初中数学竞赛——换元法和待定系数法

初一数学联赛班

第3讲 换元法和待定系数法

7 年级

典型例题

一. 换元法

【例1】 分解因式：x6?28x3?27

【例2】 分解因式：(a?b)4?(a?b)4?(a2?b2)2

【例3】 分解因式：a4?44?(a?4)4

【例4】 分解因式：(y?1)4?(y?3)4?272

思维的发掘

1

能力的飞跃

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【例5】 分解因式：(y?1)3?(y?3)3?4(3y?5)

【例6】 分解因式：(x2?4x?8)2?3x(x2?4x?8)?2x2

【例7】 证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.

【例8】 分解因式：(x?1)(x?1)(x?3)(x?5)?9

思维的发掘

能力的飞跃

2

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【例9】 分解因式：(x2?7x?6)(x2?x?6)?56.

【例10】 分解因式：x4?1998x2?1999x?1998

【例11】 分解因式：4(x?5)(x?6)(x?10)(x?12)?3x2

【例12】 分解因式：(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)?a(a?b?c)(a?b?c)?b(a?b?c)(b?c?a)?

c(b?c?a)(a?b?c).

思维的发掘

能力的飞跃

3

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【例13】 分解因式：(x?3)(x2?1)(x?5)?20.

【例14】 分解因式：x4?2x3?x2?1?2(x?x2).

【例15】 分解因式：(x2?y2?2x?1)2?(4y?4xy)(x2?y2?2x?1).

【例16】 分解因式：(1?xy)2?(x?y?2)(x?y?2xy).

思维的发掘

能力的飞跃

4

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【例17】 证明：对任意自然数n，都存在一个自然数m，使得mn?1是一个合数.

(1?x?x2?x3)2?x3【例18】 化简：.

1?x?x2?x3?x4

【例19】 将51995?1分解成三个整数之积，且每一个因数都大于5100.

二. 待定系数法

【例20】 分解因式：x4?x3?2x2?x?3

思维的发掘

能力的飞跃

5

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7. 分解因式：a(b?c?a)2?b(c?a?b)2?c(a?b?c)2?(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c).

8. 求证：有无数多个自然数a，使得对任何自然数n，数z?n4?a均为合数.

9. 分解因式：2x4?x3?2x2?1.

10. 确定k的值，使下列各式分解成关于x、y的两个一次式的积.

（1）x2?y2?kx?5y?6. （2）x2?7xy?ky2?5x?43y?24.

思维的发掘

能力的飞跃

11

11. 将分式

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2x?1分解为部分分式. 2x?3x?212. 若13x3?mx2?11x?n能被13x2?6x?5整除，求整数m，n的值.

13. 若a2?2a?5是a4?ma2?n的一个因式，那么mn的值为多少？

14. 已知多项式ax3?bx2?cx?d被x2?p整除，求证：ad?bc.

思维的发掘 能力的飞跃

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3863.html