第五章时变电磁场题解

第五章时变电磁场题解

第五章 时变电磁场

5-1 如图5-1所示，一个宽为a、长为b的矩形导体框，放置在磁场中，磁感应强度为B B0sin tey。导体框静止时其法线方向en

与ey呈 角。求导体框静止时或以角速度 绕x轴旋转（假定t 0时刻， 0）时的感应电动势。

解 由于 B B0sin tey，据 e

s

B

ds， t

导体框静止时，

B

abcos abcos B0 cos t t

导体框旋转时，

e B ds B abcos t B0sin t abcos t

ts t te

1

B0ab 2 cos2 t abB0 cos2 t

2

5-2 设图5-2中随时间变化的磁场只有z轴分量，并沿y轴按

B Bz(y,t) Bmcos( t ky)的规律分布。现有一匝数为N的线圈平行于xoy平面，以速度v沿y轴方向移动（假定t 0时刻，线圈几何中心处y 0）。求线圈中的感应电动势。 解 据 e v B dl

l

a

设 y1 vt ,

2

a

，则有 2

a a

e Nb v B1 y1 B2 y2 Nb vBm cosk vt cosk vt Nb vBmsin kvt

2 2

y2 vt

5-3 一半径为a的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B中以等角速度 旋转，其轴线与磁场平行。在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷，如图5-3所示。这一装置称为法拉第发电机。

a2B

试证明两电刷之间的电压为。

2解 由于

d

， dt d ， t，v r dt

第五章时变电磁场题解

则有 e v B dl r B dr

l

a

Ba2

2

5-4 设平板电容器极板间的距离为d，介质的介电常数为 0，极板间接交流电源，电压为u Umsin t。求极板间任意点的位移电流密度。 解 对于平板电容器，极间电场为均匀场，

U U D 0Um

cos t 则有 E msin t，D E 0msin t，JD eddd

5-5 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为r1 1cm、长度l 0.5m，r2 4cm，

极板间介质的介电常数为4 0，极板间接交流电源，电压为

u 2sin100 t V。求t 10. s时极板间任意点的位移电流密度。 解 对于同轴圆柱形电容器，由于r l，则极间电场强度和电压分别为

r uu

E ，u ， ln2，因此

r2ln42 r2 2 r1

lnr1

4 u1 cos100 t1u1 D4 0 2 100

，D 0 ，J ln4rln4r tln4r

4 0 2 100 er6.81 10 5

J t 1s erA/m2

ln4rr

E

5-6 当一个点电荷以角速度 作半径为R的圆周运动时，求圆心处位移电流密度的表达式。 解 在圆心处，电位移矢量D 由于

qqR

e ， r

4 R24 R3

r

v r e ，则可得圆心处位移电流为 t Dq Rqqq

sin tex cos tey JD R e e

t4 R3 t4 R34 R24 R2

5-7 一个球形电容器的内、外半径分别为a和b，内、外导体间材料的的介电常数为 、电导率为 ，在内、外导体间加低频电压u Umcos t。求内、外导体间的全电流。

q

， 4 r2

uab1 uab1q 11 qb a

，D 电压 u ，则有E

b arb ar24 ab 4 ab

uab1 Umab1

2 cos t 2 因此，传导电流密度 Jc E

b arb ar

解 对于球形电容器，极间电场强度为 E

第五章时变电磁场题解

D ab1

Um sin t 2 tb arUmabr0

cos t sin t 2 全电流密度 J

b ar

4 Umab

rcos t sin t 全电流 I 4 r2 J

b a

位移电流密度 JD

5-8 在一个圆形平行平板电容器的极间加上低频电压u Umsin t，设极间距离为d，极间绝缘材料的介电常数为 ，试求极板间的磁场强度。 解 圆形平行平板电容器极间的电场强度、电位移矢量及位移电流密度均为均匀

