-实验5

5.1 实验目的与要求

学会用最优化方法和存储论的方法建模。

学会用LINGO软件求解非线性规划（最优化）和存储论的问题。 建立相应的数学模型，并对计算结果进行分析讨论。

5.2 基本实验

1.跟车安全距离的确定

正常驾驶条件下，在道路中接续行驶的车辆，需要保持安全的跟车距离.所 谓安全的跟车距离是指在前方车辆突然停车时，后车制动不会与前车相撞所需要 的最小距离.跟车距离过小，当前车制动时，易发生追尾事故；跟车距离过大， 势必处于频繁被超车状态，也不利于行车安全.

有关部门为了研究车速与刹车距离之间的关系，为安全行车提供技术保障， 对不同车辆和不同驾驶人员作了50次试验，试验数据如表5.1所示.请建立数 学模型，并根据表中的数据，给出车速与跟车的安全距离的近似公式.

表5.1 汽车数据 速度距离 速度距离 速度距离 速度距离（mph） （ft） （mph） （ft） （mph） （ft） （mph） （ft） 1 4 2 14 12 24 27 16 32 40 20 48 2 4 10 15 12 28 28 16 40 41 20 52 3 7 4 16 13 26 29 17 32 42 20 56 4 7 22 17 13 34 30 17 40 43 20 64 5 8 16 18 13 34 31 17 50 44 22 66 6 9 10 19 13 46 32 18 42 45 23 54 7 10 18 20 14 26 33 18 56 46 24 70 8 10 26 21 14 36 34 18 76 47 24 92 9 10 34 22 14 60 35 18 84 48 24 93 10 11 17 23 14 80 36 19 36 49 24 120 11 11 28 24 15 20 37 19 46 50 25 85 12 12 14 25 15 26 38 19 68 13 12 20 26 15 54 39 20 32 提示：可用“总的停车距离=反应距离+刹车距离”进行建模，其中反应距离与驾驶人员的反应时间和速度有关，而刹车距离与行驶车辆的重量和制动的加速度有关.

解：（1）设车速与刹车距离之间的关系：

y??0??1x

其中x为车速，y为刹车距离。现测得50组数据（xi，yi）（i=1，2，…，50） 用平方和最小，估计系数β0和β1 由题意可得目标方程：

min????0??1xi?yi?

?0，?1i?1n2LINGO程序： model: sets:

quantity/1..50/: x,y; endsets

min=@sum(quantity: (B0+B1*x-y)^2); data:

y=2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 46 26 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 68 32 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85;

x=4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25; enddata

@free(B0); @free(B1); End

运行结果：

结果分析：由平方和最小得到的β0=-17.57909，β1=3.932409

车速与刹车距离之间的关系：y=—17.58+3.93x

2.选址问题

计划在丛林中修建2个临时机场为3个野外作业点提供远程加油服务。第1个作业点每月需要油料25吨；第2个作业点位于第1个作业点以东75公里，以北330公里，每月需要油料14吨；第3个作业点位于第1个作业点以西225公里，以南40公里，每月需要油料34吨。请确定2个临时机场的位置，使得每月从机场到作业点的吨公里数最少。

解：设cij为第i个机场到第j个作业点的距离（i=1，2；j=1，2，3），xij为第i

个机场到第j个作业点的运量（i=1，2；j=1，2，3），则

目标函数：minz???cijxij

i?1j?1323约束条件：?xij?qj,j?1,2,3

j?1其中qj为每个作业点的油料用量。

以矩阵A2×2表示机场位置，以矩阵B2×3表示作业点位置，则机场到每个作业点的距离：

dij??ai1?b1j?2??ai2?b2j?2,i?1,2,j?1,2,3

LINGO程序： sets:

coordinate/x, y/; site/1..3/:q; local /P, Q/;

LXC(local, coordinate): A; LXS(local, site): X;

CXS(coordinate, site): B; endsets data:

B = 225, 300, 0, 40,370,0; q = 25, 14, 34; enddata

min = @sum(LXS(i,j):

(@sum(coordinate(k): (A(i, k)-B(k,j))^2))^0.5 * X(i,j)); @for(site(j):

@sum(local(i): X(i,j)) = q(j)); 运行结果：

结果分析：2个临时机场分别建在第1和第2作业点处，建在1第1作业点的机场向第1和第2作业点供应油料，建在第3作业点的机场向第3作业点供应油料，最少吨公里数为4737.816。

3.路灯照明问题

（1）在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2KW和一只3KW的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？

（2）如果3KW的路灯的高度可以在3m和9m之间变化，如何使路面上最暗的亮度最大？

解：根据题意建立如图所示模型，P1=2KW，P2=3KW，S=20m。照度计算公式：

I?kPsin?r2

（k为照度系数，可取为1；P为路灯功率）

设Q点为两盏路灯连线上任意一点，则两盏路灯在Q点的照度分别为：

I1?kP1sin?1R12I2?kP2sin?2R22

又R12?H12?X2，R22?H22?(S?X)2，sin?1?H1/R1，sin?2?H2/R2，故Q点照度为：

I(X)?(P1H1H12?X)23?P2H2(H2?(S?X))223?10(25?X)23?18(36?(20?X))23

目标函数：

maxZ1?minZ2?10(25?X)10(25?X)2323?18(36?(20?X))23

23?18(36?(20?X))约束条件：

0≤X≤20

LINGO程序：

max=10/(25+X^2)^1.5+18/(36+(20-X)^2)^1.5; min=10/(25+X^2)^1.5+18/(36+(20-X)^2)^1.5; X>=0; X<=20; 运行结果：

