第二十七章圆与正多边形

第二十七章圆与正多边形

27.1圆的确定

一、教学内容分析

本课主要的教学内容是：1、根据平面上点与圆心的距离与圆的半径的大小关系来描述点与圆的位置关系；2、不在同一直线上的三点确定一个圆及三角形的外心，多边形的外接圆和圆内接多边形等概念. 二、教学目标 知识与技能：（1）能根据点与圆心的距离与圆的半径的大小来判断点与圆的位置关系；根据点与圆的位置关系来判断点与圆心的距离与半径的大小关系.（2）理解平面上不共线三点确定一个圆，并能运用这些判定与性质进行简单的几何论证与计算.

过程与方法：通过对点与圆的位置关系及确定圆的条件的操作探索，发展逻辑思维能力，体验数形结合、分类讨论等重要的数学思想.

情感态度与价值观：提高学生的数学素养，用数学的眼光看世界. 三、教学重点、难点

点与圆位置关系的描述与简单应用；

平面内不共线的三点如何确定一个圆，三角形的外接圆的作法. 四、教具准备

GSP、PPT课件，多媒体投影 五、教学流程设计

引入新知 情景创设 操作展示 探究新知 应用举例 巩固新知 讨论合作 小结交流 拓宽新知 分层作业

六、教学过程设计

一、创设情境，引入新知

1、提出问题：本市某一建筑工地中央发出噪声，在距声源1公里范围内都将受噪声影响.小明、小王、小李家分别距工地中央1.2公里，1公里，0.5公里，问小明、小王、小李家是否受噪声影响？

[说明]通过创设问题情景，激发学生的求知欲，感悟数学问题圆外圆上圆内来源于生活，体验数学的价值. 2、出示媒体：（1）圆内：以圆周为分界线，含圆心的部分叫

做圆的内部.

（2）圆外：不含圆心的部分叫做圆的外部. （3）圆上：圆周上的点.

3、小结：平面上的点与这个圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在

圆内.

二、操作展示，探究新知

活动（一）探究：用平面上点与圆心的距离与圆的半径的大小关系来描述点与圆

的位置关系

设一个圆的半径长为R，点P与圆心O的距离为d，

1

则（1）点P在圆外 ? d>R

p3（2）点P在圆上 ? d=R

（3）点P在圆内 ? d

o1、探究活动1：过平面上任意一点可画几个圆？（图1） 探究活动2：过平面上任意两点可画几个圆？其圆心位置有什么规律？（图2）

探究活动3：过平面上共线的三点能否画一个圆？为什么？

探究活动4：操作：假设有一个经过不共线三点的圆，则圆心有什么特征？反之，过平面上

图1不共线的三点能否画一个圆？若能，其圆心在什么位置？

图22、定理：不共线的三点确定一个圆.

3、概念：三角形（多边形）外接圆，三角形外心，圆的内接三角形（多边形）的概念.

三、应用举例，巩固新知

1、例题分析：例1 已知线段AB和点C，⊙C经过点A，根据如下所给点C的位置，判断点B和C的位置关系：

（1）如图1，点C在线段AB的垂直平分线MN上

1 （2）如图2，点C在线段AB上，且0

2 M C

图1 A 图2 CBB A 例2 已知锐角三角形ABC（图3），直角三角形A1B1C（图4），钝角三角形A2B2C21（图5） （1） 分别作出这三个三角形的外接圆 N（2） 比较这三个三角形外心的位置，你能有什么发现？

（3） 思考：已知△DEF的外心在△DEF的一边上，若DE=3，EF=4，能否求

出△DEF的外接圆半径？

CC1C2A图3BA1图4B1A2图5B22、巩固练习：

1、已知直角坐标平面内点P、A的坐标分别为（-1，0），（3，3），以P为圆心，AP为半径长画圆.

2

B（1） 判断下列各点与⊙p的位置关系. B（4，0）；C（1，5）； （2） 若圆上有一点D的横坐标为2，求D点坐标. 2、课本练习27.1

四、讨论合作，小结交流

1、本堂课你学会了什么？还可以得到什么？ 2、本堂课你的疑惑是什么？你准备如何解决？ 3、你觉得自己在本课中的表现如何？ 五、作业布置，拓展延伸 必做题：练习册27.1 分层题：（任选2题）1、思考：不共线的任意四点能否确定一个圆？若能，则这四个点有何特征？

2、已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是△ABC的外心，G

是△ABC 的重心.求OG的长. A 3、拓展：对于一个一般三角形（如边长为4，6，8的三角形）能否计算它的外接圆半径？（若能，设外接圆半径为x，请列出关于x的方程）

教案设计说明 G《圆的确定》这一节内容较多，课的容量大，其中点与圆OC的位置关系的描述对以后研究直线与圆、圆与圆的位置关系

图6起十分重要的铺垫作用.本课的设计过程有着以下几个方面的特点：

1、以现实生活场景“工地噪声污染”一题作为新课的情景引入，激发学习兴趣以及对新知识的探究欲望.通过多媒体的展示，自然引出圆内、圆上、圆外的概念，并用点与圆心的距离d与圆半径R之间的大小关系，来描述点与圆的三种不同的数量关系，领悟形数结合、分类讨论的数学思想方法.在《圆的确定》这一部分教学中，通过一系列问题的设疑，把确定圆的条件铺设成若干个小问题，由简到繁，由特殊到一般，学生的思维被激活，体验了重要的研究数学问题的方法，在合作交流中自主探究到了确定圆的条件：不共线三点确定一个圆.

2、巩固与作业的布置上，着重体现了基础性，又有恰当的分层提高，这种提高是建立在巩固了良好的基础知识的前提上，使不同的学生在所学的知识上有不同的发展、不同的提高. 七、课后反思

对一点到圆的距离的理解要补充讲解，作图题要把满足要求的图形都作出来.

27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）

一、教学内容分析

本课是研究圆中四组量圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的第一课时，学生将理解圆弧、弦、圆心角、优弧、劣弧、弦心距等概念及定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦、弦心距相等.并能运用定理进行简单的论证及计算. 二、教学目标

知识与技能：1、理解弧、弦、圆心角、弦心距、等圆等概念.

过程与方法：通过操作、说理和证明，探索圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系. 情况态度与价值观：培养严谨的学习态度.. 三、教学重点及难点

3

圆心角、弧、弦、弦心距概念的理解.