Um D Um uU

cos t sin t，JD 场，即 E msin t，D E

tdddd

Jr U cos t

re 据安培环路定律，可得 H2 r r2JD，则 H D m

22d

5-9 在交变电磁场中，某材料的相对介电常数为 r 81、电导率为 4.2 S/m。

分别求频率f1 1kHz、f2 1MHz、以及f3 1GHz时位移电流密度和传导电流密度的比值。

J 81 8.85 10 12 2 f

解 据 1.07 10 9f，可得

Jc 4.2

f1 1kHz时，f3 1GHz时，

JJD

1.07 10 6；f2 1MHz时，D 1.07 10 3；

JcJc

JD

1.07 Jc

5-10 一矩形线圈在均匀磁场中转动，转轴与磁场方向垂直，转速

n 3000r/min。线圈的匝数N 100，线圈的边长a 2cm、b 2.5cm。磁感应强度B 01. T。计算线圈中的感应电动势。

3000

r/sec 50r/sec，角频率 100 rad/sec 60

线圈截面 S ab，磁通 B ab cos t，磁链 N NBab cos t

解 转速 n 3000r/min

线圈中的感应电动势

d e NBabsin t 100 0.1 0.02 0.025 50 2 sin t 1.57sin t

dt

e有效值 1.11V

5-11图5-4所示的一对平行长线中有电流i(t) Imsin t。求矩形线框中的感应电动势。

第五章时变电磁场题解

解 如图建立坐标系，则线框中任意点的磁感应强度

i i i b a

为 B 2 r b a2 r2 rr b a 元磁通 d Bhdr，则线圈所链绕的磁通

b c i b c b ab c d ln ln ez

b2 b b ab

t c ab ln ez

2 ab c 线圈的感应电动势

d Imhb c a e lncos t dt2 ab c

5-11 一根导线密绕成一个圆环，共100匝，圆环的半径为5cm，如图5-5所示。当圆环绕其垂直于地面的直径以500 r/min的转速旋转时，测得导线的端电压为1.5mV（有效值），求地磁场磁感应强度的水平分量。

500

r/s， 解 转速 n 500r/min 60

2 500

rad/s， 角频率

60

线圈截面 S r2 0.052 0.00785m2

通过线圈的磁通量 BScos t，相应的磁链 N NBScos t，

d

NBS sin t， 则线圈的电动势为 e dt

NBS 100 0.052 2 500

电动势的有效值 e有效值 B 1.5 10 3V

221.5 10 3 2 5

5.16 10T 因此，所求地磁 B 2

100 0.05 2 500

5-13 真空中磁场强度的表达式为H ezHz ezH0sin t x ，求空间的位移电流密度和电场强度。

解 据磁场强度表达式，可得电场强度 E eyE0sin e x ，

0 H0 H0

sin t x ey ，则 E sin( t x)ey，D

0 0 0

D H0

cos t x ey H0cos t x ey 位意电流密度 JD t

又

E

H

5-14 已知在某一理想介质中的位移电流密度为JD 2sin( t 5z)ex A/m2，

介质的介电常数为 0，磁导率为 0。求介质中的电场强度E和磁场强度H。

第五章时变电磁场题解

解 据位移电流表达式，可得 则可得电位移矢量 D 电场强度 E

2

D

2sin t 5z exμA/m2 t

cos e 5z ex，

cos e 5z ex

0 0 E2

磁场强度 H 0cos e 5z ex cos t 5z ey

5

D2

A/m

5-15 由两个大平行平板组成电极，极间介质为空气，两极之间电压恒定。当两

极板以恒定速度v沿极板所在平面的法线方向相互靠近时，求极板间的位移电流密度。

解 设两极板间的初始距离为x0，在时刻t，极板间的距离为x，则x x0 vt， 极间电场强度 E

U UU

，电位移矢量 D 0 0 xxx0 vt

Dv

0U e 2 x t (x0 vt)

因此，位移电流密度 J

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