2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第33讲 圆锥曲线方程及性
更新时间:2023-03-08 04:47:22 阅读量: 高中教育 文档下载
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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案
第33讲 圆锥曲线方程及性质
一.课标要求:
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质;
3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。
二.命题走向
本讲内容是圆锥曲线的基础内容,也是高考重点考查的内容,在每年的高考试卷中一般有2~3道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质,从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例,且选择题、填空题和解答题都涉及到,客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。
对于本讲内容来讲,预测2013年:
(1)1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题;
(2)可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用,结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三.要点精讲
1.椭圆 (1)椭圆概念
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)
的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点,则有|MF1|?|MF2|?2a。
x2y2椭圆的标准方程为:2?2?1(a?b?0)(焦点在x轴上)或
aby2x2?2?1(a?b?0)(焦点在y轴上)。 2ab注:①以上方程中a,b的大小a?b?0,其中c2?a2?b2;
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x2y2y2x2②在2?2?1和2?2?1两个方程中都有a?b?0的条件,要分
ababx2y2清焦点的位置,只要看x和y的分母的大小。例如椭圆??1mn22(m?0,n?0,m?n)当m?n时表示焦点在x轴上的椭圆;当m?n时表示焦点在y轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
x2y2①范围:由标准方程2?2?1知|x|?a,|y|?b,说明椭圆位于直ab线x??a,y??b所围成的矩形里;
②对称性:在曲线方程里,若以?y代替y方程不变,所以若点(x,y)在曲线上时,点(x,?y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称,同理,以?x代替x方程不变,则曲线关于y轴对称。若同时以?x代替x,?y代替y方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x轴、
,()?b,在椭圆的标准方程中,令x?0,得y??b,则B10y轴的交点坐标。
B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y?0得x??a,即A1(?a,0),
A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的
顶点。
同时,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
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由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在
Rt?OB2F2中,|OB2|?b,|OF2|?c,|B2F2|?a,且|OF2|2?|B2F2|2?|OB2|2,
即c2?a2?c2;
④离心率:椭圆的焦距与长轴的比e?c叫椭圆的离心率。a∵a?c?0,∴0?e?1,且e越接近1,c就越接近a,从而b就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a?b时,c?0,两焦点重合,图形变为圆,方程为x2?y2?a2。
2.双曲线 (1)双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(||PF1|?|PF2||?2a)。
注意:①(*)式中是差的绝对值,在0?2a?|F1F2|条件下;|PF1|?|PF2|?2a时为双曲线的一支(含F2的一支);|PF2|?|PF1|?2a时为双曲线的另一支(含F1的一支);②当2a?|F1F2|时,||PF1|?|PF2||?2a表示两条射线;③当2a?|F1F2|时,
||PF1|?|PF2||?2a不表示任何图形;|F1F2|叫做焦距。④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点,
椭圆和双曲线比较: 定义 方程 焦点
椭 圆
双 曲 线
|PF1|?|PF2|?2a(2a?|F1F2|)
x2y2?2?1 2abx2y2?2?1 2ba||PF1|?|PF2||?2a(2a?|F1F2|)
x2y2?2?1 2aby2x2?2?1 2abF(?c,0) F(0,?c) F(?c,0) F(0,?c)
注意:如何有方程确定焦点的位置!
(2)双曲线的性质
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x2y2①范围:从标准方程2?2?1,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线
abx??a的外侧。即x2?a2,x?a即双曲线在两条直线x??a的外侧。
x2y2②对称性:双曲线2?2?1关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双
abx2y2曲线的对称轴,原点是双曲线2?2?1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中
ab心。
x2y2③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2?2?1的方程里,
ab对称轴是x,y轴,所以令y?0得x??a,因此双曲线和x轴有两个交点
x2y2A(?a,0)A2(a,0),他们是双曲线2?2?1的顶点。 ab令x?0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。 1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2)实轴:线段AA2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段BB2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为x2y2双曲线的渐近线。从图上看,双曲线2?2?1的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接
ab近。
⑤等轴双曲线:
1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:a?b;
2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:y??x ;(2)渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。
3)注意到等轴双曲线的特征a?b,则等轴双曲线可以设为:x?y??(??0) ,
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当??0时交点在x轴,当??0时焦点在y轴上。
x2y2y2x2⑥注意??1与??1的区别:三个量a,b,c中a,b不同(互换)c相同,
169916还有焦点所在的坐标轴也变了。
3.抛物线 (1)抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。
方程y?2px2?p?0?叫做抛物线的标准方程。
p,0),它的准线方2注意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(程是x??p ; 2(2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:y??2px,x?2py,x??2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表: 222标准方程
l y2?2px(p?0)y2??2px(p?0)x2?2pyx2??2py(p?0)y y (p?0) x y l F x l
x o F o F o 图形
焦
p(,0)2(?p,0)2p(0,)2p(0,?)221世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
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点坐标
准
线方程
范围
对称性
顶点
离心率
x??p2
x?p2
y??p2
y?p2
x?0
x?0
y?0
y?0
x
x
y
y轴
(0,0)轴
(0,0)轴
(0,0)轴
(0,0)
e?1
e?1 e?1
e?1
说明:(1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;(2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3)注意强调p的几何意义:是焦点到准线的距离。
四.典例解析 题型1:椭圆的概念及标准方程
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(?4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0,?2)、(0,2),并且椭圆经过点
35(?,); 22(3)焦点在x轴上,a:b?2:1,c?b;
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(4)焦点在y轴上,a2?b2?5,且过点(?2,0); (5)焦距为b,a?b?1;
(6)椭圆经过两点(?,),(3,5)。
x2y2解析:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0),
ab∵2a?10,c?4,∴b?a?c?9,
2223522x2y2所以,椭圆的标准方程为??1。
259y2x2(2)∵椭圆焦点在y轴上,故设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0),
ab由椭圆的定义知, 3535312a?(?)2?(?2)2?(?)2?(?2)2?10?10?210,
222222∴a?10,又∵c?2,∴b?a?c?10?4?6, 222y2x2所以,椭圆的标准方程为??1。 106222(3)∵c?6,∴a?b?c?6,① 又由a:b?2:1代入①得4b2?b2?6, ∴b?2,∴a?8,又∵焦点在x轴上, 22x2y2所以,椭圆的标准方程为??1。
82y2x2(4)设椭圆方程为2?2?1,
ab ∴
22,∴b?2, ?12b22 又∵a?b?5,∴a?3,
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y2x2所以,椭圆的标准方程为??1.
