【备战2022】(湖北版)高考数学分项汇编 专题07 不等式(含解析)

专题七 不等式

一．选择题

1. 【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：

①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件.

其中真命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<

2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

3.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷1】集合P ＝｛x |x 2

－16<0｝,Q ＝｛x |x ＝2n ，n ∈Z ｝,则P Q ＝（ ） A.｛-2,2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛－2，0，2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝

【答案】C

【解析】

试题分析：P ＝｛x |x 2－16<0｝＝｛x |－4

4.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】设f(x)＝x x -+22lg ，则)2()2(x

f x f +的定义域为（ ） A. ），（），（－4004 B.(－4,－1) (1，4) C. (－2,－1) (1，2) D. (－4,－2) (2，4)

【答案】B

【解析】

试题分析：f （x ）的定义域是（－2，2），故应有－2<

2x <2且－2<2x

<2解得－4

x y x ?≤????的点(,)x y 的集合用阴影表示为下列图中的（ ）

【答案】 C

【解析】 试题分析：将所给的二元不等式给在平面直角坐标系xOy 中画出，便知C 正确.

6.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）

A.2000元

B.2200元

C.2400元

D.2800元

【答案】B

【解析】

试题分析：设甲型货车使用x 辆，已型货车y 辆.则04082010100x y y ≤≤??≤≤??+≤?

,求Z=400x +300y 最小值.可求出最优

解为（4，2）故min 2200Z =故选B.

7.【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】直线0102=-+y x 与不等式组???????≤+-≥-≥≥20

34,2,0,0y x y x y x 表示的平面区域的公共点有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．无数个

8.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】设,,a b c +∈R ，则“1abc =”是“1

1

1

a b c a b c ++≤++”的（ ）

A ．充分条件但不是必要条件

B ．必要条件但不是充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要的条件

9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名

客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）

A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元

【答案】C

【解析】

试题分析：设需A，B型车分别为x，y辆(x，y∈N)，则x，y需满足

3660900,

7,

,,

x y

y x

x y

+≥

?

?

-≤

?

?∈∈

?N N

设租金为z，则z

＝1 600x＋2 400y，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x＝5，y＝12，此时z最小等于36 800，故选C.

10.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷4】若变量x 、y 满足约束条件??

???≥≥≤-≤+0,024y x y x y x ，则y

x +2的最大值是（ ）

A.2

B.4

C.7

D.8

【答案】C

【解析】

试题分析：不等式组表示的平面区域如图的四变形OABC （包括边界），解方程组???=+=-4

2y x y x 得点)1,3(B ，

令y x z +=2，平移直线y x z +=2经过点B 使得z 取得最大值，即7132=+?=Max z .选

C.

二．填空题

1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷13】函数x x x x f ---=

4lg 3

2)(的定义域是 .

【答案】{x|3

【解析】 试题分析：x 必须满足402030x x x ->??-≥??-≠?

解之得,∴函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是{x|3

.

3.【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷11】设变量x y ，满足约束条件30023x y x y x -+??+??-?

≥，≥，≤≤，则目标函

数2x y +的最小值为 . 【答案】32-

【解析】

试题分析：由约束条件得如图所示的三角形区域， 令2,2x y z y x z +==-+，显然当平行直线过点

33,22??- ???

时，z 取得最小值为32-.

4.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷12】已知：

2,x y -式中变量,x y 满足的束条件,1,2y x x y x ≤??+≥??≤?

则z 的最大值为______.

2510

C

B

A

2

1O 5.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】若变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-??+≥??-≤?

则目标函数

23z x y =+的最小值是 .

【答案】2

【解析】 x y

o 32

- 3

试题分析：（解法一）作出不等式组

1,

1,

33

x y

x y

x y

-≥-

?

?

+≥

?

?-≤

?

所表示的可行域(如下图的ABM

?及其内部）.

端点，目标函数取得最小值. 来年需注意线性规划在生活中的实际应用.

6.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈?x ，)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是

.

7. 【2015高考湖北，文12】若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤??-≤??-≥?

则3x y +的最大值是_________．

【答案】10. 【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数3z x y =+过点(3,1)B 取得最大值，即max 33110z =?+=，故应填10

.

【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.

三．解答题

1. 【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？

2.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。

（Ⅰ）将y表示为x的函数：

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

104403603602252

≥-+=∴x

x y .当且仅当225x=x 2360时，等号成立. 即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

3.【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．的一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）

)()(x v x x f ?=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

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