高三理科数学小题分层练1_送分小题精准练(2)

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小题分层练(二) 送分小题精准练(2)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2018·重庆市第一中学模拟)集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，以下正确的是( )

A ．A ＝

B B ．A ∪B ＝R

C ．A ∩B ＝?

D ．2∈B

2．命题p ：若x ＜0，则ln(x ＋1)＜0；q 是p 的逆命题，则( )

A ．p 真，q 真

B ．p 真，q 假

C ．p 假，q 真

D ．p 假，q 假

3．(2018·安庆市二模)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( )

A.15－35i

B.15＋35i

C.13－i

D.13＋i

4．在R 上定义运算：x ?y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )?(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

5．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB

→＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )

A ．|b |＝1

B ．a ⊥b

C ．a ·b ＝1

D ．(4a ＋b )⊥BC

→ 6．学校艺术节对同一类的①、②、③、④四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四名同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下： 甲说：“③或④作品获得一等奖”；

乙说：“②作品获得一等奖”；

丙说：“①，④项作品未获得一等奖”；

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丁说：“③作品获得一等奖”．

若这四名同学中只有两名说的话是对的，则获得一等奖的作品是( )

A ．③

B ．②

C ．①

D ．④

7.如图16是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )

图16

A.π8

B.π16

C ．1－π8

D ．1－π16

8．(2018·安阳联考)(x 2＋3x －1)4的展开式中x 的系数为( )

A ．－4

B ．－8

C ．－12

D ．－16

9．已知点C 在直线AB 上，且平面内的任意一点O ，满足OC

→＝xOA →＋yOB →，x >0，y >0，则1x ＋1y 的最小值为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

10．执行如图17所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的值为( )

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图17

A ．3或－2

B ．2或－2

C ．3或－1

D ．－2或－1或3

11．已知D ＝??????

????(x ，y )??? x ＋y －2≤0x －y ＋2≤0

3x －y ＋6≥0，给出下列四个命题：

p 1：?(x ，y )∈D ，x ＋y ＋1≥0；p 2：?(x ，y )∈D,2x －y ＋2≤0；p 3：?(x ，y )∈D ，y ＋1x －1

≤－4；p 4：?(x ，y )∈D ，x 2＋y 2≤2.其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3

C ．p 2，p 4

D ．p 3，p 4

12．一个五位自然数a 1a 2a 3a 4a 5，a i ∈{0,1,2,3,4,5}，i ＝1,2,3,4,5，当且仅当a 1>a 2>a 3，a 3<a 4<a 5时称为“凹数”(如32 014,53 134等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为( )

A ．110

B ．137

C ．145

D ．146

二、填空题

13．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件??? x －2y －2≤0，

x －y ＋1≥0，

y ≤0，

则z ＝3x ＋2y 的最

大值为________． 14．已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

15．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概

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率为________．

16.? ????x －a x ? ??

??2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________．

习题答案

1. 答案：C

解析： [由题意，集合{y |y ＝2x ，x ∈R }＝R ，表示实数集，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }表示二次函数y ＝x 2图象上的点作为元素构成的点集，所以A ∩B ＝?，故选C.]

2. 答案：C

解析： [由题意，ln(x ＋1)＜0，所以0＜x ＋1＜1，得－1＜x ＜0，所以命题p 为假命题，又因为q 是p 的逆命题，所以命题q ：若ln(x ＋1)＜0，则x ＜0为真命题，故选C.]

3.答案：B

解析： [因为(2＋i)z ＝1－i ，所以z ＝

1－i 2＋i ＝(1－i )(2－i )5＝15－35i ，所以z 的共轭复数为15＋35i.故选B.]

4．答案：C

解析： [由题知(x －a )?(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.]

