公路桥梁车辆耦合系统随机振动响应分析及其随机控制研究

南京航空航天大学

硕士学位论文

公路桥梁车辆耦合系统随机振动响应分析及其随机控制研究

姓名：孙燕军

申请学位级别：硕士

专业：工程力学

指导教师：冷小磊

2010-12

南京航空航天大学硕士学位论文

摘 要

简要回顾了公路桥梁-车辆耦合系统振动响应及其控制问题的研究现状，扼要介绍了该问题所涉及的数值计算方法、路面不平顺模型和系统模型，并计算了各种系统模型在无路面不平顺环境下的振动响应，与参考文献结果对比，以验证该方法的正确性和可靠性。

基于随机振动理论，论文重点就1/4车辆-简支梁模型的振动响应及其控制策略进行了研究，具体包括以下两部分内容：

1）车桥耦合系统振动响应研究：

考虑随机路面不平顺，建立车桥耦合系统振动微分方程，应用高斯积分公式计算系统振动响应，分别分析了车速、桥梁阻尼等因素对系统竖向位移均方响应的影响。

2）车桥耦合系统随机控制研究：

该部分应用线性二次高斯随机最优控制（LQG）和调谐质量阻尼器（TMD）对车桥耦合系统进行控制。首先，对线性二次高斯随机最优控制方法进行理论推导与分析，在此基础上，建立了应用随机最优输出调节器的车桥耦合系统控制模型及其振动微分方程，采用Runge-Kutta数值积分法计算系统方差响应，并将其与无控制的系统方差响应进行比较；其次，将调谐质量阻尼器应用于桥梁竖向振动控制，采用类似于车桥耦合系统振动响应研究的方法进行计算和分析。

数值模拟结果表明，上述两种控制方法均能有效减小车桥耦合系统的动力响应。

可预见，论文中所涉及的振动响应计算方法和随机最优控制策略可为此类问题的进一步研究提供很好的数据和理论参考。

关键词：数值积分，随机振动，均方响应，方差响应，LQG控制，TMD控制

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公路桥梁车辆耦合系统随机动力响应分析及其随机控制研究

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ABSTRACT

This thesis is devoted to the dynamic responses problems of coupled vehicle-bridge system, and

to the problems of a stochastic optimal control tactics applied in the coupled vehicle-bridge system.

The results of the research on the dynamic responses and control tactics of coupled vehicle-bridge system from predecessors are summed up in this thesis at first. Then some numerical methods, models of random road roughness, and coupled vehicle-bridge system involved in the thesis are presented briefly, and calculate dynamic responses of three types of coupled vehicle-bridge system compared with results published in order to prove that methods applied are correct and reliable.

Based on the random vibration theory, the main contributions of this thesis are as following:

Firstly, research on the stochastic dynamic responses of coupled vehicle-bridge system. The mathematical model of coupled vehicle-bridge system is built, of which mean square responses are analyzed and calculated, where the random road roughness, the change of vehicle speed, and the damping of bridges, are taking into account.

Secondly, the Linear Quadratic Gaussian stochastic optimal control (LQG), and the tuned mass damper control (TMD) are imposed on the coupled vehicle-bridge system. The numerical results presented in this thesis show that both of the two methods can reduce the dynamic responses of the coupled vehicle-bridge system effectively.

It can be forecasted that the dynamic response calculate method and the stochastic optimal control tactics presented in this thesis can provide data and theoretical references for the farther research in coupled vibration of vehicle-bridge system.

Keywords: numerical integral methods, random vibration, variance response, mean-square response, LQG, TMD

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图表清单

图2- 1 梁模型 (10)

图2- 2 梁微段 (11)

图2- 3 移动常力-简支梁模型 (17)

图2- 4 移动常力-简支梁桥梁耦合系统响应 (18)

图2- 5 移动簧上质量-简支梁模型 (19)

图2- 6 桥梁跨中竖向位移响应 (19)

图2- 7 簧上质量竖向位移响应.................................................................................................20 图2- 8 14

车辆-桥梁模型.............................................................................................................20 图2- 9 桥梁跨中竖向位移响应 (21)

图2- 10 车体竖向位移响应 (22)

图2- 11 车架竖向位移响应 (22)

图2- 12 桥面不平顺度仿真模型 (26)

图2- 13 车速5m/s 时C 级路面不平顺 (26)

图2- 14 车速15m/s 时C 级路面不平顺 (26)

图3- 1 车桥耦合系统模型图 (28)

图3- 2 不考虑路面不平顺桥梁最大竖向位移响应随车速的变化曲线 (32)

图3- 3 随机路面不平顺下桥梁最大竖向位移均方响应随车速的变化曲线 (33)

图3- 4 不考虑路面不平顺下桥梁最大竖向位移响应随桥梁阻尼比的变化曲线 (33)

图3- 5 随机路面不平顺下桥梁最大竖向位移均方响应随桥梁阻尼比的变化曲线 (34)

图3- 6 车速对车体竖向位移均方响应的影响 (34)

图3- 7 车速对车体竖向位移均方响应的影响 (35)

图3- 8 车体最大竖向位移均方响应随车速变化曲线 (35)

图3- 9车架最大竖向位移均方响应随车速变化曲线 (36)

图3- 10桥梁跨长对桥梁跨中竖向位移响应的影响 (36)

图3- 11 桥梁跨长对车体竖向位移响应的影响 (37)

图3- 12桥梁跨长对车架竖向位移响应的影响 (37)

图4- 1车桥耦合系统模型图 (45)

图4- 2桥梁跨中竖向位移方差响应受权矩阵R 的影响 (50)

