（工二） 2-2 复数的四则运算

數學科試卷 單元：

老師： 班級： 姓名： 座號：

一. 單一選擇題 (每題 ０ 分) 1、( D ) 設解析：(Ｄ)

4?3i2?5i4?3i2329?a?bi，則a?b?2929(8?15)?(6?20)i(Ａ)

37 (Ｂ)

23 (Ｃ)

142?5i?(4?3i)(2?5i)(2?5i)(2?5i)1429?4?25929292314??i2929 (Ｄ)

929

∴a?

2、( B ) 將

,b??，故a?b?

17254?3i3?4i(Ｃ)a?0化為a?bi的形式，a,b為實數，則下列何者錯誤？(Ａ)a?b? (Ｄ)b?0

?(12?12)?(9?16)i9?16?2425?725i

(4?3i)(3?4i)(3?4i)(3?4i)725 (Ｂ)a?b?2

解析：(Ｂ)原式? ∴a?2425,b??，故(Ｂ) a?b?2錯誤。

3、( A ) 設a,b皆為實數，且方程式x2?ax?b?0有一根為1?2i，求a,b之值(Ａ)a??2,b?5

(Ｂ)a?2,b?5 (Ｃ)a?0,b?5 (Ｄ)a??1,b?5

解析：(Ａ)設??1?2i，則另一根??1?2i

????(1?2i)?(1?2i)?2??a?a??2 ???(1?2i)(1?2i)?1?4i2?5?b?b?5

4、( A ) 設i??1，則i99?(Ａ)?i (Ｂ)i (Ｃ)?1 (Ｄ)1 解析：(Ａ)i99?(i4)24?i3?124?(?i)??i

5、( B ) 設i?(Ｄ)

解析：(Ｂ)z?8?1，若z??i2?3i2i151320?i，則z的共軛複數為(Ａ)?58i5 (Ｂ)?85?i5 (Ｃ)?85?i5

552?3i

?(2?3i)(?1?2i)(?1?2i)(?1?2i)??8?i5?1?2i, ∴z??85?i5

6、( C ) 設x?y且(x?yi)2?21?20i，則x?(Ａ)1 (Ｂ)3 (Ｃ)5 (Ｄ)?2 解析：(Ｃ)(x?yi)2?x2?2xyi?y2?(x2?y2)?2xyi

?x2?y2?21得x?5,y??2 ?xy??10?

0171510?3i?5i?i?a?bi， 7、( A ) 設i??1，且i2其中a,b為實數，則a?b之值為(Ａ)?8 (Ｂ)?7

(Ｃ)?6 (Ｄ)?5

解析：(Ａ)i20?3i17?5i15?i10?1?3i?5i?1??8i ∴a?0,b??8，故a?b??8

8、( D ) 設i??1，則(1?i)4(1?i)4之值為(Ａ)256 (Ｂ)64 (Ｃ)32 (Ｄ)16 解析：(Ｄ)(1?i)4(1?i)4?[(1?i)(1?i)]4?(1?1)4?16

9、( C ) 關於複係數方程式2x3?ix2?2x?i?0的解，下列敘述何者正確？(Ａ)含三虛根 (Ｂ)

含一實根，二虛根 (Ｃ)含二實根，一虛根 (Ｄ)含三實根

解析：(Ｃ)原式?(2x3?2x)?i(x2?1)?0

?2x(x2?1)?i(x2?1)?0?(x2?1)(2x?i)?0 ∴x?1,?1,

10、( D ) 設i?1?2i1?i(1?i)(1?2i)?1?3i解析：(Ｄ)??1?2i(1?2i)(1?2i)5i2

1?i?1，則複數()2的實部為(Ａ)

825?625125 (Ｂ)

625 (Ｃ)?625 (Ｄ)?825

(1?i1?2i)?(8252?1?3i5)?2(1?9)?6i25??i

實部為?。

11、( D ) i??1，若(2?i)2?(1?3i)2?a?bi，則(Ａ)a?2b (Ｂ)2a?b (Ｃ)a??2b

(Ｄ)2a??b

解析：(Ｄ)原式?(4?4i?i2)?(1?6i?9i2)?a?bi ?a?bi??5?10i，即a??5,b?10

12、( A ) f(x)?解析：(Ａ)

13、( A ) 已知i?解析：(Ａ)

1?3i1?i?5i?x55(2?i)5(2?i)f(2)????2?i

2?i(2?i)(2?i)5，其中i??1，則f(f(2))之值為(Ａ)

52 (Ｂ) (Ｃ)