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的论证及简单应用. 四、教具准备 课件、多媒体投影 五、教学流程 概念引入 探索新知 巩固练习 课堂小结 作业布置

六、教学过程设计

（一）概念引入 1、演示观察，讲授概念

引出弧、圆心角、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等弧、等圆的概念.

（二）探索新知

1、思考：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，思考他们所对的弧，所对的弦，所对弦的弦心距是否相等？ 2、出示问题：（图1）在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A’OB’时，它们分别所对的 AB和 弦A’B’的弦心距OC，A'B'是否能重合？弦AB=A’B’吗？作弦AB，

ACOC’，则OC=OC’吗？ B3、说理论证. 4、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，O所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. （三）巩固练习

1、概念辨析

B'C'A'例1 （图2）在⊙O中，两条弦AB，CD相交于点E，则 与 图（1）相等ACDB吗？为什么？

若∠AOB=∠COD，那么 AC 与 DB 相等吗？为什么？

C A

O例2 判断：相等的圆心角所对的弧一定相等吗？为什E么？

D

2、例题分析 B图(2)例3 如图（3），⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=∠AOC=120°，

（1） 求证：△ABC是等边三角形.

（2） 如果BC的弦心距为3厘米，求AB、AC的弦心距.

A

O3、拓展延伸

BC 图（3）4

如图（4），⊙O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC，∠AOB=∠BOC，探索△ABC的形状，并说明理由. A O

BC4、课堂反馈：练习27.2（1）

（四）课堂小结

1、图（4）这堂课的学习你有什么收获？还有什么不同观点或想法？ 2、你认为对本课的概念或定理的学习探究，需要注意些什么？ （五）作业布置

必做题：练习册 习题27.2（1） 分层题：（选作）如图（5）半圆⊙O上依次有四个点A、B、C、D，且∠AOB=∠COD，

求证：四边形ABCD是等腰三角形.

O AD教案设计说明

C中弧、弦、圆心角、弦心距等概念在新教材中第一次出B圆

现，这些图（5）概念对研究圆中四组量的关系及理解垂径定理起至关重要的作用，故在课堂开始就利用PPT演示并作细致的讲解，把概念的内涵、关键点讲细、讲活.学生在掌握了圆心角、弦、弦心距等概念的基础上，进一步通过操作，发现圆心角、弦、弦心距、弧这四组两之间的关系，认知结构得到了螺旋发展.在掌握定理的前提下.展开对例题的训练研究，新知识得以巩固，思维能力得到培养. 七、课后反思

优弧和劣弧的表示方法要注意区分，证明题的推理要严谨.

27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（2）

一、教学内容分析

本课是研究同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量的关系的第二课时，在前节课得到的定理的基础上完成其推论，形成圆心角、弧、弦、弦心距四组量的关系的完整的知识结构，并能运用定理和推论进行简单的几何运算和证明.

二、教学目标

知识与技能：会用定理和推论进行相关的几何证明和计算.

过程与方法：通过同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量之间的关系

的进一步研究，进一步掌握相关的概念以及它们之间的联系.

情感态度与价值观：发展探索和发现能力，体验事物之间相互依存，相互制约的

联系观点和等价转换思想. 三、教学重点及难点

能用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行相关的几何证明和计算.引导

5

学生会对定理推论的探索和论证. 四、教学用具

课件、多媒体投影 五、教学流程 探索发现 获得新知 巩固反馈 归纳小结 布置作业

六、教学过程设计 一．探索发现 1．探究： 1）． 问题：如图（1），在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE、OF分别是AB、

CD的弦心距 （1）如果∠AOB＝∠COF，可得到哪些结论？ （2）如果 ，能否得到∠AOB＝∠COD？

AEAB=CDB（3）如果AB＝CD，能否得到∠AOB＝∠COD？

O（4）如果OE＝OF，能否得到∠AOB＝∠COD？

2）．对上面探索活动所获结果进行归纳、小结. 二．获得新知

C 1．定理推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角，两条劣弧（或弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那们所对应的其余三组量也分别相等.

2．用几何语言熟练描述圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系. 如图（2）：⊙O中，OE、OF分别是弦AB、CD的弦心距 （1）如果∠AOB＝∠COD，那么_________________

AEBDF图（1）优

么它

（2）如果AB＝CD，那么____________________ （3）如果 ，那么____________________

OAB=CD（4）如果OE＝OF，那么____________________ 三．巩固反馈

D1、例题精讲 例1 如图（3），在⊙O中，弦AB、CD相交于E，

CMENOBCF图（2）OM、 ON分别是弦AB、CD的弦

心距

D（1）如果OM

A＝ON，求证： AC=BD（2）如果 AC=BD 例2 例题变式1

图（3）求证：EO平分∠AED

如图（4），已知圆O中，过圆内一点E作圆O的

两条弦AB和CD，AE＝DE，求证：

CEA AC=BDB

D6

O图（4）

例3 例题变式2 如图（5），已知圆O外一点E，过E作二条射线分别交圆O于A、B、C、D四点， 若AE＝DE，求证：

AB=DC

BC

O

2、反馈练习：练习26.2（2）

AD四．课堂小结

E1．会叙述圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

2．你觉得定理和推论在运用过程中需注意些什么？ 图（5） 五．布置作业

CA必做题：练习册27.2（2） 分层题：（选作）如图（6）：过圆O内一点P作弦AB、CD，且PAB＝CD在 上取两点E、F，且 ，求证：直线PO是EF的垂直平分线

BOD

BE=DFEF 教图（6）学设计说明 本节课主要在第一课时获得定理的基础上，进一步探索研究圆心角、弧、弦、弦心之间的关系，从而完善了对这四组量关系的认知结构.教学中，采用教学引导、学生探索发现的教学模式，最后得到了推论，学生在一系列的活动过程中发展了探索发现的能力，体验事物之间相互依存、相互制约的联系观点和等价转换的思想.巩固练习部分，把课本例题进行了适当的整合与变化，进一步锻炼了学生思维的灵活性、创造性，使有余力的学生在课堂上能以知识的全面发展，体现了不同的学生在数学上有不同的收获.总之，本堂课以教师引导、学生探研发现为主，通过学生的自主探究、合作交流、体验知识探索成功后的收获与喜悦，培养了学生归纳总结能力，提高探索解决问题的能力.

七、课后反思

圆中一条弦对两条弧，应用定理时应注意区分弦所对的优弧和劣弧.

27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（3）

一、教学内容分析：

本课是圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的第3课时，主要内容是对圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的灵活运用. 二、教学目标

知识与技能：灵活运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决相关的几何

证明与计算.