图4- 3车体竖向位移方差响应受权矩阵R 的影响 (50)

图4- 4车架竖向位移方差响应受权矩阵R 的影响....................................................................51 图4- 5桥梁跨中位置最大竖向位移方差响应随车速变化 (52)

图4- 6车体最大竖向位移方差响应 (53)

图4- 7车架最大竖向位移方差响应 (54)

图4- 8车桥耦合系统TMD 控制模型图 (55)

图4- 9 桥梁最大竖向位移均方响应随速度变化曲线 (59)

图4- 10 桥梁最大竖向位移均方响应随速度变化曲线 (59)

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vi 图4- 11 车体最大竖向位移均方响应 (60)

图4- 12 车架最大竖向位移均方响应 (60)

表2- 1高斯型积分公式积分节点和积分系数表 (17)

表2- 2 ISO SC2/WG4道路不平的五级分类标准 (24)

表2- 3 路面不平度8级分类标准 (24)

表4- 1系统最大竖向位移方差响应控制效果 (54)

表4- 2 系统最大均方响应控制效果 (61)

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注释表

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承诺书

本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。

本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。

（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）

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第一章 绪 论

1.1 问题的提出

随着我国货运和客运交通量的增长，桥梁结构处于日益繁忙的运输状态，而一方面桥梁结构广泛应用高强材料和薄壁结构，向着“大、轻、柔”的方向发展；另一方面车辆运行速度不断加快，车辆载重也逐渐加大，使得桥梁结构所承受的活载增加，恒载占总荷载的比例减少；进而加大了车辆桥梁之间的耦合振动，使得车桥系统的耦合振动问题变得更加突出。

大量事实表明，即便车桥系统不受任何外力作用，系统仍然会发生强烈的振动，这是由车桥系统内部存在激扰因素而引起的，其中包括车辆内部质量分布的不均匀、桥面不平顺等。当车辆运行时，这些激扰因素就会激起车桥系统的振动，甚至车辆与桥梁相互影响而使振动加强。因此，研究车桥系统的振动时，必须考虑车桥系统振动的耦合效应。

车桥系统的耦合振动问题包括两个方面：一方面，由于车辆自身各旋转部分的作用，高速运行的车辆通过桥梁时，桥面不平顺以及车辆速度等影响，会引起车辆弹簧上部由车身及装载货物所构成的悬挂质量的振动，并通过具有一定弹性与阻尼作用的轮胎的传递，将时变(随机)激振荷载作用于桥面，从而引起桥跨结构的随机振动，使桥梁构件产生疲劳，降低其强度和稳定性，直接影响其工作状态和使用寿命。当车辆的动力变化频率与桥跨结构的自振频率相等或接近时，引起的共振会使车桥动力响应加剧，甚至产生意外的破坏；另一方面，桥梁的振动又会对运行车辆的平稳性和安全性以及行车舒适性产生影响。

因此，我们需要对车桥耦合系统进行综合研究，以便对桥梁结构及于其上运行的车辆作出动力分析和评估，进而采取控制策略减小结构的动力响应，合理设计车辆和桥梁结构，对结构工程学科的发展具有十分重要的理论和实际意义。

在此背景下，结构的振动状态成为评价桥梁动力设计参数合理与否的重要考虑因素。而对车桥耦合系统随机振动响应的研究也显得尤为重要。为了有效地抑制桥梁动力响应，提高桥梁结构的安全与使用性能，我们需要使用控制设施对桥梁或车辆进行振动控制，并寻求其最优控制。

车辆与桥梁动力相互作用的研究涉及到结构动力学、结构工程学、交通工程学、车辆动力学、环境工程等多个领域，主要包括以下几个方面[1][2]：

(1)桥梁结构在运行车辆作用下的动力分析。

利用车桥系统动力分析模型，可直接计算得到各种类型桥梁结构在不同速度运行的车辆作用下的动力响应，包括桥梁梁跨的动挠度、竖向和横向振动、振动频率、动力冲击系数以及运行车辆与桥梁的动力响应等等。

(2)地震发生时车辆—桥梁系统的动力响应分析

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随着车辆运行速度的日益提高，地震对运行车辆安全的影响也日益加剧。对于大跨度桥梁和高速行驶的车辆，该问题的研究特别重要。通过将地震波输入到车桥系统，可以得到地震发生时桥梁和桥上运行车辆的动力响应，结果可用于车辆运行安全的评估，并可给出地震控制的临界值。

(3)风荷载作用下车辆—桥梁系统的动力响应分析

对于大跨度桥梁，风荷载作用下的车桥振动系统以及相应的车辆运行安全是一个重要的问题。通过将风速(或风力)时程输入到车桥系统，可以得到风荷载作用下桥梁和桥上运行车辆的动力响应，结果可用于车辆运行安全的评估，并可给出保证车辆安全运行的桥梁振动控制临界值和交通控制的风速临界值。

(4)桥梁结构在各种荷载作用下的振动控制问题

通过结构振动控制机构可以大大减少桥梁在各种荷载作用下的振动。车桥系统

分析模型可用于控制参数的确定，控制效果的评估等。

(5)桥梁结构的动力性能评估和加固问题

随着行车速度的提高，荷载幅度的加大，桥梁结构的动力问题日益突出，对车辆过桥时由于桥梁振动和变形导致应力重分配而产生的结构安全性、动力承载力和使用可靠性等正成为人们广泛关注的重要问题。车桥动力响应的分析结果可直接用于桥梁动力性能评估，动力加固的确定和加固效果的评估。