32(5)∵焦距为6,∴c?3,
∴a?b?c?9,又∵a?b?1,∴a?5,b?4,
222x2y2y2x2所以,椭圆的标准方程为??1或??1.
25162516x2y2(6)设椭圆方程为??1(m,n?0),
mn52?32(?)()?2?2?1? 由?m得m?6,n?10, n?35???1?mny2x2所以,椭圆方程为???1. 106点评:求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义,还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。
例2.(1)已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-23,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 。
(2)椭圆的中心为点E(?1,0),它的一个焦点为F(?3,0),相应于焦点F的准线方程为x??7,则这个椭圆的方程是( ) 2
2(x?1)22y2??1 A.
213(x?1)2?y2?1 C.
52(x?1)22y2??1 B.
213(x?1)2?y2?1 D.
5
?b2?4??2y2?a?2b,c?23?x2??a?16???1为所求; 解析:(1)已知??222164?a?b?c????F(?23,0)(2)椭圆的中心为点E(?1,0),它的一个焦点为F(?3,0),
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∴ 半焦距c?2,相应于焦点F的准线方程为x??.
72a25(x?1)2222∴ ?,a?5,b?1,则这个椭圆的方程是?y?1,选D。
c25点评:求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。 题型2:椭圆的性质
例3.(1)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )
(A)2 (B)
221 (C) (D) 242x2y2(2)设椭圆2?2=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于x
ab轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是 。 x2y22b2a2解析:(1)不妨设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),则有?2且?c?1,据
acab此求出e=2,选B。 22b21(2);解析:由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为, a22b2a221c11??c,∴?,∴?,即e=。 ∴acaca22点评:本题重点考查了椭圆的基本性质。 例4.(1)椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到其准线距离是( ) A.
3 4 B.
45 5C.
83 5 D.
43 3x2y2?(2)椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,123那么|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍
B.5倍
C.4倍
D.3倍
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a2解析:(1)D;由题意知a=2,b=1,c=3,准线方程为x=±,
c∴椭圆中心到准线距离为
43. 3(2)A;不妨设F1(-3,0),F2(3,0)由条件得P(3,±33),即|PF2|=,22|PF1|=
147,因此|PF1|=7|PF2|,故选A。 2点评:本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想,具有较强的思辨性,是高考命题的方向。
题型3:双曲线的方程
例5.(1)已知焦点F1(5,0),F2(?5,0),双曲线上的一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程; x2y2(2)求与椭圆??1共焦点且过点(32,2)的双曲线的方程;
255(3)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点P1,P2坐标分别为
9(3,?42),(,5),求双曲线的标准方程。 4解析:(1)因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x2y2?2?1(a?0,b?0), 2ab∵2a?6,2c?10,∴a?3,c?5,∴b?5?3?16。
222x2y2??1; 所以所求双曲线的方程为
916x2y2,(25,,0可)以设双曲线的方程为??1的焦点为(25,0)?(2)椭圆
255x2y222??1,则a?b?20。 a2b2又∵过点(32,2),∴
182??1。 a2b221世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
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x2y2综上得,a?20?210,b?210,所以??1。
20?21021022点评:双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量a,b,c之间的关系。
(3)因为双曲线的焦点在y轴上,所以设所求双曲线的标准方程为
y2x2?2?1(a?0,b?0)①; 2ab∵点P1,P2在双曲线上,∴点P1,P2的坐标适合方程①。
?(?42)232?2?1?2b9?a将(3,?42),(,5)分别代入方程①中,得方程组:? 924?25()?2?42?1b?a1?1??11?a216将2和2看着整体,解得?, ab?1?1??b292?y2x2?a?16∴?2即双曲线的标准方程为??1。 169??b?9点评:本题只要解得a,b即可得到双曲线的方程,没有必要求出a,b的值;在求解的过程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚。 例6. 已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4,则双曲线的标准方程是____________________. 解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与
22x2y2??1;虚轴长之比为5:4,即c:b?5:4,解得c?5,b?4,则双曲线的标准方程是 916点评:本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质,数形结合,更为直观简捷。 题型4:双曲线的性质
x2y2例7.(1)已知双曲线2?2?1(a>0,b<0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°
ab21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
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的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
y2(2)过双曲线M:x?2?1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条
b2渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )
A.10 B.5 C.