过程与方法：通过例题的学习，进一步发展逻辑推理能力.

情感态度与价值观：提高学生的数学素养，用数学的眼光看世界.

7

BD

三、教学重点与难点

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的灵活运用. 四、教学用具准备

课件、多媒体投影仪 五、教学流程 回顾旧知 应用举例 反馈练习 归纳小结 布置作业

六、教学过程设计 (一) 温故知新

回顾定理与推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.

（二）应用举例

例4 如图（1）已知：点F为圆O内一点，过点F作圆O的两条弦AB、CD，且∠AAFO＝∠DFO

求证：（1）AB＝CD （2）

COFAC=BD

B变式1：将例4中条件结论互换，命题是否为真？即已知

点F为圆O内一点，过点F作⊙O的两条弦AB、CD，AB

D＝CD求证：∠AFO=∠DFO（学生探索发现） 图（1）变式2：若点F为⊙O上一点，过F作⊙O的弦FA、FD如图（2） 若∠AFO＝∠DFO,求证：AF＝DF（学生探索发现）

A FO变式3：如图（3）若点F为⊙O外一点，过F作两条射线分别交⊙O于点A、B、C、D，若∠AFO＝∠DFO，求证：AB＝CD（学生探索发现）

D 2）图（

A B 例5 D已EDOCF知，如图（4）：⊙O是△ABC的

外接AMO N圆，AE平分△ABC的外角∠DAC，OM⊥AB，

图（3）ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM＝ON求证：（1）AE∥BC (2)AO⊥AE 8

B图（4）C

（三）反馈练习

1、 课本P11页，练习27.2（3）

2、将例5条件、结论互换，变式1：把条件OM＝ON与结论AE∥BC互换，命

题是否为真？说明理由.

3、 变式2：把条件OM＝ON与结论AO⊥AE互换，命题是否为真？说明理由.

图（5） D AE MN O C B 图（5）（四）归纳小结 1.谈谈本堂课的收获 2.谈谈本堂课的疑惑

（五）布置作业

必做题：练习册27.2（3） 分层题：（选作）如图（6）：已知半圆O中，直径AB＝2，作弦DC∥AB，设AD＝x，四边形ABCD的周长为y，求：y与x的函数关系式，及自变量x的取值范围

DCAO图（6）B 设计说明

本节课主要内容是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的应用，对课本例题做了适当的变式，以问题为主线，探中有究，究中有探，通过例4的变式训练，引导学生灵活创新地运用定理、推论解决问题，根据学生已有的知识基础，设计出具有一定探索价值的问题链，进而让学生去发现、去创造，从而充分调动学生的思维，有效地提高课堂的效率，使整个课堂焕发出思维的活力.

七、课后反思

解题添辅助线时，应首选弦心距，往往可事半功倍.

9

27.3(1) 垂径定理

一、教学内容分析

学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系.本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形，且任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明；

垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性. 二、教学目标设计

知识与技能：掌握垂径定理, 能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题.

过程与方法：经历垂径定理的探索和证明过程.

情感态度与价值观：在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 三、教学重点及难点

重点：掌握垂径定理的内容并初步学会运用. 难点：垂径定理的探索和证明. 四、教学用具准备

圆形纸片，圆规，三角尺 五、教学流程设计 复习 提问

六、教学过程设计

一、情景引入

1、观察

将圆形纸片翻折，能观察到什么？说明什么？

10

引入 新课 讲解 新课 定理 应用 巩固 练习 课堂 小结

二、学习新课 1、思考

如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，则图中有哪些相等的量？为什么？

（学生观察，猜想，并得出以下结论） ①CO=DO（同圆的半径相等）

②AM=BM,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC（如何证明？） （学生讨论，并得出推导过程，教师板书） 联结OA、OB，则OA=OB. ∵ AB⊥CD,

∴ AM=BM（等腰三角形三线合一）, ∠AOD=∠BOD,

∴ 弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）. ∵ ∠AOC=∠BOC, ∴ 弧AC=弧BC.

2、定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧.

3、例题分析

例1 已知：如图，以点O为圆心的两个圆中， 大圆的弦AB交小圆于点C、D两点，

求证：AC=DB

分析：作OH⊥AB，垂足为H

证明略

例2（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）

析： 分

如图，假设弧AB表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米）

1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义. 2、如何确定圆心的位置？

3、图中哪些表示圆O的半径？ 4、如何建立等量关系？

解：设圆O的半径为R，则OA=OB=OC=R 根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=R?7.2 ∵ OC⊥AB，且OC过圆心

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1AB=18.7 2在Rt△AOD中，∠ADO=90° ∵ AD2+OD2=OA2 ∴ 18.72+(R?7.2)2=R2 R?27.9

答：桥拱所在圆的半径约为27.9米. 三、巩固练习

1、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.

2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm， 求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.

∴ AD=

四、课堂小结

知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．

方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形——作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．

五、作业布置

必做题：练习册：P5，习题27.3（1）

分层题：（选作3题）金牌P11～12 七、教学说明及反思

(1) 本节一开始说明了圆是轴对称图形，然后在“思考” 中提出问题，引导学生直观感知垂径定理的真实性，再用推理的方法加以证明.教学中，要注意展现垂径定理的导出和证明过程，让学生获得“实验—归纳—猜测—论证”的过程经历.

(2) 对于垂径定理文字描述的理解，在“边款”中特别指出，垂径定理条件中的“弦”可以是直径,结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧；垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，也可表述为“圆的半径垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线段”.这样，学生在实际问题背景下，可灵活运用垂径定理来解决数学问题.

(3) 例题1是垂径定理的初步运用.学生有可能还是习惯用等腰三角形“三线合一”来证明，要引导学生对不同的证明方法进行比较，帮助学生理解新的定理在几何证明中所起的作用，看到不同证明方法之间的联系和课本中证明过

12

程的简约.

(4) 例题2 是运用垂径定理解决简单的实际数学问题.本题的背景赵州石拱桥，教学时要指导学生如何将现实生活中的数学问题抽象为数学模型，要关注这个转化的过程，渗透数学建模思想.同时，可结合本例渗透“两纲”教育，激发学生的爱国热情.例题中有拱高，后面又提出了弓形的概念，教学时要向学生解说，并注意“边款”中对“弓形”与“拱形”两个概念的区别的说明.