(6)保证车辆运行安全的车辆运行指标的确定

通过理论分析和现场试验相结合，可以确保列车安全的车辆运行指标(如车辆的加速度、运行舒适度等)，进一步为桥梁设计提供必要的参数。通过研究，可将成果用于车辆运行振动指标、桥梁振动控制临界值、地震控制临界值以及交通控制的风速临界值的确定。

(7)车辆与地下结构的动力相互作用

车辆在隧道、地铁等地下结构通过时，会引起结构的振动。对结构衬砌的安全会产生影响。

(8)车辆与结构相互作用的环境影响问题

交通荷载引起的结构振动对周围环境和临近建筑物的影响已经引起人们的广泛关注。通过车辆—结构—基础—周围地层—临近建筑物相互作用系统的振动分析，可得到桥梁基础和地基的振动加速度和频率，地面建筑物的振动响应特性及各指标的分布规律及相互关系，可用于研究地面振动加速度及其传播规律、临近建筑物的振动影响以及环境振动控制措施等问题。

1.2车桥耦合系统动力相互作用的研究现状

近几十年来，世界范围内公路交通迅速发展，桥梁数量增加，新型桥梁结构涌现，桥梁跨度的不断增大，车辆速度显著提高，车辆荷载标准逐渐加大，现代交通发展现状推动了车

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辆与桥梁动力相互作用研究的深入，形成了车辆与桥梁相互作用研究的一系列前沿性课题。车桥耦合振动研究包括两个方面，一方面是耦合振动分析模型能够反映真实工作状态；另一方面是系统响应的获得具有优越的分析方法与算法。比较而言，铁路桥梁的耦合作用与冲击效应在理论和试验上研究得比较早。而公路桥梁的车桥耦合振动研究较弱。我国高速公路建设发展起步较晚，对公路桥梁的车桥藕合振动研究相对国外尚有一定差距。

车桥耦合振动的研究可以追溯到100年前，而较多的是对铁路桥梁的车桥振动研究，相较之下，公路桥梁的车辆振动问题并不是很严重，可是公路桥梁的激励机制更为复杂。沿用研究铁路桥梁的思路，早期的工程师们开始借助于试验手段。1844年法国和英国对Britannia桥进行的模型试验，1849 年R·Wiuis开始从理论及试验上研究桥梁的振动问题，1892年法国工程师M. Deslandres在Pontoise桥上首次采用振动记录进行公路桥梁荷载动力试验。1905年俄国学者Krylov A N首先研究了在匀速常量力作用下简支梁的振动问题；1910年美国为了了解荷载的冲击作用，也进行了若干公路桥梁的动载试验；Timoshenko于1922年研究了一个匀速移动的简谐力通过简支梁的情况；1931年英国土木工程师协会根据一系列的简支梁桥的试验数据制定了最早的公路桥梁荷载冲击系数规范；1937年Schauenkamp 第一次提出了考虑移动荷载本身质量的惯性力影响，1954年Biggs在lnglis所发展的理论基础上研究了更为接近实际的车辆模型,并得出了便于计算的近似解，1970年Velet sos和Huang提出将桥梁理想化为具有集中质量和粘性阻尼的有限自由度梁，将载重货车理想化为带有摩擦装置的平面三自由度模型；澳洲昆士兰理工大学的谭国辉提出将二维的格栅桥梁与三维的汽车组合起来模拟二者之间的相互作用[3]。G. H. Brameld和D. P. Thambiratnam [4]为了验证现有桥梁对繁重交通的承载能力并为了新桥梁的设计，桥梁工程师需要改进车桥相互作用的分析技术, 考虑了三维7自由度车辆模型，二维格排桥梁模型。

由于车辆与结构的动力相互作用是一个复杂的课题，而且许多影响因素具有随机性。目前的处理方法多是建立车辆—桥梁力学模型，推导运动方程式，编制计算机程序，然后按各种参数进行计算，从而得到车辆与结构动力响应，即计算机仿真方法。车桥动力相互作用的计算机仿真已经得到了广泛应用，国内外研究都有所体现。

进行车桥耦合系统响应研究主要涉及以下三个方面内容：1）车桥耦合系统模型；2）系统振动响应的求解方法：数值积分法、有限元方法等；3）对车桥耦合系统响应影响因素的选择：桥面不平顺、车速、动力冲击系数等。

首先，车桥耦合系统模型主要有四分之一车辆模型、二分之一车辆模型和Bernoulli-Euler 梁单元桥梁模型等。单德山等[5]采用四分之一车辆模型，着重分析了车桥耦合系统振动计算中的Newmark数值计算方法；陈炎等 [6]采用四分之一车辆模型，用正弦波形模拟桥面不平整，利用模态分析法和Runge-Kutta法对系统模型进行数值求解，获得了车桥耦合系统振动的动态响应和共振曲线；而王运金、桂水荣、陈水生[7]采用二维的平面梁单元模型和五自由度二分之一车模型,利用模态综合叠加法并结合Newmark-β积分格式进行数值计算；李丽[8]采用二

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分之一车辆-简支梁模型对车桥耦合系统进行研究, 研究各种车速通过桥梁时斜拉桥的动力响应。沈火明，肖新标[9]同样采用二分之一车辆-简支梁模型，应用Rungge-Kutta法进行数值求解；肖新标,沈火明[10]则系统研究了移动质量、四分之一车辆和二分之一车辆模型在简支梁上移动的3种车桥耦合系统的动力响应；另外王潮海,王宗林[11]建立三维车辆模型与桥梁模型组成互动体系的振动时变方程组，利用Newmark-β或者Wilson-θ数值积分法研究了桥面不平顺和车速对系统响应的影响。赵青等[12]采用无限自由度桥梁模型对梁桥在多辆移动车辆荷载作用下的强迫振动问题进行了分析, 分别研究了简支梁桥在两辆移动汽车分别以不同的车重和不同的车速作用下的跨中动位移。