结果分析：X=19.97670处为最亮点，X=9.33830处为最暗点。（2）目标函数：

maxZ?1018 (25?9.338302)3?(H2?(20?9.33830)2)3约束条件：

3≤H≤9

LINGO程序：

max=10/(25+9.33830^2)^1.5+18/(H^2+(20-9.33830)^2)^1.5; H>=3; X<=9;

运行结果：

结果分析：当H=3时，路面上最暗的亮度最大。

4.库存问题I

（1）某工厂为了满足生产的需要，定期向外单位订购一种零件，假定订货后供货单位能及时供应。这种零件平均日需求为100个，每个零件一天的存储费为0.02元，订货费一次100元。假定不允许缺货，求最佳订购批量、订购时间和单位时间总费用。

（2）在问题（1）中，假定允许缺货，每个零件的缺货损失费为一天0.08元，其他条件不变，求最佳订购批量、订购时间和单位时间总费用。

（3）在问题（1）中，假定供货单位不能及时供应，而是按一定的速度均匀供应，设每天供应量为200个，其他条件不变，求最佳订购批量、订购时间和单位时间总费用。 解：（1）由题意得，需求率D=100个/天，存储费CP=0.02元/个·天，订货费CD=100元/次，则 最佳订货量：

Q*?2CDD/CP?2?100?100/0.02?1000个/次

订货时间：

t*?Q*/D?1000/100?10天

单位时间总费用：

TC*?2CDCPD?2?100?100?0.02?20元/天

（2）由题意得，需求率D=100个/天，存储费CP=0.02元/个·天，订货费CD=100元/次，缺货损失费CS=0.08元/天，则 最佳订货量：

Q*?2CDD(CP?CS)/CPCS?2?100?100?(0.02?0.08)/0.02?0.08?1118个/次

订货时间：

t*?Q*/D?1118/100?11.18天

单位时间总费用：

TC*?2CDCSCPD/(CS?CP)?2?100?100?0.02?0.08/(0.02?0.08)?17.89元/天

（3）由题意得，需求率D=100个/天，存储费CP=0.02元/个·天，订货费CD=100元/次，生产率P=200个/天，则 最佳订货量：

Q*?2CDD/CP(1?D/P)?2?100?100/0.02?(1?100/200)?1414个/次

订货时间：

t*?Q*/D?1414/100?14.14天

单位时间总费用：

TC*?2CDCPD(1-D/P)?2?100?100?0.02?(1?100/200)?14.14元/天

5.库存问题II

某类货物的日消耗量是30件，每天每件库存的费用为0.05元，订货费100元。假设不允许缺货，而且一次购买量不超过600件时，采购单价为10元，否则为8元。订货提前时间为21天，请求出最优库存策略。

解：由题意得，需求率D=30件/天，存储费CP=0.05元/个·天，订货费CD=100元/次，采购费C(Q)=10元/见(Q≤600) or 8元/件(Q>600)，则 目标函数：minTC(Q)=CPQ/2+CDD/Q+C(Q)D 约束条件：Q≤600，C(Q)=10；Q>600，C(Q)=8 LINGO程序：

min=CP*Q/2+CD*D/Q+CQ*D; D=30;CP=0.05;CD=100; CQ=@if(Q#le#600,10,8); 运行结果：

结果分析：最低费用为260元/天，一次采购量为600件，提前订货时间为21天，再订货点为21D=630件。故最优库存策略为当存储量降至630件时，订货600件。最优库存总费用为260元/天。 6.航空机票超订票问题

（1）已知飞机的有效载客量为150人，机票价格为1500元。根据公司的长期统计，每个航班旅客的退票和改签发生的人数如表5.2所示。在登机旅客多于座位数的情况下，航空公司规定：超员旅客改乘本公司下一航班，机票免费（即退回原机票款）；若改乘其他航空公司的航班，按机票的105%退款。据统计前一类旅客占超员旅客的80%，后一类旅客占20%。问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小。

表5.2 航班旅客退票和改签人数概率表

人数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 概率 0.18 0.25 0.25 0.16 0.06 0.04 0.03 0.02 0.01 （2）求航空公司多售出的票数和公司的预期收益。

解：设飞机的有效载客数为N，超订票数为S（售出票数为N+S），k为每个座位的盈利值，h1为80%超员旅客的赔偿值，h2为20%超员旅客的赔偿值。

设x是购票未登机的人数。当x≤S时，有S-x个人购票不能登机，航空公司要为这部分旅客进行补偿。当x>S时，有x-S个座位没有人坐，航空公司将损失应得的利润。因此，只要计算出超订票数S=0，1，2?的期望值，并比较它们的大小，就可以计算出最优的超订票数和最大盈利的期望值。该航空公司所获得的盈利的期望值表达式为：

Ei?超订票数i?1盈利的期望值?P{该旅客乘机}?P{该旅客有座位}?每个座位的盈利 ?P{该旅客乘机}?P{该旅客无座位}?该旅客的补偿LINGO程序： model:

sets:

probability/1..9/: p; extra/1..8/: S; endsets data:

p = 0.18 0.25 0.25 0.16 0.06 0.04 0.03 0.02 0.01; enddata N = 150; k = 1500;

h = 1500*0.8+1500*1.05*0.2;

@for(extra (i) : S(i) = k*N - (h*@sum(probability(j)|j#LE#i:(i-j+1)*p(j)) + k*@sum(probability(l)|l#LE#(8-i):(9-l-i)*p(10-l)))); end

运行结果：

结果分析：航空公司多售出2张票时，预期收益最大为223055.9元。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/38cw.html