利用几何知识求函数最值

利用几何知识求函数最值

数学与应用数学专业2011级 艾 英

摘要：解析几何是用代数研究几何，反过来，若能根据代数问题的结构特征，联想几何背景，建立解几模型，然后再利用解析几何的有关公式、性质、图形特征、位置关系探求解法。这对于开拓思路，提高和培养分析问题、解决问题的能力大有裨益。在下面我们就来探讨当所给函数具有某种几何意义时，求函数的最值采用建立解析几何基本模型的方法，把函数的最值转化为求两点间的距离，两点连线的斜率，点到直线的距离，直线的截距，定比分点公式，二次曲线等。通过上面的方法使我们在解决某些用代数方法解决函数最值中相当繁琐的问题简化。使解题变得更轻松。

关键字；解析几何；函数；最值；

Geometric kowledge seeking the most value function

Ludengrong

School of Mathematics, Mathematics and Information and Applied Mathematics 2006 Instructor: Zhang Sanhua

Abstract: Algebraic geometry analytic geometry is, in turn, if the problem under the algebraic structure of, Lenovo geometric background, the establishment of several model solution, and then use the formula of analytic geometry, nature, graphic features, location, relationship to explore solution. This will explore new ideas, improve and develop analyze and solve the problem of capacity boost. We're going to explore in the following when the function has a geometric meaning to, the demand function, the value of using the most basic model established method of analytic geometry, the

function of finding the best value of the distance between two points, two points to connect the slope of the , points to a straight line, straight line of intercept,Fixed point formula for the score, the second curve. Through the above approach allows us to use algebraic methods to solve some of the best value solution functions simplify the problem very complicated. Make problem solving easier. Keywords; analytic geometry; function; the most value;

1.1数形结合的现状 在修订的《高中数学教学大纲》中明确指出数学思想方法是数学知识的重要 组成部分。所谓数学思想方法是指人们对数学知识内容的本质认识，对所使用的 方法和规律的理性认识。数学思想方法是人们从某些具体教学内容和对数学的认 识过程中抽象概括出的观点，再运用到数学研究中证明其正确性。它具有普遍的指导意义和相对稳定的特征，是研究数学理论和运用数学解决实际问题的指导思想。主要包括：化归思想方法，数形结合思想方法，类比思想方法，构造思想方法，公理化思想方法，归纳与猜想，函数与方程思想方法等。 高考中，在突出考查基础知识，基本能力的基础上，命题深化了能力立意，注重了对如数形结合的数学思想方法的考察。仅以08年全国各省市的高考题来说，每一套题中都涉及了运用数形结合使解题更加简洁直观，由此可见数形结合是一种非常重要的数学思想方法应用于中学数学和中学数学解题，应当掌握。 1.2数形结合的意义 数和形是事物的数学特征的相互联系的侧面，通常数量关系和空间形式之间的辩证统一。关于数形结合，我国著名数学家华罗庚教授曾写过一首寓意深刻的小诗： 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞； 数无形时少直觉，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事休； 切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离。 数形结合是数学发展史上质的飞跃，它是数学发展中的转折点，它经历了漫长的发展过程，并为几何学的发展注入了新的活力，增添了崭新的内容。数形结合思想给数学研究带来了新的启示。例如，数学家把点与数对应，曲线与方程对应的思想进一步推广，提出函数与点，函数集与空间相对应的思想，在此基础上创立了泛函分析这一新的数学分支。著名数学家拉格朗日指出：代数与几何在各自的道路上前进时，他们的进展是缓慢的，应用也很有限但当这两门学科结合起来后，它们各自从对方汲取新鲜的活力，从此，便以很快的速度向着完美的境地飞跑。数形结合是一个重要的数学思想和一柄双刃的解题利剑。 数和形的统一给我们以很大的启示：其一，世界上任何事物都有联系，有的联系是直接的，有的联系是间接的，所谓“风马牛不相及”之说是不正确的。客观世界是一个普遍联系的整体，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各种方式相互依赖着，相互制约着，相互作用着。例如，解析几何是由代数和几何，数和形两方面的联系、变化、发展而来的。