其次，国内对车桥耦合系统振动响应的求解主要采用有限元方法和数值积分法如Runge-Kutta法、Newmark-β法、Wilson-θ法等。程保荣等[13]利用模态综合法，对车桥进行有限元离散，并利用Newmark法进行数值计算，比较了车与桥间的动力放大效应；李军强等[14]利用Runge-Kutta法对车桥耦合系统振动响应进行数值计算与分析；徐强等[15]采用Newmark-β法实现了对车桥耦合系统振动方程组的分组迭代求解；此外，林家浩等[16]提出了较Newmark 方法计算效率更高的三种精细积分格式，对车桥耦合系统响应进行数值计算和分析；且林家浩等[17]又采用具有10自由度的四轮车辆模型和Bernoulli-Euler梁单元桥梁模型，应用虚拟激励法将随机问题转化为确定性问题，并构造模拟车辆连续移动的精细积分格式，研究了车桥耦合系统在非平稳随机振动响应。李小珍等[18]采用分离的车辆和桥梁运动方程，提出了车桥系统耦合振动分析的迭代求解方法；刘伯权、黄华、刘鸣[19]编制程序VLS (Vehicle Load Spectrum) 构造随机车辆荷载谱，利用有限元方法将不同运行状态下的随机车辆荷载谱加载于简支T型钢筋混凝土梁桥上，模拟桥梁在车辆荷载通过时的动力响应。

最后，车桥耦合系统响应影响因素的选择主要表现在桥面不平顺和车辆因素，如车速、车重、动力冲击系数等。方志等[20]考虑桥面的不平度系数、车辆的加速度及前后轮激励相关性，研究了车辆非匀速行驶时路面随机激励的时域模型；张钧博等[21]研究了车速、桥面不平顺、桥的阻尼等因素对桥梁冲击系数的影响；陈炎，马友发[22]建立车桥相互作用的运动微分方程，论述了桥面不平、桥梁广义坐标及振型与车桥系统的振动关系，并验证桥面不平顺、振型及其导数与车辆间的相互作用对系统振动的影响很大。王钧利、马春燕[23]综合随机动力学和疲劳累积损伤理论对桥梁结构受行驶车辆动荷载作用所产生的重复动应力和动应变, 及其使桥梁结构形成的疲劳累积损伤进行了论述, 并从结构疲劳抗力和动荷载效应两方面系统地分析了公路桥梁动力疲劳可靠性。胡晓燕等[24]通过建立车桥耦合单元,形成汽车桥梁整体系统的动力学方程。研究了在随机不平顺桥面激励下汽车车列荷载的偏载及行驶速度对斜拉桥结构的动力响应。孙建林[25]用频谱分析的方法研究了车桥系统由路面不平顺引起的动力响应。用迭代法解出它们的频谱响应，避免了以往所使用的数值积分分析法。从分析车桥系统传递函数的频谱入手，研究了车桥系统的基频与车速的关系，并且分析了车桥的质量比，固有频率比车速以及阻尼对系统动力稳定性的影响。彭献等[26]对受变速移动荷载作用的简支

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梁的动力响应分析过程中，同时考虑移动质量的牵连惯性力及其加速度对梁横向振动的影响；利用时变力学系统的求解方法，得到在移动质量的初速度和加速度两个运动参数变化情况下梁的挠度变化规律；王解军等[27]基于结构动力学理论, 视桥梁与车辆为一个相互作用的整体系统, 建立了桥梁在移动车辆荷载作用下振动的计算模式；在分析中, 汽车采用2轴模型, 桥梁结构模拟为梁单元, 统一列出车桥系统的动力方程, 编制了计算程序；对实际预应力混凝土简支箱梁桥在重型汽车作用下的动力冲击效应进行了计算, 并与轻型汽车荷载作用下产生的动力冲击系数进行了比较。李东平等[28]采用模态综合法建立车桥时变系统耦合振动模型,导出该系统的总质量矩阵、总阻尼矩阵和总刚度矩阵的计算表达式,并考虑移动车载所产生的附加矩阵，通过算例研究附加矩阵对系统耦合振动响应的影响。

公路桥梁结构在移动荷载作用下，车辆与桥梁结构的相互作用研究属于典型的快速时变结构力学范畴。前人的研究成果为公路桥梁车桥耦合振动分析模型的合理构建提供了理论与实践基础，也为诸多影响因素在振动分析模型中的合理引入分析提供了新的思路和深入分析的方法。

1.3 控制策略在车桥耦合系统中的应用

车桥耦合系统的振动既降低了车辆的行驶舒适性，并影响了车辆的操控稳定性，又降低了桥梁的强度和稳定性。传统的结构抗振(震)方法是通过增强结构本身的性能来“抵御”振(震)动作用的。由于人们难以准确估计结构在未来可能遭遇的振(震)动强度和特性，结构产生破坏甚至倒塌的例子很多；或者由于结构在常规荷载作用下，振动(车振、风振等)过于频繁、振动幅度过大，而较早的发生疲劳破坏，不能保证结构的安全使用。在结构的抗振(震)设计中，我们还可以探索新的途径，那就是采用结构控制的方法，通过在结构的敏感部位设置控制装置，改变结构的动力特性，隔离、吸收和耗散振(震)动能量，使结构的动力反应减小[29][30]。