27.3(2) 垂径定理

一、教学内容分析

垂径定理及其推理论是圆中的一个重要内容，它揭示了弦、直径及弦所对的弧之间的一种特殊的位置关系.解题时过圆心作已知弦的垂线是常用辅助线，其目的是应用垂径定理的有关结论.

二、教学目标

知识与技能：掌握垂径定理的推论；会利用推论进行简单的作图、计算和论证；培养观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能.

过程与方法：在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想； 情感态度与价值观：提高数学素养，用数学的眼光看世界. 三、教学重点难点

垂径定理推论的探索及应用.

四、教学流程设计 复习 提问 引入 新课 讲解 新课 定理 应用 巩固 练习 课堂 小结 五、教学过程设计 一、新课引入：

同学们，上节课我们学习了圆的重要性质垂径定理．请两名中等生回答定理内容，并说出这个定理的题设和结论．这时教师引导学生观察．若（1）过圆心；（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的弧．结合图形可表示为

∵CD是⊙O的直径 （1） AB⊥CD （2） ∴AM=BM （3） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4）

将（2）和（3）对调，得到一个命题，

13

∵CD是⊙O的直径 （1） AM=BM （3） ∴AB⊥CD （2） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） 将（2）和（4），又得到一个命题．

∵CD是⊙O的直径 （1） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） ∴AM=BM （3） AB⊥CD （2）

将（1）和（3）对调，得到一个命题； ∵AM=BM （3） AB⊥CD （2） ∴CD是⊙O的直径 （1） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） 将（1）（2）和（3）（4）同时对调，得到一个命题； ∵AM=BM （3） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） ∴CD是⊙O的直径 （1） AB⊥CD （2） 将（1）和（4）对调，得到一个命题；

∵弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） AB⊥CD （2） ∴AM=BM （3） CD是⊙O的直径 （1） 这些命题是真是假？

就是我们本节要学习的垂径定理的推论．这时教师点题．“27.3(2) 垂径定理（二）”．

二、学习新课

1、引导学生结合图形给出证明，并用文字进行表述． 2、总结上述讨论可以概括为：

在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。

[说明]当条件为直线“经过圆心”、 “平分弦”时，还要指出这条弦不是直径，才能推出其余两组关系．

3、例题分析

例3如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D， ∠AOB=120°，AD=8．求OA的长．

O

A B D C

14

例4已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧．

A

三、巩固练习

练习1：按图填空：在⊙O中， （1）若MN⊥AB，MN为直径， 则______，______，______； （2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则______，______，______；

（3）若MN⊥AB，AC=CB，则______，______， （4）若

=

，MN为直径，则______，______，______．

B

练习2、P16 四、课堂小结

１．这节课你学会了什么？

２．你认为有哪些要注意的地方？ ３．你还有什么问题吗？

五、作业布置

练习册：P7，习题27.3（2）

六、教学说明及反思

（1）为了使学生真正体验垂径定理的重要，在取材处理上，没有象教科书那样直接给出问题1、问题2．而是将垂径定理的题设和结论进行对调，发现新命题，总结新命题，教师概括出推论。这样不仅让学生了解了新知识与旧知识之间的联系，也体现了知识的连贯性和系统性．这样既开发了学生的智力，又调动了学生学习的积极性和主动性．同时又增强了学生应用数学的意识．

（2）课本中把解决这些问题化归为平分弦(不是直径)或平分弧的直径是否垂直于弦的问题，利用等腰三角形“三线合一”的性质和垂径定理，导出垂径定理的推论.最后，进行总结性的概括，得到“在圆中，对于某一条直线“经过圆心”，“垂直于弦”，“平分弦”，“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果其中有两组关系成立，那么其余两组关系也成立“的结论.

(3) 例题3是垂径定理推论的初步运用，解题过程中用到锐角三角比知识，主要考虑到简化计算过程.

(4) 例题4是运用垂径定理的推论作图———等分一条已知弧。可先让学生独立思考作图的方法，然后共同说明作图的依据，并作总结.通过此例，可让学生归纳：要平分一条线段或圆弧，只要作出这条线段或联结这两点的的垂直平分线.结合这道例题，也可要求学生找出这条弧所在圆的圆心位置，并说出作图的理由.

27.3(2) 垂径定理

15

一、教学内容分析

垂径定理及其推理论是圆中的一个重要内容，它揭示了弦、直径及弦所对的弧之间的一种特殊的位置关系.解题时过圆心作已知弦的垂线是常用辅助线，其目的是应用垂径定理的有关结论.

二、教学目标

知识与技能：掌握垂径定理的推论；会利用推论进行简单的作图、计算和论证；培养观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能.

过程与方法：在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想； 情感态度与价值观：提高数学素养，用数学的眼光看世界. 三、教学重点难点

垂径定理推论的探索及应用.

四、教学流程设计 复习 提问 引入 新课 讲解 新课 定理 应用 巩固 练习 课堂 小结 五、教学过程设计 一、新课引入：

同学们，上节课我们学习了圆的重要性质垂径定理．请两名中等生回答定理内容，并说出这个定理的题设和结论．这时教师引导学生观察．若（1）过圆心；（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的弧．结合图形可表示为

∵CD是⊙O的直径 （1） AB⊥CD （2） ∴AM=BM （3） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4）

将（2）和（3）对调，得到一个命题，

∵CD是⊙O的直径 （1） AM=BM （3） ∴AB⊥CD （2） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） 将（2）和（4），又得到一个命题．

∵CD是⊙O的直径 （1） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） ∴AM=BM （3） AB⊥CD （2）

将（1）和（3）对调，得到一个命题；

16

∵AM=BM （3） AB⊥CD （2） ∴CD是⊙O的直径 （1） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） 将（1）（2）和（3）（4）同时对调，得到一个命题； ∵AM=BM （3） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） ∴CD是⊙O的直径 （1） AB⊥CD （2） 将（1）和（4）对调，得到一个命题；

∵弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） AB⊥CD （2） ∴AM=BM （3） CD是⊙O的直径 （1） 这些命题是真是假？

就是我们本节要学习的垂径定理的推论．这时教师点题．“27.3(2) 垂径定理（二）”．

二、学习新课

1、引导学生结合图形给出证明，并用文字进行表述． 2、总结上述讨论可以概括为：

在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。

[说明]当条件为直线“经过圆心”、 “平分弦”时，还要指出这条弦不是直径，才能推出其余两组关系．

3、例题分析

例3如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D， ∠AOB=120°，AD=8．求OA的长．

O

A B D 例4已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧． C

B A

三、巩固练习

练习1：按图填空：在⊙O中， （1）若MN⊥AB，MN为直径， 则______，______，______； （2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则______，______，

