新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结

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1 / 1 二次函数知识点归纳

1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.

2.二次函数2ax y =的性质

(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴．

（2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.

①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

②当0

（3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a ．

3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线．

4．二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式，其中a

b a

c k a b h 4422

-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2；③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2；⑤

c bx ax y ++=2.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点．

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0

a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y 轴(或重合）的直线记作h x =．特别地,y 轴记作直线0=x .

７.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222

2-+??

? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (２)配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,

对称轴与抛物线的交点是顶点．

用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失．

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1 / 1 9.抛物线c bx ax y ++=2

中，c b a ,,的作用

(1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.

（２)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线 a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴;②0>a b （即a 、b 同号）时,对称轴在y 轴左侧；③0

（3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.

当0=x 时,c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（０，c )：

①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0

0

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(１）一般式:c bx ax y ++=2

.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.

(2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (３）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.

12．直线与抛物线的交点

（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2

得交点为(0, c ).

(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2)．

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1 / 1 (3）抛物线与x 轴的交点

二次函数c bx ax y ++=2

的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切；

③没有交点?0

(4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点．当有2个交点时,两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ,则横坐

标是k c bx ax =++2

的两个实数根.

(５)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组 c bx ax y n

kx y ++=+=2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点.

(６）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02

=++c bx ax 的两个根，故 a

c x x a b x x =?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-??? ??-=--=-=

-=44422

2122122121

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