105 D. 32x2y2π
(3)已知双曲线2 - =1(a>2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为
a23( )
2623A.2 B.3 C. D. 33
x2y2解析:(1)双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60o的
ab直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率2a2?b2bb2c,∴ ≥3,离心率e=2?≥4,∴ e≥2,选C。 2aaaay2(2)过双曲线M:x?2?1的左顶点A(1,0)作斜率为1的直线l:y=x-1, 若l与
b2y2双曲线M的两条渐近线x?2?0分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2), 联立方程组代入
b2消元得(b?1)x?2x?1?0,
222?x?x???121?b2∴ ?,x1+x2=2x1x2,
1?x?x?12?1?b2?1?x???14又|AB|?|BC|,则B为AC中点,2x1=1+x2,代入解得?,
1?x??2??221世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
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∴ b2=9,双曲线M的离心率e=
c?10,选A。 ax2y22?3π
(3)双曲线2?则?tan?,∴ a2=6,?1(a>2)的两条渐近线的夹角为3 ,
a63a223
双曲线的离心率为 ,选D。
3
点评:高考题以离心率为考察点的题目较多,主要实现a,b,c三元素之间的关系。
x2y2例8.(1)P是双曲线-=1的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4
916和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( ) A. 6 B.7 C.8 D.9 (2)双曲线mx?y?1的虚轴长是实轴长的2倍,则m? A.?2211 B.?4 C.4 D. 442x,
(3)如果双曲线的两个焦点分别为F1(?3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y?那么它的两条准线间的距离是( )
A.63 B.4 C.2 D.1
解析:(1)设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9故选B。
(2)双曲线mx?y?1的虚轴长是实轴长的2倍,∴ m<0,且双曲线方程为
22x21??y2?1,∴ m=?,选A。
44(3)如果双曲线的两个焦点分别为F1(?3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y? 2x,
?a2?b2?9?a2?3a2??2,选C。 ∴ ?b,解得?2,所以它的两条准线间的距离是2?c?2?b?6??a点评:关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。 题型5:抛物线方程
例9.(1))焦点到准线的距离是2;
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(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,?2),求它的标准方程。 解析:(1)y2=4x,y2=?4x,x2=4y,x2=?4y;
方程是x2=?8y。
点评:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解。 题型6:抛物线的性质
x2y2例10.(1)若抛物线y?2px的焦点与椭圆??1的右焦点重合,则p的值为
622( )
A.?2 B.2 C.?4 D.4 (2)抛物线y?8x的准线方程是( ) (A) x??2 (B) x??4 (C) y??2 (D) y??4 (3)抛物线y2?4x的焦点坐标为( ) (A)(0,1). (B)(1,0). (C)(0,2). (D)(2,0)
2x2y2解析:(1)椭圆??1的右焦点为(2,0),所以抛物线y2?2px的焦点为(2,0),
62则p?4,故选D;
(2)2p=8,p=4,故准线方程为x=-2,选A;
(3)(直接计算法)因为p=2 ,所以抛物线y2=4x的焦点坐标为 应选B。
点评:考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。 例11.(1)抛物线y??x上的点到直线4x?3y?8?0距离的最小值是( ) A.
2。
478 B. C. D.3 35521世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
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(2)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在y轴上; ②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; ④抛物线的通径的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)。
(3)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,2] C.[0,2]
D.(0,2)
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是 .(要求填写合适条件的序号) 解析:(1)设抛物线y??x上一点为(m,-m2),该点到直线4x?3y?8?0的距离
2|4m?3m2?8|24为,当m=时,取得最小值为,选A;
335(2)答案:②,⑤ 解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤。 (3)答案:B y解析:设点Q的坐标为(0,y0), 4y02由 |PQ|≥|a|,得y0+(-a)2≥a2. 4整理,得:y02(y02+16-8a)≥0, ∵y02≥0,∴y02+16-8a≥0.
22y0y0即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2.
88∴a≤2.选B。
点评:抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。
22五.思维总结
在复习过程中抓住以下几点:
(1)坚持源于课本、高于课本,以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》.
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并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定,其实质是精通课本,而本章考题大多数是课本的变式题,即源于课本,因此掌握双基、精通课本是关键;
(2)在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算;
(3)焦半径公式:抛物线上一点P(x1,y1),F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p>0):
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(2)在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算;
(3)焦半径公式:抛物线上一点P(x1,y1),F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p>0):
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