______；

17

（3）若MN⊥AB，AC=CB，则______，______， （4）若 练习2、P16 四、课堂小结

１．这节课你学会了什么？

２．你认为有哪些要注意的地方？ ３．你还有什么问题吗？

五、作业布置

必做题：练习册：P7，习题27.3（2）

分层题：金牌P15～P16 六、教学说明及反思

（1）为了使学生真正体验垂径定理的重要，在取材处理上，没有象教科书那样直接给出问题1、问题2．而是将垂径定理的题设和结论进行对调，发现新命题，总结新命题，教师概括出推论。这样不仅让学生了解了新知识与旧知识之间的联系，也体现了知识的连贯性和系统性．这样既开发了学生的智力，又调动了学生学习的积极性和主动性．同时又增强了学生应用数学的意识．

（2）课本中把解决这些问题化归为平分弦(不是直径)或平分弧的直径是否垂直于弦的问题，利用等腰三角形“三线合一”的性质和垂径定理，导出垂径定理的推论.最后，进行总结性的概括，得到“在圆中，对于某一条直线“经过圆心”，“垂直于弦”，“平分弦”，“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果其中有两组关系成立，那么其余两组关系也成立“的结论.

(3) 例题3是垂径定理推论的初步运用，解题过程中用到锐角三角比知识，主要考虑到简化计算过程.

(4) 例题4是运用垂径定理的推论作图———等分一条已知弧。可先让学生独立思考作图的方法，然后共同说明作图的依据，并作总结.通过此例，可让学生归纳：要平分一条线段或圆弧，只要作出这条线段或联结这两点的的垂直平分线.结合这道例题，也可要求学生找出这条弧所在圆的圆心位置，并说出作图的理由.

27.3(3) 垂径定理

一、教学内容分析

垂径定理及其推理论是圆中的一个重要内容，它揭示了弦、直径及弦所对的弧之间的一种特殊的位置关系.解题时过圆心作已知弦的垂线是常用辅助线，其目的是应用垂径定理的有关结论.

二、教学目标

知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及推论解决有关数学问题. 培养观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能.

过程与方法：在解题的过程中，领会分类讨论的数学思想；

18

= ，MN为直径，则______，______，______．

情感态度与价值观：提高数学素养，用数学的眼光看世界.

三、教学重点及难点

重点：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及推论解决有关数学问题. 难点：在圆中解决有关于弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形. 四、教学流程设计 复习 提问 引入 新课 讲解 新课 定理 应用 巩固 练习 课堂 小结 五、教学过程设计 一、复习引入：

结合图形回顾垂径定理及其推论： 在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立.

说明：当条件为直线“经过圆心”、 “平分弦”时，还要指出这条弦不是直径，才能推出其余两组关系． 二、学习新课 例题分析 例5如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．

O

B A 例6如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，

C ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA、DC的延

长线交于点P ．

求证：PA=PC．

例7如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求弦CD的长．

A B

O

C 19 D 三、巩固练习 练习1： P18 四、课堂小结

在圆中解决与弦有关问题时经常作的辅助线是什么？

（在圆中解决有关于弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形.为应用垂径定理创造条件.）

五、作业布置

必做题：练习册：P8，习题27.3（3）

分层题：金牌P19～20选作3题 六、教学设计说明

（1） 例题5是运用垂径定理的推论进行几何计算.在解题过程中，通过构造直角三角形、运用勾股定理来求圆中的线段长，有一定的综合运用要求，要引导学生把握知识之间的联系和构造直角三角形的基本方法.

（2） 例题6是垂径定理推论的综合运用.要指导学生联系关于同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理分析证明思路.证题后，可提出将题中的条件“AB=CD”与结论“PA=PC”对调，请学生思考如何证明.

（3）在例题7中，由于两平行弦间的距离大于圆的半径，因此这两条弦在圆心的两侧.如果两平行弦间的距离小于圆的半径，那么这两条弦可能在圆心的两侧，也可能在圆心的同侧.完成例题7的教学后，要提醒学生注意在一般情况下两平行弦与圆心的位置关系特征，使学生对练习27.3（3）第3题的分析全面些.

27.3(3) 垂径定理

一、教学内容分析

垂径定理及其推理论是圆中的一个重要内容，它揭示了弦、直径及弦所对的弧之间的一种特殊的位置关系.解题时过圆心作已知弦的垂线是常用辅助线，其目的是应用垂径定理的有关结论.

二、教学目标

知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及推论解决有关数学问题. 培养观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能.

过程与方法：在解题的过程中，领会分类讨论的数学思想；

情感态度与价值观：提高数学素养，用数学的眼光看世界.

三、教学重点及难点

重点：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及推论解决有关数学问题.

20

难点：在圆中解决有关于弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形. 四、教学流程设计 复习 提问 引入 新课 讲解 新课 定理 应用 巩固 练习 课堂 小结 五、教学过程设计 一、复习引入：

结合图形回顾垂径定理及其推论： 在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立.

说明：当条件为直线“经过圆心”、 “平分弦”时，还要指出这条弦不是直径，才能推出其余两组关系． 二、学习新课 例题分析 例5如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．

O

B A 例6如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，

C ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA、DC的延

长线交于点P ．

求证：PA=PC．

例7如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求弦CD的长．

A

O

C 三、巩固练习

练习1： P18

四、课堂小结

21

B D 在圆中解决与弦有关问题时经常作的辅助线是什么？

（在圆中解决有关于弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形.为应用垂径定理创造条件.）

五、作业布置

必做题：练习册：P8，习题27.3（3） 分层题：（选作）P29，1、2、3 六、教学设计说明与课后反思

（1） 例题5是运用垂径定理的推论进行几何计算.在解题过程中，通过构造直角三角形、运用勾股定理来求圆中的线段长，有一定的综合运用要求，要引导学生把握知识之间的联系和构造直角三角形的基本方法.

（2） 例题6是垂径定理推论的综合运用.要指导学生联系关于同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理分析证明思路.证题后，可提出将题中的条件“AB=CD”与结论“PA=PC”对调，请学生思考如何证明.

（3）在例题7中，由于两平行弦间的距离大于圆的半径，因此这两条弦在圆心的两侧.如果两平行弦间的距离小于圆的半径，那么这两条弦可能在圆心的两侧，也可能在圆心的同侧.完成例题7的教学后，要提醒学生注意在一般情况下两平行弦与圆心的位置关系特征，使学生对练习27.3（3）第3题的分析全面些.

