向量法证明几何命题

毕 业 论 文

论文题目 向量法证明初等几何命题 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2011级 学 号 201124081124 学生姓名 陈平 指导教师 张峰 完成时间 2015 年 4 月

肇庆学院教务处制

向量法证明初等几何命题

陈平

摘 要 本文使用向量的数量积，向量积，混合积证明一些初等几何的命题．例如，勾股定理，余弦定理，海伦公式．

关键词 初等几何；数量积；向量积；混合积

1引言

向量这个名词对于大家来说并不陌生，在高中的教材中已经接触了不少向量的内容．在力学、物理学已及日常生活中，咱们常常遇到很多的量，譬如像温度、时间、质量、密度、功、长度、面积与体积等，这些量在规定的单位下，都可以由一个数来完全确定，这种只有大小的量叫做数量．其余又有一些比较复杂的量，比方像位移、力、速度、加速度等，他们不仅有大小，而且还有方向，这类量便是向量．

向量最初被应用于物理学．不少物理量如力，速度，位移一集电场强度，磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个了的组合作用可用著名的平行四边形则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有想线段．最早使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿． 从数学发展历史来看，历史上很长一段时间内，空间的向量结构并未被数学家们所了解，直到19世纪未20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算关联起来，使向量成为具备一套优良运算通性的数学体制．

向量可以进入数学并得到发展，最初使用于复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔初次使用坐标平面上的点来表示复数a?bi（a、b为有理数，且不同时等于0），把坐标平面上的点用向量表示出来，并使用拥有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并用向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐渐接受了复数，也学会了利用复数来表述和研究平面中的向量，向量就这样平静地投入了数学中．

因为向量法证明许多几何命题都是比较简化，所以许多命题都有向量法去证明，许多学生因为学习了向量，从而激发他们的兴趣，在许多熟悉的问题上都想向量法去证明，但他们不清楚不了解向量法的基本思路和证明技巧，不仅仅学生，甚至老师也有时候还是用比较繁琐的方法去证明初等几何命题．

本论文主要介绍向量的基本运算法则，还有对几个经典的问题进行证明，分别用一般的方法和向量法对一些初等的几何命题进行证明，然后作对比，比较一下向量法和一般的方法有什么不一样，看看哪一种方法更加简捷和实用．

2结果与讨论

2．1向量的基本运算[1]

1

如图1． 图1 向量的基本运算图 向量的加法运算： AB?BC?AC，a?b?b?a，a?0?a，a?(?a)?0，(a?b)?c?a?(b?c)． 向量的减法运算： AB?AC?BC． 向量的乘法运算： 1?a?a，?(?a)?(??)a，(???)a??a??a，?(a?b)??a??b． 向量的数量积： a?b?a?bcos?(a,b)． 当两个向量垂直有： a?b?a?bsin?(a,b)． 向量的混合积： (a,b,c)?(a?b)?c．

2．2用向量法证明几何定理 例1

[1]

勾股定理的证明：三角形ABC中，已知?B?90，证AB?BC?AC．

222 A

B C

图2 例1图2

证明 由AB?BC?AC，两边平方得AB?BC去掉括号，得

22 ??2?AC，

22AB?BC?2AB?BC?AC，

即

AB?BC?ABBCcosB?AC，

因为

cosB?cos90?0，

222故

AB?BC?AC，

2

222

得证．

例2[2] 余弦定理的证明：三角形任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍． 即

a2?b2?c2?2bccosA, b2?a2?c2?2accosB, c2?a2?b2?2abcosC,

图3 例2图3

证明 在?ABC中，令 AB?c,AC?b,BC?a，

a?BC?BA?AC?b?c,|a|2?(b?c)2?b?2b?c?c?|b|2?2|b||c|?cosA?|c|2, 即

a2?b2?c2?2bccosA，

同理可证

c2?a2?b2?2abcosC，b2?c2?a2?2accosB，

用其他方法证明余弦定理: 22 图 4 直角三角形 图 5 锐角三角形 图 6 钝角三角形 证明 按照三角形的分类，分三种情形证明之．

(1)在Rt?ABC中，如图4 根据勾股定理：c2?a2?b2，因为cosC?0，所以c2?a2?b2?2abcosC，因为abcosB?，所以b2?a2?c2?2abcosB，因为cosA?，所以a2?b2?c2?2abcosA． cc (2)在锐角?ABC，如图5 作CD?AB于点D，有CD?asinB,BD?acosB,AD?AB?BD?C?c?acosB， 同理可证：

c2?a2?b2?2abcosC，a2?b2?c2?2bccosA． (3)在钝角?ABC中，如图6 CD?AB，交AB延长线与点D，则

CD?sin?CBD?asinB,BD?acos?CBD??acosB，

3

b2?CD2?AD2??c?acosB??a2?c2?2accosB．

2按照(2)的方法可以证明：

c2?a2?b2?2abcosC.

通过两种方法对余弦定理的证明，用向量法证明余弦定理很明显步骤少了很多，只需要用到向量的加法，再用到向量的数量积，就把定理证明出来了，对比第二种方法，要三角形分成三类再加以证明，还需要作辅助线，相对于向量法来说，复杂很多．

2．3用向量法解决平行四边形问题

例3[2] 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形． 图 7 例3图7

证明 设四边形ABCD的对角线AC，BD交于M点，且相互平分，从上图可以看出：

AB?AM?MB?DM?MC?DC,故AB//DC,且AB//DC即四边形ABCD为平行四边形．错误！未找到引用源。 其他方法的证明：

证明：因为对角线互相平分，所以AM?MC,DM?MB,因为AC与BD相交，所以?AMD??BMC，所以在?AMD与?BMC中，AM?MC,?AMD??BMC,DM?MD, 即?AMD与?BMC全等，故

AD?BC,?DAC??ACB，

因为AD//BC（内错角相等，两直线平行），从而ABCD是平行四边形．得证． 在证明过程中，用向量法证明的话只需用到一个向量的简单加法，就可以直接证明命题，但在普通的方法中，先要证明两个三角形全等，证明三角形全等需要用到几个步骤，才可得到两直线平行，而且垂直，虽然步骤不算太多，但显然比用向量法证明费时费力，但因为很多学生对向量的运算不熟练，所以选择用三角形全等的方法去证明，所以我还是建议大家去熟悉一下向量的性质，对一些简单和复杂的几何命题证明还是很有帮助的，可以大大节省证明步骤，而且思路比较简单，一下子把整个题目证明出来．

例4[3] 试用向量法证明：平行四边形对角线的平方和等于它个边的平方和．

图8 例4图8

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/39af.html