按照控制系统是否需要外部能源输入，工程结构的振动控制可分为被动控制、主动控制和半主动控制。

被动控制是无外加能源的控制,其控制力是控制装置随结构一起振动变形时,因装置自身的运动而被动产生的。被动控制可分为基础隔震技术、耗能减震技术和吸能减震技术。而其中吸能减震技术是在主体结构中附加子系统, 使主结构的振动转移给子系统, 子系统吸收主结构的部分振动能量以达到减震目的的一种控制技术。目前该技术在桥梁结构中的运用尚处于理论和试验研究阶段,大多学者将该技术运用于大跨度斜拉桥和悬索桥主塔的振动控制,用于结构的线弹性工作状态,且控制效果有限。桥梁结构中常用的吸能减震技术主要为调谐质量阻尼器（TMD）、多重调谐质量阻尼器和调谐液体阻尼器三种。

对于主动控制、半主动控制，控制系统主要有传感器、控制器、驱动器和执行器组成。其中，控制器是整个控制系统的信息处理和管理中心，它接收来自各传感器的信号，依照特

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6定的数据处理方法和控制策略，确定控制输出量并发送给驱动器进行信号转换和功率放大，驱动执行器完成相应的控制动作，进而达到抑制系统振动的目的。为了改进控制系统的控制效果，除了不断研发新型的传感器、驱动器和执行器外，在控制器设计中采用什么样的控制方法也非常关键。对土木工程的抗震控制来说，近30年来应用和发展起来的控制方法主要有经典线性二次型最优控制((LQR 控制)、线性二次型高斯最优控制((LQG 控制)、瞬时最优控制、极点配置、独立模态空间控制、2H 控制、H ∞控制、滑动模态控制、模糊控制、神经网络控制等。

主动控制与被动控制相比有以下优点：(1)反馈控制力可直接作用于结构物,无TMD的滞后现象,具有较高的控制性能；(2)要使桥梁结构的固有频率发生变化，只需调整控制软件参数，比被动控制需调整设备要简单；(3) TMD只能控制一阶振型,而主动控制能控制二阶乃至更高阶的振型；(4)系统本身的摩擦系数小，为微小振动，控制效果好。

TMD主要的缺点是只针对桥梁的某阶振型进行振动控制, 对于频率偏离最优频率比较远的模态, TMD的抑制效果就显著减小。

主动控制技术的缺点是：(1)需要外部能源的输入； (2)需对传感器和电液伺服作动器进行系统监控和系统维护，以保证其正常工作；(3)技术复杂，造价较高。

本文主要讨论主动控制和被动控制的发展，尤其是主动控制中的线性二次型高斯最优控制(LQG控制)和被动控制中的吸能减震技术（调谐质量阻尼器TMD）。

1.4控制策略的研究现状

1972年美国的J.T.P.Yao 教授提出了土木工程振动控制的概念。此后，结构振动控制的研究从理论、试验到应用等方面得到了突飞猛进的发展。近年来，美国、日本、新西兰等发达国家对桥梁结构振动控制方面进行了广泛的研究[31]。

1.4.1被动控制——调谐质量阻尼器(TMD )

调谐质量阻尼器(TMD)作为被动控制中的一种，是1909年由Frahm 发明的一种吸振器，它具有经济、方便、抑制窄带振动效果显著的优点，几十年来在机械、土木、航空航天、船舶、化工工程等众多领域得到了广泛应用[32]。

TMD最先用于桥梁结构是1973年Chasteau 提到的一座步行桥的制振，后来美国阿拉斯加的Sitka Harber 桥、苏格兰Kessock 斜拉桥主梁以及泰国的Dao Khanong 斜拉桥主梁都应用了TMD。主跨为856m的法国诺曼底斜拉桥在最大双悬臂的施工中估计横向阵风响应较大，也采用了TMD，效果明显。

近年来，我国学者在TMD的应用中也进行了很多深入的研究，并取得了很好的结论。肖艳平等[33]介绍了两种多重调谐质量阻尼器(MTMD)的参数优化公式,并采用两种方法对车桥耦

合振动中桥梁的竖向振动进行了控制；彭献等[34]推导出了由变速行驶车辆与不同边界和路面

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不平桥梁组成的系统，在安装调质阻尼器(TMD)后的无量纲运动微分方程。作为其特例, 研究了匀变速车辆与简谐路面简支桥梁系统，获得了桥梁跨中的无量纲最大挠度随加速度、减速度、初速度、质量比和路面不平度的变化规律, 并对系统发生共振时进行TMD 控制；其数值计算表明：加速度、减速度、初速度和质量比对桥梁的影响均很大；路面不平度对桥梁的影响不可忽略,它甚至有可能使桥梁产生共振；TMD可明显减小桥梁的共振振幅。肖新标、沈火明[35]为了全面地了解移动荷载作用下桥梁的振动机理及其调质阻尼器(TMD)控制, 将列车简化成移动简谐力模型，对列车过桥时桥梁的振动形态幅频特性作了详细的探讨。然后论述了移动荷载作用下的TMD控制。给出了桥梁在不同速度下的幅频特性曲线以及TMD控制的质量比影响曲线，揭示了移动荷载作用下的桥梁振动及其控制的特点，同时为进一步的桥梁振动控制提供详尽的参考数据。郝超，强士中，马栋君等[36]采用二自由度车辆模型，用调质阻尼器对桥梁的振动控制；

1.4.2 主动控制——随机线性二次型高斯最优控制(LQG控制)