27.4直线和圆的位置关系

教学目标

知识与技能：理解直线和圆的三种位置关系，并掌握其判定方法和性质；了解切线的判断定理.

过程与方法：通过直线和圆的位置关系的探究，渗透分类、数形结合的思想，培养观察、分析和概括的能力.

情感态度与价值观：提高数学素养，用数学的眼光看世界. 教学重点及难点

直线和圆的位置关系的判定方法和性质. 教学用具准备

教师和学生每人准备一张A4大小白纸、一只铅笔、一只圆规、一把直尺. 教学流程设计

22

引入新课 （通过动手操作，激发学生兴趣，进而引入新课） 新课讲授 （引导学生探究直线与圆的各种位置关系以及相应的数量关系） 巩固练习 （通过课后练习巩固新知） 课堂小结 回家作业

教学过程设计

一、通过操作活动，引入新课

操作：请同学在白纸上画一条直线，把一个圆形硬币看作一个圆，将硬币缓缓移动，逐步接近直线.

二、新课讲授 1、观察

指导学生观察直线与圆的公共点（交点）个数

O O O l

（1）

l

（2）

（3）

l 2、归纳

（1）直线和圆没有公共点；（2）直线和圆有唯一公共点；

23

（3）直线与圆有两个公共点. 3、概念

由直线与圆的公共点的个数，得出直线和圆的三种位置关系：

（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 4、理解

（1）直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同处.

（2）直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?

5、直线与圆的位置关系的数量特征 （1）迁移：点与圆的位置关系 （1）点P在⊙O内?dr． (2)归纳概括：

如果⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么 (1)直线l和⊙O相交 ?dr． 6、切线的判定定理

（1）分析d=r的几何表示，引出切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

24

（2）证明定理.师生共同分析该定理的条件和结论，画出图形，写出已知、求证，指导学生完成证明.

7、例题讲解

例1经过⊙O上一点M作⊙O的切线. 作法：1、联结OM.

2、过点M作直线l垂直于OM. 则直线l就是所求作的切线. （作图由学生自己完成）

例2如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.

（1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围.

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， 由勾股定理，得AB=5. 设点C到AB的距离为d，则

11AC?BC?AB?d 22B M O 11即 ?3?4??5d

22解得 d=2.4.

C A （1）因为2.4＞2，即d＞R，

所以，半径长R为2的⊙C与直线AB相离. （2）因为2.4＜4，即d＜R，

所以，半径长R为4的⊙C与直线AB相交.

（3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，那么⊙C与直线AB相切

或相交.

25

所以，当R≥2.4时，⊙C与直线AB有公共点. 三、巩固练习 练习27.4 1、2、3. 四、课堂小结

1、知识：（指导学生归纳）

2、能力：观察、归纳、概括能力，知识迁移能力，知识应用能力. 五、作业

必做题：练习册P10，27.4

分层题：（选作2题）金牌P22，一、二、三 教学设计说明和教学反思

本节课学习时重视实际操作.新课学习第一环节是操作观察，让学生动手操作，观察动圆在逐渐靠近直线时直线与圆的公共点的个数.第二个环节就是以学生的直观感知为基础，归纳出直线与圆的公共点的个数的三种情况.第三环节为由直线与圆的公共点的个数的三种情况得到直线与圆的三种位置关系.第四环节为把点和圆位置关系的讨论及其研究方法，迁移到直线与圆的位置关系，得到直线与圆的位置关系的数量特征.从度量的直观引发学生理性地思考，通过讨论、归纳以形成规律性的认识，有利于培养学生正确的思考方式和分析问题的能力.

27.5（1）圆和圆的位置关系

教学目标

知识与技能：掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法. 过程与方法：通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力．

26

情感态度与价值观：用运动变化的观点来分析和发现问题 教学重点及难点

两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系． 教学用具准备

教师和学生每人准备一张A4大小白纸、一只铅笔、一只圆规、一把直尺. 教学流程设计

新课讲授 （引导学生探究圆与圆的各种位置关系以及相应的数量关系） 复习引入新课 （通过复习直线与圆的位置关系，进而引入新课） 巩固练习 （通过课内练习巩固新知） 课堂小结 回家作业

教学过程设计 一、复习、引出问题

1、复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?

（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2、引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?

二、新课讲授

1、观察、分类，得出概念

让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：

27

(

(

1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．

(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．

(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点． (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含．两圆同心是两圆内含的一个特例． 小结：(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点．

(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一.

(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)．

教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?

结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．

28

O1 O2

O1 O2 O1 O2

（1） （2） （3）

O1 O2

O1 O2

CO1(O2) （4） （5）

2、两圆位置关系的数量特征．

设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，类比直线与圆的位置关系，r和d之间有何数量关系．（图形略）

两圆外切 ?d＝R+r； 两圆内切 ? d＝∣R-r∣； 两圆外离 ? d＞R+r； 两圆内含?0≤d＜∣R-r∣ 两圆相交 ?∣R-r∣＜d＜R+r．

[说明]注重“数形结合”思想的教学. 3、例题讲解

例1 已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，根据下列条件判断⊙O1和⊙O2的位置关系： （1）O1O2=7；（2）O1O2=4；（3）O1O2=0.5.

解：分别用R1、R2、d表示⊙O1、⊙O2的半径长及圆心距. （1）由R1=3，R2=4，得，R1+R2=7. ∵d=7， ∴d=R1+R2.

所以，⊙O1和⊙O2的位置关系是相切. （2）由R1=3，R2=4，得R1?R2?1，R1+R2=7. ∵d=4，

∴R1?R2＜d＜R1+R2.

所以，⊙O1和⊙O2的位置关系是相交. （3）由R1=3，R2=4，得R1?R2?1. ∵d=4， ∴d＜R1?R2.

所以，⊙O1和⊙O2的位置关系是内含.

例2 如图，已知⊙A、⊙B、⊙C两两外切，且AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求这个三个圆的半径长.

解：设⊙A、⊙B、⊙C的半径长分别为x厘米、y厘米、z厘米.

A C B

29

∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，

∴AB＝ x＋y，BC＝y＋z，CA＝z＋x. 根据题意，得关于x、y、z的方程组

?x?y?3?x?2??y?z?5 解得??y?4 ?z?x?6?z?1??所以，⊙A、⊙B、⊙C的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米.

