第十五章 整式的乘除与因式分解知识要点与巩固练习

第十五章 整式的乘除与因式分解

知识要点

一、幂的运算：

1、同底数幂的乘法法则：am?an?am?n（m,n都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：(a?b)2?(a?b)3?(a?b)5

2、幂的乘方法则：(am)n?amn（m,n都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(?35)2?310

幂的乘方法则可以逆用：即amn?(am)n?(an)m 如：46?(42)3?(43)2

3、积的乘方法则：(ab)n?anbn（n是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（?2x3y2z)5=(?2)5?(x3)5?(y2)5?z5??32x15y10z5

mnm?n4、同底数幂的除法法则：a?a?a（a?0,m,n都是正整数，且m?n)

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab)?(ab)?(ab)?ab

05、零指数； a?1，即任何不等于零的数的零次方等于1。

4333二、整式的乘法法则

1、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：?2xyz?3xy? 2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即m(a?b?c)?ma?mb?mc(m,a,b,c都是单项式)。如：2x(2x?3y)?3y(x?y) =

3、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 三、乘法公式

1、平方差公式：(a?b)(a?b)?a?b注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反

2223数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：(x?y?z)(x?y?z) = 2、完全平方公式：(a?b)2?a2?2ab?b2

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。 公式的变形使用：（1）a2?b2?(a?b)2?2ab?(a?b)2?2ab；

(a?b)2?(a?b)2?4ab(?a?b)2?[?(a?b)]2?(a?b)2 ；

(?a?b)2?[?(a?b)]2?(a?b)2

（2）三项式的完全平方公式： (a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc 四、整式的除法法则

1、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 如：?7a2b4m?49a2b

2、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：(am?bm?cm)?m?am?m?bm?m?cm?m?a?b?c 五、因式分解

（1）因式分解的定义：把一个多项式分解成几个整式积的形式。

（2）因式分解的要求：要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式。 （3）因式分解的步骤：

①观察多项式的各项有无公因式，若有，应先提公因式； ②若没有公因式，则尝试用公式法；

③若两种方法都不能直接分解，可根据多项式的特点适当变形后再分解。

巩固练习

一、选择题

1、下列各式中，计算正确的是（ ）

A、3a2?4a3?12a6 B、?3a2?(?4a)??12a3 C、2x3?3x2?6x5 D、(?x)2?(?x)3?x5

m?1n?12、若ab???ay2nb2m??a5b3，则m?n的值为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、-3 3、若3?5，3?4,则3A、

x2x?y等于( )

25 B、6 C、21 D、20 44、若x2?mx?15?(x?3)(x?n)，则m的值为( ) A. -5 B. 5 C. -2 D. 2 5、下列式子可以用平方差公式计算的是( )

A、(?x?1)(x?1) B、(a?b)(?a?b) C、(?x?1)(x?1) D、(?2a?b)(?2a?b) 6、 设(5a?3b)?(5a?3b)?M，则M的值是( ) A. 30ab B. 60ab C. 15ab D. 12ab 7、因式分解x?2xy?y?4的结果是（ ）

A．（x+y+2）（x+y-2） B．（x+y+4）（x+y-1） C．（x+y-4）（x+y+1） D．不能分解 8、已知(a?b)?m，(a?b)?n，则ab等于（ ）

2222221A、1?m?n? B、??m?n? C、1?m?n? D、?1?m?n?

24249、如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）

A、2?R B、4?R C、?R D、不能确定

222绿化园地 10、已知a?255,b?344,c?433,则a、b、c的大小关系是( ) A、b>c>a B、a>b>c C、c>a>b D、a

二、填空题

1、计算：(?3a3)2?a2? 2200220032004

2、( )×(1.5)÷(－1)＝______ __

33、已知：2m?a，32n?b，则23m?10n＝______ __

4、计算：(?2a)???13?a?1?? ?4?5、2x3y2与12x6y的公因式是 6、若(x?m)(x?8)展开后不含x的一次项，则m的值为

7、若x2?ax?15?(x?1)(x?15)，则a=____ 228、已知：x?2x?y?6y?10?0，则x?_________，y?_________

9、若x?2(m?3)x?16是完全平方式，则m的值等于__ ___ 10、已知x? 三、计算

（1）(3a)?(4b)?(6ab) （2）(6ab?9a)?(?3a)

（3）(x?y)?(y?2x)(y?2x) （4）[5xy(x?3xy)?(3xy)]?(5xy)

222223223322232211?3，求x2?2＝________ xx（5）?x?

??1??3??21?3x?????2x?? 4??4??8?四、因式分解

（1）x?2x?35x （2）3x?3x

（3）25(x?2y)2?4(2y?x)2 （4）x2?4xy?1?4y2

42（5）x?18x?81 （6）9x?36y

4243262

（7）(x?1)(x?3)?1

五、解答题

1、先化简，再求值：

22（1）[(x?2y)?4y?2xy]?2x，其中x?1，y?2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/38ot.html