振动主动控制装置的雏形可追溯到上世纪20年代出现的采用电磁阀控制的缓冲器。直到1960年前后才出现较复杂的振动主动控制系统。近20年来，随着科技的飞速发展，振动主动控制技术进入蓬勃发展阶段，己成功应用于航空、航天结构振动控制、土木工程结构抗震、车辆结构隔振和其他机械设备振动控制等领域。

在航天工程领域内，对于大柔性结构(如空间站、大型天线、太阳能电池板、光学系统等)的振动主动控制已受到广泛重视，已成为振动主动控制最活跃的领域。研究的中心问题是提高结构的模态阻尼与减少外扰的影响。近几年来，新型智能材料及主动结构的出现，为大柔性结构的振动主动控制开辟了新的途径。

在土木工程领域，对于高层建筑及大跨度桥梁等，为保证结构完整性与其他要求(如建筑中人的舒适性等)，都要对随机性外载(如风、地震等)引起的响应进行控制。近年来研制的主动式阻尼动力吸振器取得了很好的减振效果。由于巨型土木工程振动控制系统大都属于时滞的非定常线性系统，需用实时辨识技术进行在线建模，因此土木工程结构振动自适应控制技术尚需深入研究和探讨。

作为现代控制中的经典方法，线性二次型高斯最优控制((LQG控制)在结构抗（振）震中被广泛采用。最优控制是首先确定一个明确的目标函数，通过一定的数学方法计算出使该函数取极值时的控制输入。一般情况下，目标函数的确定要靠经验，最优控制的解可以通过计算机得到数值解。应用随机线性二次型高斯最优控制，对系统有几点要求[37][38]:（1）受控系统是线性的(linear)；（2）系统的性能指标要以二次型的形式表达(Quadratic)；（3）系统输入为高斯分布的白噪声(Gaussian distributed)；（4）系统的状态均为可测。

国内外有许多优秀成果，宋娟等[39][40]建立了考虑路面不平顺作用下的简支梁耦合振动方程，并获得主动最优控制的控制律。唐晓娟，谢能刚，王璐[41]通过3自由度车辆半主动悬架系统模型的建立，采用LQG理论确定了半主动悬架的控制方法，并在MatLab/Simulink环

7

公路桥梁车辆耦合系统随机动力响应分析及其随机控制研究

境中对其进行仿真，并把它与被动悬架作了比较；其仿真结果表明：相对被动悬架，具有LQG控制的半主动悬架在降低人体的加速度、改善车辆的乘坐舒适性和平顺性及行驶安全性上有显著的效果。王国胜等[42]基于特征结构配置参数化结果，提出了车辆悬挂系统的主动优化控制器设计方法。该方法直接基于车辆悬挂系统的参数矩阵，便于工程应用；车辆悬挂系统的仿真实例表明所提主动优化控制器设计方法简单且有效。宋刚、谭述君、林家浩[43]基于精细积分和保辛摄动，给出了一种新的时变LQG控制数值方法，并用于车桥耦合系统的竖向减振控制；假定小车一系悬挂和二系悬挂系统均采用主动悬挂系统，控制力分别由放置在转向架和车轮、以及车体和转向架之间的作用器产生；通过正则变换，把对偶于变系数矩阵Riccati微分方程的时变Hamilton系统分解为零阶近似和保辛摄动两个Hamilton系统。引入区段混合能和区段矩阵，对零阶近似系统区段矩阵采用精细积分法进行精细计算，进而给出了变系数矩阵Riccati微分方程基于区段矩阵求解的递推格式；分别对被动悬挂系统小车和主动悬挂系统小车过桥进行了仿真计算，且仿真结果表明，在对既有桥梁不作任何改造的情况下，仅在车辆上采用高性能的主动悬挂系统，就可提高车辆过桥时的平稳性和乘客舒适性。王国胜等[44]基于特征结构配置参数化方法, 提出了车辆主动悬架控制器设计方法, 其目的是设计一组状态反馈控制器, 使得闭环结构系统具有希望极点和特征向量；该方法提供的自由参数，可用来满足系统的鲁棒性能等指标；该方法直接基于车辆悬架系统的参数矩阵, 便于工程应用。孙骏等[45]从2自由度汽车模型入手,设计出具有优良的减振性能汽车主动悬架系统的最优控制器，并与被动悬架的进行了对比分析。汤靖、高翔[46]为改善某皮卡车悬架的性能，在该车四自由度二分之一车体被动悬架的模型上并联控制器，采用一种新的控制算法对该控制器进行设计, 建立了并联式主动悬架的理论模型，计算机仿真表明,与被动悬架相比较, 采用所设计控制器的并联式主动悬架系统的汽车平顺性、车轮地面附着性有明显的改善。郝超等摘要论述了移动荷载作用下用调质阻尼器对桥梁的振动控制是一种被动控制设施, 具有使用年限长、易于操作与维护、不需要外部供给能量等优点，将调整到结构一阶振型控制的范围并安装在桥梁中部。高速列车可用由车体和车轮组成的两个自由度体系模拟, 受移动荷载作用的桥梁动力响应可用考虑车辆质量影响的移动质量模型获得，为表明在跨连续梁桥中的效果, 比较了安装前后跨中竖向位移及其快速傅里叶变换的结果。

土木工程结构控制技术虽然还有许多问题需要探讨，但它的研究和应用有着诱人的前景，其巨大的经济效益和社会效益已初步得到显现。可以预见，经过广大科研工作者的不懈努力，结构控制技术以它独有的魅力在结构的防振减灾中必将发挥日益重要的作用，更好地造福于人类。