几何图形的研究，要借助于代数对方程的研究。其二，愈是对立的东西就愈是以对方为自己存在的依据，无“大”便没有“小”，无“上”便没有“下”，没有逻辑思维便没有非逻辑思维，没有抽象便没有形象。其三，抽象思维与形象思维如同人的左右手，相互配合，目标一致，缺一不可。对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏听偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。可以提高学生的能力。 第二章 数形结合含义

2.1数形结合的含义 数的产生与发展跟图形的研究是分不开的。 17世纪以前，对形的研究与对数的研究作为对立着的两个研究对象，几何和代数自立门户，各自发展，“井水不犯河水”。随着近代科学技术的发展，人们在度量长度、面积、体积的过程中要求几何和代数“联姻”，统一形和数。17世纪中叶前期，法国数学家迪卡尔以坐标为桥梁，在点与数对，曲线与方程之间建立起对应关系，用代数形式来研究几何问题，产生将数、形统一的思想。形和数的统一使解析几何问世，解析几何把几何和代数结合起来，几何概念可以用代数方式表示，几何的目标可通过代数达到；反过来，给代数语言以几何解释，使代数语言变得直观，易于理解。 其实，在数学发展过程中，数和形常常结合在一起（数具有概括性、抽象性的特点，形具有直观化、形象化的特点），内容上相互渗透，方法上相互联系，在一定条件下相互转化。数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系，特别在初等数学中，数量和几何图形是被研究得最多的对象之一。正是基于对数量和几何图形的抽象研究，使人们能够从不同的角度认识客观世界。因而数形结合是一种极富数学特点的信息转换。许多数量关系方面的抽象概念和解析式，若赋之以几何意义，往往变得非常直观形象，并使一些关系明朗化、简单化；而一些图形的性质，又可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题代数化，以数助形，用代数的方法使问题得到解决。这种将数与形融为一体考虑问题的策略称为数形结合。其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，发挥数与形两种信息的转换及优势互补与整合。 数形结合是直观思维原则派生的数学思想方法。它要求我们考虑问题时数、形兼顾，以便将直观性与抽象性有机的结合起来，从而使我们的认识更加全面、深刻。数学上总是用数量的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数量的抽象关系。所以有“数缺形时少直观，形少数时难入微”—华罗庚。 3.1利用几何知识求函数最值的意义

通过几何方法使我们在讨论和解决函数最值的过程中，不在只是依赖代数的方法，使我们在解决一类用代数方法相当繁琐的时候，让我们找到了一条简便的、形象的、生动的、灵活的方法。使我们的思维不仅仅只局限在了代数上，以及使我们所学的知识在能够相互穿插，相互促进。不在把思想局限在单一的学科。开阔视野、拓展思维的同时将我们所遇到的问题简便化。培养学生一种联系的思想，不只是学科的联系啊，同时上升到书本知识与实际生活联系的范畴，让学生培养一种发展的眼光，看待问题的方式。

通过下面我们所讲述的方法，把函数的最值转化为求两点间的距离，两点连线

的斜率，点到直线的距离，直线的截距，定比分点公式，二次曲线等 1.利用形如y?ax2?bx?c的二次函数求最值时，常采用配方法。

其目的是求出抛物线的顶点坐标：

b4ac?b2（1） 若a>0 , 则当x=?时，ymin=

2a4ab4ac?b2（2） 若a<0 , 则当x=?时，ymax=

2a4a例1.求函数f(x)?x4?3x2?6x?13?x4?x2?1 解：原式可化为f(x)?所以f(x)是抛物线y知:

(x2?2)2?(x?3)2?(x2?1)2?(x?0)2 ?x2上的点p(x, x2)到A( 3 , 2 ) , B( 0 , 1 )的距离之差，由图可

所以P在AB延长线与

交点

处时

x2y2?1上求出使到点M（2,0）的最近点和最远点的坐标。 例2，在椭圆?916解：显然M（2,0）不在椭圆上，设椭圆上一点N (x0,y0)则有：

x02y02??1 因为：L?((x0?2)?y0

91622718176所以：L??(x0?)2?

