且多增加27.2-19.8=7.4（万m2）．

（2）设住房面积的平均增长率为x，则20×10（1+x）2=11×（20+2）．解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）．

所以2006年与2007年这两年该区住房面积的年平均增长率为

10%．

点评：列一元二次方程解应用题将实际问题转化为数学问题，增长率或降低率问题它符合a（1+x）n=b类型，x是增长率，a是基础数，b是增长后的量．

本题第二问考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．

八）、背景题

1、某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A kW·h,那么这个月这户只需要交10元电费；如果超过A kW·h，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度

A100

元交费。

（1）该厂某户居民2月份用电90 kW·h，超过了规定的A kW·h，则超过部分应交电费多少元（用A的代数式表示）。

（2）下表是这户居民3月、4月份用电情况和交费情况：

根据上表的数据，计算电厂规定的A kW·h是多少？ 【实际背景】

预警方案确定: 设W

．如果当月W<6，则下个月要采取措施防止“猪贱伤农”． ．．．

当月的５00克玉米价格　

当月的５00克猪肉价格

【数据收集】

今年2月～5月玉米、猪肉价格统计表

(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m；

(2)若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”；

(3)若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a，则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米．请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”．

解：（1）由题意，

m 7.57.5

6 6.256.25

，

解得： m=7.2． （2）从2月~5月玉米的价格变化知，后一个月总是比前一个月价格每500克增长0.1元．（2分）

（或：设y＝kx+b，将（2，0.7），（3，0.8）代入，得到y=0.1x+0.5，把（4，0.9）， （5，1）代入都符合，可评2分，再得到（6，1.1）时不再给分）

∴6月玉米的价格是：1.1元/500克;（3分） ∵5月增长率：∴W=

5.761.1

6 6.256.25

125

125

，∴6月猪肉的价格：6(1－)=5.76元/500克.

=5.24<6， 要采取措施．

说明：若答：∵5月的W=6，而6月时W的分子（猪肉价格下降）减小，且分母（六月的玉米价格增长）增大，∴6月的W<6，未叙述减小和增大理由时可扣1分． （3）7月猪肉价格是：6(1 a)元/500克；

7月玉米价格是：1(1 2a)元/500克；

由题意，6(1 a)+1(1 2a)=5.5， （6分）

2

222

解得，a

6(1

1)

2

110

或a

32

．（7分） a

32

不合题意，舍去． （8分）

∴W

10

12

1(1 )

5

， （9分）， W( 7.59) 6，∴不(或：不一定)需要采取措施．

九）、古诗问题

例：读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）. 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.

则根据题意，得x＝10(x－3)+x，即x-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6. 当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去； 当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意. 答 周瑜去世的年龄为36岁.

说明：本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题。 十）、象棋比赛

例：象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，

1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加. 解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为 n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，

2

1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.

答：参加比赛的选手共有45人.

2

2

说明：类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解。

十一）、几何类题

（1）等积变形

例1将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）

（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.

解 都能.（1）设小路宽为x，则18x+16x－x＝

22

23

×18×15，即x－34x+180＝0，

2

解这个方程，得x

x≈6.6.

23

（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.

说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.

（2）动态几何问题

例：如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

解：因为∠C＝90°，所以AB

＝

12

＝10（cm）.

（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm. 则根据题意，得

·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半. 则根据题意，得

12

(6－x)·2x＝

12

××6×8.整理，得x－6x+12＝0.

2

1

2

由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻. 说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路

程＝速度×时间.

（3）梯子问题

例：一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. （1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？

（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？

（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？

8（m）.

（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.

2222

则根据勾股定理，列方程7+(6+x)＝10，整理，得x+12x－15＝0， 解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去）， 所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.

（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm. 则根据勾股定理，列方程(8－x)+(6+1)＝100.整理，得x－16x+13＝0. 解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.

所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m. （3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.

则根据勾股定理，列方程 (8－x)+(6+x)＝10，整理，得2x－4x＝0， 解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.

所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.

说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.

（4）、航海问题

例：如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.

（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）

解（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝

12

2

2

2

2

2

2

2

A

图5

AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.

（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.

在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.

解这个方程，得x1＝200

－

3

≈118.4，x2＝

200+

3

（不合题意，舍去）.

所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.

说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.

（5）、几何与图表信息

例：如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张

纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.

请你认真观察思考后回答下列问题：

（1）由于正方形纸片边长n的取值不同， 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：

（21为S2.

①当n＝2时，求S1∶S2的值；

②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由. 解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7. （2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.

①当n＝2时，S1＝－2+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110. 所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55. ②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝

12

2

×122，即n2－25n+84＝0，

图6

解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.

所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.

说明：求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方

程是否有实数根来加以判断.

（6）、探索存在问题 例：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

解（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20－x）cm.

x 20 x

则根据题意，得 + ＝17，解得x1＝16，x2＝4，

4 4

2

2

当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，

答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.

（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20－y）cm.则由

y 20 y 22

题意得 + ＝12，整理，得y－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10)＝－4

4 4

2

2

＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm.

说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b－4ac＝－16＜0即无解.

（7）、平分几何图形的周长与面积问题

例：如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E 在下底边BC

2

2

2

上，点F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.

解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28. 过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K. 则可得，FG＝

12 x5

AD

×4，

25

245

所以S△BEF＝

12

BE·FG＝－x+

2

x（7≤x≤10）.

BG K EC

图7

（2）存在.由（1）得－

25

x2+

245

x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，

舍去），

所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.

（3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2， 即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－

25

x+

2

165

x＝

283

，

整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，

所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.

（8）、利用图形探索规律

例：在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：

图8

（1）观察图形，请填写下列表格：

正方形边长 黑色小正方形个数

1

3

5

7

n（奇数）

正方形边长 黑色小正方形个数

2

4

6

8

n（偶数）

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数．．n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.

解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、 、n 时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、 、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.

（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n，所以P2＝n2－2n.根据题意，得n2－2n＝5×2n，即n－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1. 说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.

综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等。 十二）循环赛制类应用题

[例1] 2008年某地区的超级足球联赛，赛制采取主、客场的循环比赛，如果所有比赛场次共有240场，那么2008年共有多少个队参加这个超级联赛？ 设参赛队为X， X(X-1)=240

解 X=16或X=-15，-15不合题意，舍去。

双循环公式X(X-1),单循环公式X(X-1)/2

其实也就可以理解为单循环循环赛就是和每个对手比赛1次（对手数量=参赛队数量-1），而每场比赛有2队参加，就得除以2。双循环比赛场次是单循环的2倍。

B

2

Q

CP

图4

图2

图3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/39q1.html