1.5 本研究的目的、意义和研究内容

1.5.1 本研究的目的、意义

考虑车速、路面不平顺、阻尼比等因素对系统的影响，研究车桥耦合系统的随机振动响8

南京航空航天大学硕士学位论文

应，并应用线性二次高斯随机最优控制（LQG）和调谐质量阻尼器（TMD）分别对车辆和桥梁竖向响应进行控制，并比较控制效果，找出最有效的控制方法。通过数值模拟对车桥耦合系统动力响应及对其控制进行全面的讨论分析，获得了车桥耦合系统随机动力响应规律及对其有效的控制方法，可为同类问题的进一步研究提供参考。

1.5.2 本文的研究内容

本文大致可划分为以下三部分内容：

（1）在阅读了大量有关公路桥梁车桥耦合系统振动的文献基础上，对公路桥梁车辆耦合系统振动的研究现状进行了总结。然后分别总结了桥梁和车辆模型的计算和分析理论，并给出本文所应用的振动微分方程的数值积分法——Runge-Kutta数值积分法和Gauss积分公式的原理及其计算公式，且将其应用于各种车桥耦合系统模型的动力响应特征的分析。本文考虑随机路面不平顺对车桥耦合系统的影响，在该部分论述了随机路面不平顺模型的发展历程，并给出本文所应用的随机路面不平顺模型。

（2）在深入理解文献的基础上，考虑随机路面不平顺，推导了四分之一车辆-桥梁耦合系统模型的振动微分方程，自行编写了用于求解公路桥梁车辆耦合系统动力响应问题的计算程序。在此基础上结合图例，分别就车速、阻尼以及路面不平顺等因素对桥梁动力响应的影响进行了分析。

（3）根据随机最优控制理论，分别论述了白噪声作用下的状态响应、随机最优状态调节器和随机最优输出调节器，并由此推导了应用随机最优输出调节器的车桥耦合系统振动微分方程，通过算例分析随机最优控制对系统竖向方差响应的控制效果；然后给出在桥梁上应用调谐质量阻尼器的系统模型，通过数值模拟比较并分析了该两种控制效果。

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公路桥梁车辆耦合系统随机动力响应分析及其随机控制研究

10 第二章 车桥耦合系统动力响应研究理论及其影响因素分析

2.1 引言

车辆桥梁耦合振动研究主要源于两方面：首先是高速运行的车辆通过桥梁时，由于车辆自身各旋转部分的作用，桥面不平顺、汽车的速度等影响，会引起车辆弹簧上部由车身及装载货物所构成的悬挂质量的振动，并通过具有一定弹性与阻尼作用的轮胎的传递，将时变(随机)激振荷载作用于桥面，这些动力作用将引起桥跨结构的随机振动，从而使桥梁构件产生疲劳，降低其强度和稳定性，直接影响其工作状态和使用寿命。当车辆的动力变化频率与桥跨结构的自振频率相等或接近时，引起的共振会使车桥动力响应加剧，甚至产生意外的破坏；其次，桥梁的振动又会对运行车辆的平稳性和安全性以及行车舒适性产生影响。

基于此前提，本文以Bernoulli-Euler 梁为桥梁模型，本章将介绍梁的自由振动，以分析梁的固有振型和固有频率。并给出车桥耦合系统动力响应的数值计算方法，对各种车辆-桥梁模型进行介绍和数值计算分析。桥面不平顺作为影响车桥耦合系统振动的主要因素之一，本章对其发展和各阶段的模型进行简要总结。

2.2 梁的竖向固有振动

桥梁的结构形式、构件尺寸、材料特性(如弹性模量、剪切模量和材料比重)等因素决定了桥梁结构的刚度和质量[47]，在研究梁的竖向固有振动中，梁的主要变形是弯曲变形，在低

频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响，即Bernoulli-Euler 梁[48][49]，

如图2-1所示，对于均匀材料的等截面直梁，设其长度为L ，横截面积为A ，材料弹性模量为E ，密度为ρ，截面关于中性轴的惯性矩为I 。取梁轴线为x 轴，设零点在梁的左端处，y 轴向下为正且为截面的对称轴。用(,)Y x t 表示坐标为x 的截面中性轴在时刻t 的竖向位移。基本假定如下:

(1) 在弹性限度内，梁的变形微小；

(2) 仅考虑弯曲变形，忽略剪切变形的影响；

(3) 忽略阻尼的影响。

图2- 1

梁模型

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11

图2- 2 梁微段

沿梁长截取微段dx ，受力如图2-2所示，可得动力平衡方程

22Q Y A x t

ρ??=?? （2.2-1） 式中Q 为剪力； 沿梁微段转动方向诸力矩相平衡有

22M Y Q EI x x x ?????==????????

（2.2-2） 其中M 为力矩；EI 为梁的抗弯刚度； 将式（2.2-2）代入式（2.2-1）可得单跨桥梁动力平衡方程为：

42420Y Y EI A x t

ρ??+=?? （2.2-3） 该此四阶常系数线性齐次偏微分方程可用分离变量法求解。

设梁具有如下形式的竖向固有振动：

(,)()()Y x t y x q t = （2.2-4）

其中()y x 是梁截面中性轴在x 处的竖向振动幅值函数，()q t 是描述运动规律的时间函数。将其代入式（2.2-3）并整理得

(4)()()()

()EI y x q t A y x q t ρ=?&& （2.2-5） 该方程左端为x 的函数，右端为t 的函数，且x 与t 彼此独立，故方程两端必同时等于一常数。可证明该常数非负，记其为2