997于是，当x0=?18477 时，Lmax?79又因为x0?3 所以Lmin=1 故椭圆上离M店最远的坐标为（?18477） ，?79 椭圆上离点M最近的坐标为（3，0）

注：本例表明，运用配方法必须注意定义域的确定，上例x0<=3的隐含条件不可武士，这种注意隐含条件的思想应贯穿于最值的其他方法之中。 2. 借助点到直线的距离公式

设P(x0,y0)是直线ax2?by?c?0外一点，则P到直线的距离不大于P与直线上

任一点的距离，即ax0?by0?ca2?b2巧妙的运用点到直线的这一关系可使许多运用纯代数的方法做起来不叫复杂的题目轻松的求得结果。

例3. 求u?2t?24?(t?2)2?7的最值。 解：令

?(x?x0)2?(y?y0)2，这是大家都熟知的结论，

消元整理得：(x?2)?y?4，（y?0）

22所以2x?2y?72?(?2)22半圆(x?2)?y?4（y?0）上的点到直线

22的距离，

由解析几何知识知：

所以u的最大值为15，最小值为11?42。 注：本题也可用三角设参法求解（设t?2?2sin?,?做一比较。

?2????2），读者不妨对两种解法

例4．已知复数z1?x?5?yi,z2?x?5?yi(x,y?R)且z1?z2?6，求

f(x,y)?2x?3y?12的最值。

分析：由z1?z2?6可把条件转化为(x?5)2?y2?(x?5)2?y2?6，

x2y2x2y2?1，求f(x,y)?2x?3y?12的最值问题就转化为在椭圆??1上即?9494求一点到直线2x?3y?12?0的距离最大（或最小）。

解：由z1?z2?6且x?5?yi，z2?x?5?yi 可知(x,y)为椭圆上一点。

x2y2?1与直线2x?3y?12?0 建立直角坐标系，作出椭圆?94

x2y2?1相切是，切点到直线由图所示显然可得当直线2x?3y?m?0与椭圆?942x?3y?12?0的距离最大或最小。它等于直线2x?3y?m?0与直线

椭圆相切得??0

??2x?3y?m?02x?3y?12?0见的距离。?x2y2，得8x2?4mx?m2?36?0，又由直线与

??9?4?1 即(4m)2?4?8(m2?36)?0，解得m??62、

所以dmax??12?622?(?3)22

dmin??12?622?(?3)22

所以f(x,y)max?13dmax?12?62，f(x,y)min?13dmin?12?62 评述：当目标函数形如f(x,y)?ax?by?c22a?b解，但在求解时要注意最后可能要乘以一个倍数。

时，可建立点到直线的距离模型来求

例4．求y?2t2?(2sin??2cos??4)t?4sin??5，(t,??R)的最小值。

分析：所要求的二元函数中的两个变量 t，?之间没有任何关系，但仔细观察函数发现此二元函数正好可以配成(cos??t)2?(sin??2?t)2，根据此形式联想到两点间的距离公式，问题转化为求两点之间距离的最小值。

解：如下图建立直角坐标系xoy，设圆o:?x?cos?y?sin?，???0,2??及直线

l:x?y?2

则y?2t2?(2sin??2cos??4)t?4sin?5= (cos??t)2?(sin??2?t)2可以看

成圆O上一点A?cos?,sin??与直线上一点B?x,x?2?之间距离的平方。 作圆O:x2?y2?1以及直线l:x?y?2，过点O作OB?l于点B，OB交圆于点A如图所示，圆O上点到直线距离的最小值是： AB?OB?OA????0?0?21?122?1?2?1

故最小值是

?2?1即3?22，即ymin?3?22 ?2评述:当目标函数的形式为f(x,y)?(x?a)2?(y?b)2时，可以从它的结构特征类比想到两点之间的距离公式，从而把求最值问题转化为求两点之间距离的最值问题。

3. 利用平行线间的距离公式

例5. 已知x,y,a,b?R且a?2b?4?1，x?2y?1,求(a?x)?(b?y)的最小值。 解：已知条件可视为点(a,b)(a?x)?(b?y)可视为点(a,b)与(x,y)之间的距离的平方，