例3 已知⊙A、⊙B相切，圆心距d为10厘米，其中⊙A的半径长是4厘米，求⊙B的半径长.

解：设⊙B的半径长为r.

（1）如果⊙A和⊙B外切，那么

d=10=4+r.

得 r=6.

（2）如果⊙A和⊙B内切，那么

d?r?4?10

得 r=14 或 r=－6（舍去）.

所以，⊙B的半径长为6厘米或14厘米.

例4 分别以1厘米、1.5厘米、2厘米为半径作圆，使它们两两外切.

分析：假定符合条件的三个圆已作出，圆心分别为O1、O2、O3.设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径长分别为1厘米、1.5厘米和2厘米.由于这三个圆两两外切，可知

O1O2?1?1.5?2.5厘米；

O2O3?1.5?2?3.5厘米； O1O3?1?2?3厘米.

由于△O1O2O3的三边长确定，△O1O2O3就可以作出. 因此可利用△O1O2O3来定圆心，然后作圆. 作法：如图所示，

1、作△O1O2O3，使得O1O2=2.5厘米，O2O3=3.5厘米，O1O3=3厘米.

2、分别以O1、O2、O3为圆心，相应地分别以1厘米、1.5厘米、2厘米为半径长，作⊙O1、⊙O2、⊙O3.

30

O2 O3

O1

⊙O1、⊙O2、⊙O3就是所求作的圆. 三、巩固练习

练习27.5（1）2、3、4； 四、课堂小结

1、知识：（指导学生归纳）

①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含； ②两圆的五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系； 2、能力：观察、分析、分类、数形结合等能力． 3、思想方法：分类思想、数形结合思想． 教学设计说明

用类比发现法，由直线和圆的位置关系研究两圆的位置关系，用启发诱导法进行例题教学，始终让学生积极参与教学活动，大胆探索知识的发生过程，并注重归纳小结，反思，始终体现学生的主体性；同时以运动的观点让学生直观的观察，启发学生把以前学习直线和圆的位置关系时的思考方法迁移到目前的学习中，使学生牢固的掌握本节内容，并将点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的定义和判定形成系列来记忆，有利于知识的掌握和应用.掌握了点与圆、直线与圆、圆与圆的运动过程，也就掌握了它们之间的位置关系.

27.5（2）圆和圆的位置关系

教学目标

31

知识与技能：掌握相交、相切两圆的性质定理；掌握相交两圆问题中，添加辅助线的常用作法；

过程与方法：结合相交、相切两圆连心线性质教学向学生

渗透几何图形的对称美．

情感态度与价值观：培养数学素养，用数学的眼光看世界. 教学重点及难点

相交、相切两圆的性质及应用． 教学用具准备

教师和学生各准备一只圆规、一把直尺 . 教学流程设计

引入新课 新课讲授 （通过观察图形的对称（引导学生探究相交、相切美，进而引入新课） 两圆的性质定理 巩固练习 （通过课内练习巩固新课堂小结 知） 回家作业

教学过程设计

一、利用图形的对称美，引出问题

32

我们知道圆是轴对称图形，相交、相切两圆具有什么性质呢? 二、新课讲授 1、观察、猜想、证明 （一）相交两圆的性质

1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．

2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．

3、让学生写出已知、求证、证明，教师组织、引导下完成证明 . 已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B . 求证：01O2是AB的垂直平分线 .

分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．

证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B， ∵O1A=O1B，

∴O1点在AB的垂直平分线上 .

又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上 . 因此O1O2是AB的垂直平分线 . 也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：

∵⊙Ol和⊙O2是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴 . ∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上 . ∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点， ∴连心线O1O2是AB的垂直平分线 . 定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦 .

注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线 .

33

O1

A O2 B

（二）相切两圆的性质

让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质 .

A A O1 O2 B B O1 O2 定理：相切两圆的连心线经过切点 . 这个性质同样由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课后可以考虑如何对这一性质进行证明 .

2、例题讲解

例题 已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，线段O1O2的延长线交⊙O2于点C，CA、CB的延长线分别交⊙O1于点D、E . 求证：AD=BE .

D 证明：联结AB .

∵O1O2是连心线，AB是公共弦 . A ∴O1O2垂直平分AB . 得 AC=BC . ∴C O1平分∠DCE . O1 O2 于是，点O1DC、EC的距离相等，即弦AD、弦BE的弦心距相等 . ∴AD=BE .

B 三、巩固练习

练习27.5（3）1、2、3、4 . 四、课堂小结

1、知识：（指导学生归纳）

E

相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦 . 相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点 .

34

2、能力方法：在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用 . 五、作业

必做题：练习册P11习题27.5（2） 分层题：（选作2题）金牌P25一、二、三 教学反思

数学思想方法是数学素质的重要体现，本节课注重让学生发现定理、证明定理、应用定理的过程，提高了学生思考问题、处理问题的能力 .

27.6(1)正多边形和圆

一、教学内容分析

学生已经熟悉等边三角形和正方形，它们的共同特征是各边相等、各角也相等.本节在学生已有认识的基础上，顺其自然地引出了正多边形的定义；通过对特殊正多边形进行操作、观察和归纳，引出了一般正多边形所具有的对称性；然后，利用正多边形的对称性，建立了正多边形的中心以及半径、边心距和中心角等概念；再利用正n边形可分解为n个全等的等腰三角形的特性，用基本图形将正多边形的边、半径、边心距和中心角联系起来，把有关边长、半径长、边心距和中心角大小的计算问题转化为解直角三角形的问题.

二、教学目标设计

知识与技能： 知道正多边形的概念及其对称性；知道正多边形的中心以及半径、边心距和中心角等概念. 知道正多边形中与边、半径、边心距、中心角等相联系的基本图形，会在正六边形中利用基本图形进行简单的几何计算. 过程与方法：经历关于正多边形的轴对称性、中心对称性及旋转对称性的探讨过程，知道正多边形是轴对称图形和旋转对称图形. 情感态度与价值观：培养学生数学素养. 三、教学重点及难点

重点：正多边形有关概念及正多边形半径、中心角、边心距、?边长之间的关系．

难点：通过基本图形使学生理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系．

四、教学用具准备 圆规、直尺

五、教学流程设计 复习 提问

35

引入 新课 讲解 新课 概念 应用 巩固 练习 课堂 小结

六、教学过程设计

一、 情景引入（华文行楷小三黑） 1．观察

等边三角形的边、角各有什么性质？正方形的边、角各有什么性质？ 2．思考

等边三角形与正方形的边、角性质的共同点． 二、学习新课 1．概念辨析

（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

（2）概念理解：

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．

2．分析、发现：探索正多边形的对称性

问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心.