3554 (Ｄ)1

f(f(2))?f(2?i)?5i?(2?i)?52

1?3i1?i?1，且a、b為實數，若(1?3i)(1?i)(1?i)(1?i)??2?4i2?a?bi，則a + b =？(Ａ)?3 (Ｂ)?1 (Ｃ)1 (Ｄ)3

??1?(?2)i?a?bi?a??1,b??2

故a?b??1?2??3

14、( B ) 設解析：(Ｂ)

3?i2i3?i2i?a?bi，其中?12(3?i)i2i?i32?a,b為實數且i???12?1232i 32??2?1，則a?b之值為(Ａ)?1 (Ｂ)?2 (Ｃ)?3 (Ｄ)?4

3i?1?2 ∴a??

,b??，故a?b???

15、( C ) 設複數z?解析：(Ｃ)z?1?i1?i1?i1?i，則z的共軛複數z?(Ａ)1 (Ｂ)?1 (Ｃ)i (Ｄ)?i

2?(1?i)(1?i)(1?i)?1?2i?i1?12??i

∴z?i

16、( C ) (1?i)2(Ａ)2?2i (Ｂ)?2i (Ｃ)2i (Ｄ)2 解析：(Ｃ)(1?i)2?1?2i?i2?1?2i?1?2i

17、( B ) 設複數z的虛部為2，的實部為，則z?(Ａ)1?2i (Ｂ)2?2i (Ｃ)3?2i (Ｄ)4?2i

z411解析：(Ｂ)設z?a?2i

1z?1a?2i1z?a?2i(a?2i)(a?2i)1aa?42??a?2ia?4142

2 因為的實部為?4?a?4a?4?0

?(a?2)2?0，得a?2，故z?2?2i

18、( C ) 化簡(1?i1?i1?i1?i21?2i?11?i2)???1，同理()??1 解析：(Ｃ)(1?i1?2i?11?i 故原式??2

)?(21?i)?2(Ａ)0 (Ｂ)2 (Ｃ)?2 (Ｄ)i

19、( A ) 設i??1，則i21?i22?i23???i105之值為(Ａ)i (Ｂ)?i (Ｃ)1 (Ｄ)?1 解析：(Ａ)原式?21(i?i2?i3?i4)?i105?21?0?i?i

二. 填充題 (每題 ０ 分) 1、設z?4?3i，則答案：

4?31z?_______。

i

2525114?3i43解析：????i

z4?3i(4?3i)(4?3i)2525 2、展開(2??8)2?_______。

答案：?6?8i

解析：原式?2?22?8i?(?8)??6?8i

3、設x為實數，若(x?i)2表一實數，則x?_______。 答案：0

解析：(x?i)2?x2?2xi?i2

?(x2?1)?2xi為實數，故其虛部為0 即2x?0?x?0

4、設i?答案：?1 解析：

1?i1?i?1，則(1?i1?i2)30?_______。

?(1?i)(1?i)(1?i))30??i

?i30 ?(1?i1?i?(?i)30?i4?7?2?i??1

2 5、設z1?7?3i,z2?4?3i，求(1)z1?z2?_______, (2)z1?z2?_______。 答案：(1)11 (2)3?6i

解析：(1)z1?z2?(7?3i)?(4?3i)?11 (2)z1?z2?(7?3i)?(4?3i)?3?6i 6、求2i?8i?18i?_______。 答案：0

解析：原式?2i?22i?32i?0 7、設i?答案：?解析：

71691?1，若15?12i?a?bi，且a,b為實數，則a?b?_______。

?5?12i(5?12i)(5?12i)5169?12169??71695?12i?5?12i25?144?5169?12169i

a?b?

8、設z?7?3i，則z2?_______。 答案：40?42i

解析：z2?(7?3i)2?49?42i?9i2?40?42i 9、計算：(答案：?1101?8)(i?2)(25i)?_______。

122?i22i5i?110i2解析：原式???110

10、化簡：i11?2i22?3i33?4i44?5i55?_______。 答案：?6?7i

解析：原式?(?i)?(?2)?(3i)?(4)?(?5i)??6?7i 11、設z?cos??isin?，求答案：cos??isin? 解析：

1z?cos??isin?(cos??isin?)(cos??isin?)1z21z?_______。

cos??isin?cos??sin?22??cos??isin?

12、設z?1?i，求答案：?

