高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题09 函数(一

第09讲：函数模型及其应用

【考纲要求】

1、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义

2、了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 【基础知识】

1、一次函数的一般形式为y?kx?b,当k?0时，函数单调递增，当k?0时，函数单调递减，当k?0时，函数是常数函数。

2、二次函数的一般形式是y?ax?bx?c(a?0)，当a?0时，函数的图像抛物线开口向

2b4ac?b2bb上，顶点坐标为(?,)，函数在(??,?)单调递减，在(?,??)单调递增。

2a4a2a2a4ac?b2b当x??时，函数有最小值。当a?0时，函数的图像抛物线开口向下，顶点

4a2ab4ac?b2bb坐标为(?,)，函数在(??,?)单调递增，在(?,??)单调递减。当

2a4a2a2a4ac?b2b时，函数有最大值。 x??4a2a3、幂函数的一般形式为y?xa，其特征是以幂的底为自(a?R,a是常数，x是自变量）变量，指数为常数，其定义域随着常数a取值的不同而不同。所有幂函数都在(0,??)有定义，并且图像都过点（1，1）；a?0,幂函数在(0,??)是增函数，a?0，幂函数在(0,??)是减函数。

四．解决实际问题的解题过程

（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；

（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型

五．解应用题的一般程序

（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础； （2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；

（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；

（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．

六、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等。

解：（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象。

将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b， 求得k=0.2，b=0， 所以y=0.2x（x∈N）。

因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为 95+0.5×15=98（万公顷）。

（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得 95+0.2x－0.6(x－5)=90， 解得x=20（年）。

故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。

（1）设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式。

（2）若总运费不超过9000元，问共有几种调动方案？ （3）求出总运费最低的调运方案及最低的费用。

函数的模型二 二次函数模型 解题步骤 先建立二次函数的模型，再解答。

例2 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：这时租出了88辆车．

（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：

3600?3000?12，所以

50x?3000?x?3000?f?x???100?x?150??50， ???5050??x212整理得：f?x????162x?21000???x?4050??307050．

5050所以，当x?4050时，f?x?最大，其最大值为f?4050??307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元．

x2?48x?8000，已知此 无）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y?5生产线年产量最大为210吨。

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品平均成本最低，并求最低成本。

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？ 最大利润是多少？

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

函数的模型三 幂函数模型 解题步骤 先建立幂函数模型，再解答。

例3．有一片树林现有木材储蓄量为7100 cm3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28400 cm3．（1）求平均每年木材储蓄量的增长率；（2）如果平均每年增长率为8%，几年可以翻两番？

【点评】

（1）增长率（降低率）的问题一般是指数或幂函数模型，如果已知时间求增长率（降低率），多是幂函数模型。（2）“翻两番”指现在是原来的4倍，“翻n番”指的是现在是原来的2倍。 【变式演练3】（1）在1975年某市每公斤猪肉的平均价格是1.4元，而到了2005年，该市每公斤猪肉的平均价格是15元，假定这30年来价格年平均增长率相同，求猪肉价格的年平均增长率．

（2）另一方面，1975年时该市职工月平均工资是40元，而到了2005年，该市职工月 平均工资是860元，通过猪肉价格的增长和工资增长的对比，试说明人们的生活水平是日益提高，并计算若按这种速度，到2020年，估计该市职工月平均工资是多少元． 【高考精选传真】

2012年高考没有此类考题。 【反馈训练】

1、一个高为H，水量为V的鱼缸的轴截面如图，其底部有一个洞，满缸水从洞中流出，如

[来源:学科网]n果水深为h时水的体积为v，则函数v?f(h)的大致图象是（ ）

A B C D

2、一等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数解析式是( ) A．y＝20－2x (x≤10) B．y＝20－2x (x<10) C．y＝20－2x (5≤x≤10) D．y＝20－2x (5

3、用一根长为12米的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是( )

A．9平方米 B．36平方米 C．4.5平方米 D．最大面积不存在 4、某种商品2009年提价25%,2010年要恢复原价，则应降价 ( ) A．30% B．25% C．20% D．15%

5. 某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）

（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。 （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问： 怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。

6．如图所示，有一块半径为R的半圆形纲板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长

x间的函数式，并求出它的定义域。

7、有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.

8．将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？

9. 一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为多少时该客车的年平均利润最大？ 4 6 8 x年 ? x

2y?ax?bx?c（万元）来源学+科+网 7 11 7 ? 2x

【变式演练详细解析】 【变式演练1详细解析】

DCA

EOB

[来源:Zxxk.Com]

【变式演练2详细解析】

【变式演练3详细解析】

（1）设猪肉价格的年平均增长率是x%，则有

15?1.4(1?x%)30．利用计算器可得x?8.2． （2）该市职工月工资和年平均增长率是x%，则有 840?40(1?x%)30，利用计算器可得x?10.8． 因为10.8?8.2，因此人们的生活水平是日益提高．

照这样的速度到2020年，职工月平均工资是

860(1?10.8%)15?4000元．

【反馈训练详细解析】

1.D【解析】由题得当h较大时，随着h的减少，水的体积会减少的较慢，当h在鱼缸正中间时，随着h的减少，水的体积会减少的较快，接着有减少的较慢，所以选择D.

?0?x?20??5?x?10 所以选2.D【解析】?2x?y?20,?y?20?2x ??20?2x?0?x?x?20?2x?

D.

1155?k1?，又g(4)??k2? 442415从而f(x)=x,(x?0)，g(x)=x，(x?0)

44（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业的利润为y万元

x5Y=f(x)+g(10?x)=?（0?x?10）， 10?x，44由图知f(1)?10?t251525 令10?x?t,则y??t??(t?)2?,(0?t?10),

444216当t?525，ymax?4，此时x?10?=3.75 24?当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元。

??x?0?2?x再由? 解得0?x?2R ?0?2R?x2?0?2R?R?∴周长y与腰长x的函数式为：y??12x?2x?4R，定义域为：(0,2R) R7、【解析】：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 ?7x

6?7x 36?7x6 即窗框的面积 y = 3x ·= ?7x2 + 6x ( 0 < x <)

3739 配方：y =?7(x?)2? ( 0 < x < 2 )

77336∴ 当x =米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最

777 ∴ 窗框的高为3x，宽为大.

?7?a?42?b?4?c,?2?11?a?6?b?6?c,?2?7?a?8?b?8?c.。

解得a=－1，b=12，c=-25，

2即y?。 ?x?12x?25

25，

而取“=”的条件为x?。即x=5

x

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