结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形.

问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？

正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的性质．例如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合．正多边形也是轴对称图形，正n边形就有n条对称轴，当n为偶数时，它又是中心对称图形.可见，正多边形和圆有内在的联系．正n边形的n条对称轴交于一点， 根据正n边形是轴对称图及n条对称轴的位置特征，可知这个交点到正n边形各定点的距离相等，到正n边形各边的距离也相等.

结论：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆为同心圆．圆心就是正多边形对称轴的交点.(如正三角形、正方形)

36

为了今后学习和应用的方便，

我们把正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径． 内切圆的半径叫做正多边形的边心距．

正多边形每一边所对的外接圆圆心角叫做正多边形的中心角．

3、想一想：正多边形旋转对称性

观察正三角形绕着它的中心每旋转多少度可以与它自身重合？正方形呢？正六边形呢？他们具有怎样的旋转对称性？

3600结论：绕中心旋转，都能和原来的图形重合．

n

3．例题分析

如图所示，?已知正六边形ABCDEF的边长为2，求其中心角?6、边心距r6、周长p6和面积S6．

三、巩固练习 练习一

1． ________的多边形叫做正多边形．

2． 正n边形的每条对称轴都通过该正n边形的___________. 3．任何一个正多边形都有一个________圆和________圆，这两个圆是________圆． 4． 正n边形的内角和为________每个内角为________，每个外角为________，每个中心角为________． 练习二

课本p33练习27.6(1)，

四、课堂小结

1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，?正多边形

的中心角，正多边的边心距． 2．正多边形的对称性.

五、作业布置

必做题：练习册：P15，习题27.6（1） 分层题：金牌P32选作两题 七、教学设计说明与反思

(1)正多边形是特殊的多边形，它与圆有类似的特性，同样既是旋转对称图形又是轴对称图形，而且任一正多边形都有外接圆，因此将正多边形整合于圆的

37

讨论之中.

（2）本节新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高.教师在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习.

(3)正多边形是指各边相等、各角也相等的多边形，其边数是大于或等于3的正整数.要从边和角两类元素的数量特征来正确把握正多边形的定义；除三角形以外，多边形的各边相等与各角相等这两者之间没有等价性，为了加深认识，可以适当举一些反例加以说明.

(4) “问题1”是引导学生讨论正多边形的轴对称性.教学时，可根据课本先对边数为3、5、7的正多边形以及边数为4、6、8的正多形的轴对称性分别进行讨论；再结合“试一试”中提出的要求，对“问题1”前面的讨论进行归纳、总结.要使学生确认所有正多边形都是轴对称图形，并知道正多边形的对称轴条数(与边数相同)及分布特点.

(5) “问题2”是引导学生讨论正多边形中心对称性，教学时可类比“问题1”的讨论展开.要对中心对称图形的有关知识进行复习，以便学生理解边数是奇数的正多边形为什么不是中心对称图形.

（6）“想一想”是要让学生知道，任何一个正多边形都具有旋转对称性，一

3600个正n多边形绕着它的中心每旋转，总与原图形重合.

n（7）正多边形的内切圆是指与正多边形的各边都相切的圆，这个圆上的点除切点外都在正多边形内部.本册课本提及正多边形的“内切圆”，主要是为讲述正多边形“中心”的需要；课本中没有给出正多边形的“内切圆”的定义，教学时可对“内切圆”进行直观性解释，但不要对“内切圆”提出其他的教学要求. (8) 可向学生指出正多边形都有外接圆,而多边形不一定有外接圆；课本的有关内容中，隐含了如何画一个正多边形外接圆的方法（也含有画内切圆的方法）. 正多边形的半径也就是这个正多边形的外接圆的半径，实质上两者是统一的；正多边形的半径是正多边形所特有的，如果一个多边形有外接圆，这时不要将它的外接圆的半径表述为多边形的半径.

38

27.6(2)正多边形和圆

一、教学目标设计

知识与技能： 巩固正多边形的概念及其对称性；知道正多边形的中心以及半径、边心距和中心角等概念；巩固正多边形中与边、半径、边心距、中心角等相联系的基本图形，会在正三角形、正方形、正六边形中利用基本图形进行简单的几何计算.

过程与方法：通过基本图形的作图，体会尺规作图；

情感态度与价值观：培养数学素养，用数学的眼光看世界. 二、教学重点及难点

1．重点：正多边形有关概念及正多边形半径、中心角、边心距、?边长之间的关系．

2．难点与关键：通过基本图形使学生理解正多边形半径、中心角、?弦心距、边长四者之间的关系．

三、教学用具准备 圆规、直尺 四、教学流程设计 复习 提问 引入 新课 讲解 新课 新知 应用 巩固 练习 课堂 小结 五、教学过程设计

一、 复习引入

正多边形有关概念及性质 二、例题分析

例1 如图，已知正三角形ABC 的半径为R，求这个正三角形的中心角?3、边长a3、边心距r3、周长p3和面积S3

例2 已知⊙O，试用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形.

三、巩固练习

练习一 课本p35练习27.6(2) 练习二

O A C C 39

1． 正n边形的半径为R， 中心角?n= ；边长an= ；边心距

rn=________，周长pn=________，面积Sn=________．

2、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．

四、课堂小结

1、用基本图形将正多边形的边、半径、边心距和中心角联系起来，把有关边长、半径长、边心距和中心角大小的计算问题转化为解直角三角形的问题. 2．正多边形的画法．

五、作业布置

必做题：练习册：P17，习题27.6（2） 分层题：金牌P34选作2题 七、教学设计说明

(1) 例题1是利用正三角形中的基本图形进行简单的几何计算.要让学生通过本题及练习27.6（2），进一步掌握正多边形的中心角大小与边数n之间的联系，体会正n边形的边长an、半径长Rn、边心距rn、中心角?n（或边数n）这四个量之间的关系，应启发学生根据其中的两个量求出其余的两个量，还有关于正多边形的周长、面积的计算.

(2) 例题2是利用等分圆周画正六边形.完成本题教学后，可让学生思考，还会利用尺规等分圆周的方法画哪些正多边形？再通过练习27.6（2）第4、5题，学会圆的内接正三角形、正方形.

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