0ω≥。因此，式（2.2-5）分离可为两个独立的常数微分方程：

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12

(4)2

()()0

EI

y x y x

A

ω

ρ

?= （2.2-6）

2

()()0

q t q t

ω

+=

&&

解方程（2.2-6）得

1234

12

()cos sin

()cos sin

y x a x a x a ch x a sh x

q t b t b t

λλλλ

ωω

=+++

=+

（2.2-7） 其中42

EI

A

λω

ρ

=。

由简支梁的铰支边界条件：在铰支端处挠度Y与弯矩M为零可知，其边界条件为：

(0)0,(0)0;()0,()0

Y Y Y L Y L

′′′′

====

将上式代入式（2.2-7），得

1234

0,sin0,0,0

i

a a L a a

λ

====

由于

2

a≠，则等截面梁的自振频率方程为：

sin0

L

λ= （2.2-8）

解出

i

L i

λπ

=，

则可得固有频率为

(1,2)

i

i

ω==L （2.2-9） 将上式代回式（2.2-7）可得梁的固有振型：

()sin

i

i

y x x

L

π

= （2.2-10） 则方程（2.2-3）的解即梁的自由振动是由各阶固有振动的线性组合：

1

(,)()sin

i

i

i

Y x t q t x

L

π

+∞

=

=∑ （2.2-11）

本文中为处理方便，取梁的固有振型函数为正则化振型())

i

i x

y x

L

π

=。

2.3振动微分方程的数值解法

求解振动微分方程的基本方法包括解析法与数值法两大类。解析法由于数学上的困难，通常只有对一些简单的问题才能得到解析的解答，而对于多数复杂结构问题，还不能得到精确解，因此在大多数情况下都是采用数值方法来进行分析研究。

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13在进行车桥耦合系统研究中会遇到两类问题需要解决：一类是求解振动微分方程，振动微分方程是一个非线性的时变方程，求解此类问题常用的方法有直接积分法和模态叠加法，而直接积分法主要有线性加速度法、Willson -θ法、Newmark β?法和Runge-Kutta 法等。本节主要介绍Runge-Kutta 法的构造；另一类是对受随机路面不平顺影响下，需求解车桥耦合系统响应的统计特征，此时需应用时域高斯积分法。下面简要介绍这两类数值解法。

2.3.1龙格-库塔 (Runge-Kutta ) 法 [50]

龙格-库塔(Runge-Kutta )法(简称为R-K 方法)是一类高精度的一步法，该方法不是通过求导数的方法构造近似公式，而是通过计算不同点上的函数值，并对这些函数值作线性组合，构造近似公式，再把近似公式与解的泰勒展开式进行比较，使前面的若干项相同，从而使近似公式达到一定的阶数。 考虑常微分方程的初值问题

00(,),()dy f x y y x y dx

== （2.3-1） 其中(,)f x y 在区域G 适当光滑，关于y 满足局部Lipschitz 条件，从而保证初值问题的解存在且唯一，而且保证解对初值的连续依赖性。设01n x x x <<<

0n x x nh =+，(0,1,2)n =L

由向前欧拉公式可知，该方程的一个递推公式为

1(,),0,1,2n n n n y y hf x y n +=+=L （2.3-2）

用上式计算n y ，除0y 是精确值以外都是近似值，这样计算下去必然会产生积累误差。此处不考虑积累误差，仅考虑局部截断误差，假设式（2.3-2）没有误差，即()n n y y x =，则式（2.3-2）即

1()(,())n n n n y y x hf x y x +=+ （2.3-3）

计算出的1n y +与精确值1()n y x +之差11()n n y x y ++?称为式（2.3-2）的局部截断误差。据泰勒公式有

2

'

''31()()()()()2n n n n h y x y x hy x y x h ο+=+++ （2.3-4） 将式（2.3-4）与式（2.3-3）相减，得到

2

''3211()()()()2

n n n h y x y y x h h οο++?=+≈ （2.3-5） 由此可见，按式（2.3-2）计算1()n y x +的局部截断误差是2

h 阶的。若一种算法的局部

公路桥梁车辆耦合系统随机动力响应分析及其随机控制研究

14 截断误差为1

()n h

ο+，则该算法具有n 阶精度。向前欧拉公式的精度为一阶。

同样向后欧拉公式

111(,),0,1,2n n n n y y hf x y n +++=+=L （2.3-6）

其精度也为一阶。

通过将向前欧拉公式与向后欧拉公式折中处理，可得到梯形公式：

[]111(,)(,),0,1,22

n n n n n n h

y y f x y f x y n +++=+

+=L 且研究可知梯形公式的局部截断误差为3

()h ο，具有二阶精度。 从而得到改进的欧拉公式：

[]1211112(,)(,)2

n n n n n n k f x y k f x y h

y y k k +++===+

+ （2.3-7）

改变上式在区间[]1,n n x x +上选点的方式并对(,)f x y 所选点的值采用加权平均代替算术平均就可以得到更一般的形式：

[]1211122(,)

(,)

,0,1

n n n n n n k f x y k f x h y h y y h k k αβλλαβ+==++=++<< （2.3-8）

其中加权系数12,λλ和选点调节系数,αβ都是待定系数。为使截断误差为3

()h ο，需系数满足以下条件：

1221,1,2αβλλλα=+== （2.3-9）

即得二阶龙格-库塔公式。而改进的欧拉公式是取1211

,22

λλ==，1αβ==的特殊情

形。

以类似的方法，可得到四阶龙格-库塔公式：

()112234311234(,)

(,)

22(,22

(,)226

n n n n n n n n n n k f x y hk h

k f x y hk

h k f x y k f x h y hk h

y y k k k k +==++=++=++=+

+++ （2.3-10）

本文主要采用四阶龙格-库塔公式对振动微分方程以及Riccati 方程进行数值求解计算。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/39le.html