在直线l1:x?2y?4?1上，点(x,y)在l2:x?2y?1?0上，则有l1//l2。显然平行直线上任意两点间的距离不小于这两平行线间的距离5，所以(a?x)?(b?y)的最小值为5。 4. 利用两点连线的斜率模型

222222y1?y2是平面几何公式中常用的公式之一。若已知一丁点，又x1?x2知直线上另一点为某曲线上的动点，则可以根据动点的范围来确定直线斜率的范

直线的斜率公式k?围，所以若能把所求目标函数建立直线的斜率模型，可以通过求直线斜率的最值巧妙的球得函数的最值。

例5. 求y?1?sin?的最值。

2?cos?sin??(?1)所以y可视作点A?cos?,sin??与点B(?2,?1)连线的斜率，而

cos??(?2)点A的轨迹为单位圆x2?y2?1。设直线AB的斜率为k，由直线与圆的位置关系可知所以

44函数的最大值为0?k?，所以函数的最大值为，最小值为0。

33解：因为y?例6．一条河宽1kin，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4kin，今需铺

设一条电缆连线A与B．已知地下电缆的修建费是2万元每千米，水下电缆的修建费是4万元每千米．假定两岸是平行的直线(没有弯曲)，问应如何铺设电缆方向可使总施工费用达到最少?

分析：依题意作示意图(2)，电缆线由水下电缆AD与地下电缆DB两部分组成，

设?CAD??，有AD=1km,CD=tan?,AD=sec?,CB=15, DB=15?tan?,可建立三角模型。

解

：由以上分析，由A到B铺设电缆的总费用为

4?2sin??(0???)

cos?24?2sin? 所求问题即转化为求u?的最小值所对应的?值。

cos?4?2sin??sin??2?sin??2?2由u?可以联想到两点连线 的斜率公式，要求u?2cos?cos?cos?z?4sec??2tan??215?的最小值只要先求出斜率的最小值，即求A(0,2)与M(cos?,?sin?)连线的斜率的最小值再乘以2即可求得u的最小值。

如下图，建立直角坐标系xoy，作出单位圆x?y?1与点A(0,?2)

22

由图可知当直线AM与圆O相切时，AM的斜率可取得最值。则设切线的方程为

y?kx?2，因为AM与圆O相切，所以有O到切线的距离为1

即0?k?0?2k?12，求得k??3，但已知M(cos?,?sin?)，且(0????2)

所以点M只能在第四象限的一段圆弧上运动，而且当M在第四象限的圆弧上运动时，直线AM的斜率均大于0，所以当AM与圆弧相切时取得最小值． 故k?3，即?sin??2??3：求得??，故23?215 cos?6所以水下电缆应从B城(15,?3)km处向A城铺设费用最少。 3注：建立直线的斜率模型求解函数的最值，一般动点为某曲线上的点，但并不是

点可以取曲线上的任一点．所以利用直线的斜率求函数的最值时一定要明确动点在曲线上的运动范围，若不加以考虑则可能造成错解．正如该例题所示若不考虑M的运动范围，很可能会错选k??3从而造成错误的解题．所以明确动点的运动范围是用斜率来求最值必须注意的。 5．建立直线的截距模型

当知道直线的方程时，要求直线在坐标轴上的截距是很容易求出的．当函数具有几何意义，且能建立直线的截距，把求函数的最值转化为求直线截距的最值，求解将变得简捷、明了。

例7．求函数y?3(x?2)?8?x的最值。

解：令

，则

再引入变量v，使v?y?3t，则

?v??3t?y,(1)v?10?t2,(2)

视t，v为变量，则方程<1>表示斜率为?3的直线系，其中y为截距；方程<2>为四分之一圆

。

结合直线与圆的位置关系知：直线过圆上的点(0,10)时，y有最小值10，直线与圆相切时，截距y有最大值210。

例8．已知2x2?4xy?2y2?x2y2?1，求2(x?y)?xy的最大值与最小值。 分析：：约束条件中x与Y均含有二次项所以要想通过代换变为一元函数做显

得有点棘手，但对约束条件的代数形式进行变形，可以变为2(x?y)2?xy?1这时与目标函数一样同样含有x?y与xy把它们看成一个整体．就可以建立直线的纵截距模型来求解。