?_______。

i2

解析：

1z2?1(1?i)2?11?2i?i2?12i?i2i?i??i2

z1z2?_______。

13、設z1?7?3i,z2?4?3i，求(1)z1?z2?_______, (2)答案：(1)37?9i (2)

1925?3325i

解析：(1)z1?z2?(7?3i)(4?3i)?(28?9)?(12?21)i?37?9i (2)

z1z2?(7?3i)(4?3i)(4?3i)(4?3i)?(28?9)?(12?21)i16?91z12?1925?2325i

14、設z為複數，z的虛部為1，且答案：1?i

解析：設z?a?i

1z?1a?iaa?12的實部為，則z?_______。

??a?i(a?i)(a?i)122?a?ia?122，其實部為

21 即?a?1?2a?a?2a?1?0

?(a?1)2?0?a?1，故z?1?i

15、方程式x3?3x2?mx?n?0，m,n均為實數，若方程式有一虛根2i，則m?n?_______。 答案：?8

解析：將2i代入方程式?8i3?12i2?2mi?n?0

?(12?n)?(?8?2m)i?0，即12?n?0且?8?2m?0 得n??12,m?4，故m?n??12?4??8 16、設k為實數，若方程式x2?kx?5?0有一根為答案：?2 解析：

i?3i?1?(i?3)(i?1)(i?1)(i?1)?(3?1)?(1?3)i?2??1?2i

i?3i?1，則k?_______。

而另一根必為?1?2i，由根與係數之關係 (?1?2i)?(?1?2i)?k?k??2

三. 計算與證明題 (每題 ０ 分)

1、設f(x)?x3?3x?1，求f(2?i)之值。 答案：f(2?i)?(2?i)3?3(2?i)?1 ?8?3?22i?3?2?i2?i3?6?3i?1 ?7?14i 2、設a,b為實數，若

1?3ia?bi1?3i(1?3i)(1?i)(1?3)?(1?3)i答案：原式?a?bi???1?i(1?i)(1?i)1?1?1?i，求a,b之值。

??2?4i2??1?2i，故得a??1,b?2

3、設a為實數，若方程式3x2?(a?i)x?2i?0有實根，求a之值。

答案：設3x2?(a?i)x?2i?0之實根為? ?3?2?(a?i)??2i?0

?(3?2?a?)?(??2)i?0，即3?2?a??0且??2?0 解得???2,a?6

4、對任一複數z，試證：z的實部?1z1212(z?z)

答案：設複數z?a?bi，a,b為實數，且z的實部為a

(z?z)?[(a?bi)?(a?bi)]?12?2a?a，故得證。

5、設z1?2?3i,z2?3?2i，求(1)z1?z1, (2)z1?z1?z2?z2 答案：(1)z1?z1?(2?3i)?(2?3i)?(2?3i)?(2?3i)?4

(2)z1?z1?z2?z2?(2?3i)?(2?3i)?(3?2i)(3?2i)?(4?9)?(9?4)?26

6、設i??1，若f(x)?x4?2x3?5x2?6x?4，求f(2?i)之值。 答案：設x?2?i?(x?2)2?i2??1?x2?4x?5?0

f(x)?x4?2x3?5x2?6x?4?(x2?4x?5)(x2?6x?14)?(20x?66) f(2?i)?20(2?i)?66??26?20i

7、設複數z1的虛部為2，z2的實部為3，且z1?z2之實部為4，z1?z2之虛部為10，求z1及z2。 答案：依題意設z1?a?zi, z2?3?bi

z1?z2?(a?2i)?(3?bi)?(a?3)?(2?b)i，其實部為4，即a?1 z1?z2?(a?2i)?(3?bi)?(3a?2b)?(6?ab)i，其虛部為10 即6?ab?10?ab?4 ∴b?4 故z1?1?2i,z2?3?4i 8、設f(x)?x100?x50?1，則求f(?答案：(?

1?i)?21?i2)之值。

2i250f(?21?i2?i ?i25)?i?1??1?i?1?i

z?1z?1 9、設一複數z的實部及虛部分別為x與y，試以x,y表示答案：z?x?yi

z?1z?12的實部與虛部。

?(x?1)?yi(x?1)?yi2?[(x?1)?yi][(x?1)?yi][(x?1)?yi][(x?1)?yi]?x?y?1x?y?2x?122222

?2yi

?(x?1?y)?(?2y)i(x?1)?yz?1z?1222?x?y?2x?122 故的實部為

x?y?1x?y?2x?122，虛部為

?2yx?y?2x?122。

10、計算：i103?i104?i105???i201之值。

答案：原式(i3?i4?i?i2)?24?i199?i200?i201?0?24?(?i)?1?i?1

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