5．答案：D

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解析： [∵b ＝AC →－AB →＝BC →，∴|b |＝|BC →|＝2，故A 项错；

∵BA →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，即－2a ·b ＝2，∴a·b ＝－1，故B 、C 项都错；∵(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋b 2＝－4＋4＝0，∴(4a ＋b )⊥BC

→，故选D.] 6．

答案：B

解析： [若①为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，故不满足题意；若②为一等奖，则乙、丙说法正确，甲、丁的说法错误，故满足题意；若③为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，故不满足题意；若④为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意．故若这四名同学中只有两名说的话是对的，则获得一等奖的作品是②.]

7.

答案：C

解析： [正方形面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为82－8π，在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域

的概率为P ＝82－8π82＝1－π8，故选C.]

8．答案：C

解析： [(x 2＋3x －1)4＝(x 2＋3x )4－C 14(x 2＋3x )3＋C 24(x 2＋3x )2－C 34(x 2＋3x )＋1，

又(x 2＋3x )r 的二项式展开式的通项公式T k ＋1＝C k r (x 2)r －k (3x )k ＝C k r 3k x

2r －k ，当且仅当r ＝1，k ＝1时符合题意，(x 2＋3x －1)4的展开式中x 的系数为－C 34·3＝－12，故选C.]

9．答案：B

解析：[∵点C 在直线AB 上，故存在实数λ使得AC →＝λAB →，则OC

→＝OA →＋AC →＝OA →＋λAB →＝OA →＋λ(OB →－OA →)＝(1－λ)OA →＋λOB →，∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1.又x >0，

y >0，∴1x ＋1y ＝? ??

??1x ＋1y (x ＋y )＝2＋y x ＋x y ≥2＋2y x ·x y ＝4，当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y

＝12时等号成立，故选B.]

10.答案：A

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解析： [由题意可得本题是求分段函数f (x )＝???

－2x －3，x ≤2log 3(x 2－2x )，x ＞2

中，当f (x )＝1时x 的取值．当x ≤2时，由－2x －3＝1，解得x ＝－2.当x ＞2时，由log 3(x 2－2x )＝1，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1(舍去)．综上可得x ＝－2或x ＝

3.选A.]

11．

答案：C

解析： [因为D ＝??????

????(x ，y )??? x ＋y －2≤0x －y ＋2≤0

3x －y ＋6≥0表示的平面区域如图中阴影部分所

示，所以z 1＝x ＋y 的最小值为－2，z 2＝2x －y 的最大值为－2，z 3＝y ＋1x －1

的最小值为－3，z 4＝x 2＋y 2的最小值为2，

所以命题p 1为假命题，命题p 2为真命题，命题p 3为假命题，命题p 4为真命题，故选C.]

12．答案：D

解析：[分四种情况进行讨论：①a 3是0，a 1和a 2有C 25种排法，a 4和a 5有C 25种排

法，则五位自然数中“凹数”有C 25C 25＝100个；②a 3是1，有C 24C 24＝36个；③a 3

是2，有C 23C 23＝9个；④a 3是3，有C 22C 22＝1个．由分类加法计数原理知五位自

然数中“凹数”共有100＋36＋9＋1＝146个．]

13．

答案：6

解析： [作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A (2,0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且

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z max ＝3×2＋2×0＝6.]

14． 答案：33

解析： [由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，

|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2 ＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22

＝3－0＋1＝2.

同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.

所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|

＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12

， 解得λ＝33.]

15． 答案：15

解析：[由题意得安排4人参加公益活动，甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参

加一天，共有C 36A 33＝120种排法，其中甲连续三天参加活动的排法共有C 14A 33＝

24种排法，则所求的概率为24120＝15.]

16. 答案：－48

解析： [令x ＝1，可得? ????x －a x ? ??

??2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1, ? ????x ＋1x ? ????2x －1x 5展开式中x 4的系数，即是? ??

??2x －1x 5展开式中的x 3与x 5系数的和，? ??

??2x －1x 5展开式通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得x 3与x 5的系数分别为－80与32，原展开式x 4的系数为－80＋32＝－48.]

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