解：对2x2?4xy?2y2?x2y2?1进行变换转化为(x?y)2?(xy)2?1

令x?y?a，xy?b则函数(x?y)2?(xy)2?2a2?b2，再令2a?m，b?n 则已知条件就变成m?n?1，所求目标函数变成2m?n

22令2m?n?t,t的几何意义为直线与单位元相切时的纵截距如下图所示建立直角坐

标系mon，作出单位圆m?n?1与直线2m?n?t相切的图像。

22

当直线2m?n?t与单位圆m2?n2?1相切时，t的值即为最值。(0,0)到直线

2m?n?t的距离为1，得方程t(2)?122?1，所以得t??3，故2(x?y)?xy得最

大值为3，最小值为?3。

评述：一般情况下，当目标函数的关系式ax?by型，可令ax?by?c，利用直线

ax?by?c与条件式所表示的曲线有公共点时直线的纵截距的最值来解决问题。

6．利用定比分点坐标公式

ab例9．例6. 设x，y，a，b都是正数且??1，求x?y的最小值。

xy解：因为x，y，a，b都是正数且

ab??1 xy所以0?a?1 x则视0，

aaa?，1轴上三点，分0，1所成的比为?且??0，所以?，可得： xxx1??

所以x?y?1???a?(1??)b?a?b?1?a??b?a?b?2ab 所以当??a时，x?y取最小值a?b?2ab。 b7．建立二次曲线相交的模型

二次曲线是中学解析几何中相当重要的一部分内容，利用二次曲线图象的直观性来研究它们相交时的情形可以避免利用纯代数方法计算的繁琐． 例10．求函数y?x?2?3x?3的最大值。 解：设u?x?3,v?x?2 则u2?v2?1,(u?1,v?0)

所以由y?v?3u得：v?3u?y表示斜率为3，在v轴上截距为y的直线，而点（u，v）的轨迹为四分之一双曲线u2?v2?1,(u?1,v?0)，所以当直线与双曲线在第一象限相切时，不难求得y??22，再结合图形可得y??22，所以ymax??22。 例11．实数x,y适合方程x2?xy?y2?2，若k?x2?y2，则k的最大值与最小值各位多少？

分析：有坐标轴的旋转知识可知方程x2?xy?y2?2所代表的曲线为椭圆，只不过这个椭圆是由中心在点，剪掉在y轴上的椭圆绕着中心顺时针方向旋转45度后得到的。此式问题就可转化为两二次曲线想将是k的最值。 解：作出图形如下

解：设x?m?n，y?m?n，则

m2n2??1?(1) x?xy?y?2变为3m?n?2，即222222 而k?x2?y2?2(m2?n2)，即m2?n2?k?(2) 2k2的通信圆系。由图可得若两曲线有公共点，即方程（1）与方程（2）有公共解。 则方程（1）表示简单点在轴上的椭圆，方程（2）表示圆心在原点，半径为 则有

244?m2?n2?2，所以?x2?y2?4。即k的最大值为4.，最小值为 333 评述：转化是数学解题中的重要策略，转化策略作为数学思想方法，是在考虑

问题时，直接解决有困难的问题而改变思维的方向．正如该题若用纯代数的方法来做定很复杂，但若建立了两曲线相交的模型，问题就转化为两曲线相交时求k的最值．而k的值很容易从图形的直观性得知当然这就要求学生熟悉各种二次曲

线的代数表达式．解答数学问题，要善于将复杂的，陌生的问题转化为简单的，熟悉的问题，而建立解析几何基本解题模型求函数的最值，避免了繁琐的代数运算，把抽象复杂的代数问题转化成了直观、明了的几何图形，从而化繁为简、化难为易．而更为重要的是在这一转化过程中，开阔了学生的解题思路，也让学生加深刻的理解数学分支之间的内在联系与辨证关系，并将使学生的发散思维能力与创造性思维能力得到不断的提高．

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