吉林省实验中学2014届高三年级第一次模拟数学文试题

吉林省实验中学2014届高三年级第一次模拟

数学文试题

一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A?{1,2},B?{a,b},若A?B?{},则A?B为( )

a12111222102.设i是虚数单位，若复数a?(a?R)是纯虚数，则a的值为（ ）

3?iA．{,1,b} B．{?1,} C．{1,} D．{?1,,1}

12A．?3 Ｂ． ?1 Ｃ．1 Ｄ．3

3.已知直线l ⊥平面?，直线m?平面?，则“?∥?”是“l ⊥m”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4.若{an}为等差数列，Sn是其前n项和，且S11?A.3

B.?3

C.?3

22?，则tana6的值为（ ） 3

D.?

3 35.函数f(x)?cos2x?sin(5??x)是（ ） 2A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数

C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数

6.在?ABC中，D是AB中点，E是AC中点，CD与BE交于点F,

????????????????设AB?a,AC?b,AF?xa?yb，则(x,y)为（ ）

A.(,) B.(,) C. (,) D. (,)

11222233113321327.已知函数f(x)???0,x?0?e,x?0x，则使函数g(x)?f(x)?x?m有零点的实数m的取值范

围是（ ）

A. [0,1) B.(??,1) C.(??,1]?(2,??) D. (??,0]?(1,??)

y28.如图，F1，F2是双曲线C1：x??1与椭圆C2的公共

32y A 焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是（ ） A．

F1 O F2 x 22221 B． C.或 D． 8题图) (第335 35·1·

9.某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体 的体积等于（ ）

A．10 cm3 B．20 cm3

C．30 cm3 D．40 cm3

24 3 5 正视图 3 俯视图

(第9题图)

侧视图 10.已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y?4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值( )

A.2 B.3 C.

11.已知正三棱锥P-ABC，点P、A、B、C都在半径为3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（ ） A．2 B.

1137 D. 5163 C.

323 D. 33lg2x11212.已知函数f(x)(x?R)满足f(1)?1,且f?(x)?,则不等式f(lgx)??的

222解集为（ ） A．(0,111) B．(0,)?(10,??) C．(,10) 101010 D．(10,??)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.设?为锐角，若cos(??

?x≥1?1?14.设x，y满足约束条件?y≥x，向量a?(y?2x，m)， b?(1，?1)，且a//b，则m的

2???2x?y≤10?6)?4?，则sin(2??)?________ 53最小值为 ．

·2·

15.若直线2ax?by?2?0(a?0,b?0)被圆x?y?2x?4y?1?0截得的弦长为4 则

16.已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列?xn?是一个公差为2的等差数列，且满足

2211?的最小值是 . abf(x8)?f(x9)?f(x10)?f(x11)?0.则x2014?_______.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本题满分12分)

222已知a,b,c是△ABC三边长且a?b?c?ab，△ABC的面积S?103,c?7.

（Ⅰ）求角C； （Ⅱ）求a,b的值.

18.(本题满分12分)

已知各项均为正数的等比数列{an}的首项为a1＝2，且4a1是2a2，a3等差中项． （1）求数列{an}的通项公式an；

（2）若bn＝anlog2an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn．

·3·

19.(本题满分12分)

如图,ABCD是边长为2的正方形，ED?平面ABCD，ED?1，EF//BD且EF?（1）求证:BF∥平面ACE；

（2）求证:平面EAC?平面BDEF （3）求几何体ABCDEF的体积

20.(本题满分12分)

1BD. 231x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，经过点P(1,),离心率e? ,直线l的方程为 x?4.

22ab(1)求椭圆C的方程；

(2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线l与直线AB相交于点M，记PA、PB、PM的

斜率分别为k1,k2,k3，问：是否存在常数?，使得k1?k2??k3？若存在，求出?的值，若不存在，说明理由.

21. (本题满分12分)

已知函数f(x)?ax?e(a?0). （1）若a?xy P l M O F A B x 1，求函数f(x)在x?1处的切线方程； 2（2）当1?a?e?1时，求证：f(x)?x.

·4·

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

22.(本题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D， DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。 （I）求证：DE是⊙O的切线； （II）若

AC2AF的值. ?,求AB5DF

23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

?x?1?cos?(?为参数） 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程?．以O为极点，

y?sin??x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l的极坐标方程是?(sin??3cos?)?33，射线OM:??交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

24.(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)?|x?a|.

（1）若f(x)?m的解集为{x|?1?x?5}，求实数a,m的值。 （2）当a?2且0?t?2时，解关于x的不等式f(x)?t?f(x?2)。

?3与圆C的

·5·

参考答案

一、选择题：每小题5分，共60分.在每个选项中只有一项符合题目要求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 D D A B D C D B B A 二、填空题：每小题5分，共20分. 13.

11 C 12 B 24 14.?6 15. 4 16. 4009 25三、解答题

17.(本题满分12分)

a2?b2?c21?????3分 （?）?a?b?c?ab,?cosC?2ab2222又?0?C???C??3???6分

??1absin?103??23?S?103,C?7?????8分 （II）?C2?a2?b2?2abcos??3??ab?40?a?5?a?8??2???10分??或????12分 2b?8b?5a?b?89???

19.

·6·

?ED?平面ABCD,AC?平面ABCD，?ED?AC． ?ABCD为正方形?BD?AC,又ED?BD?D?AC?平面BDEF，

又AC?平面EAC，?平面EAC?平面BDEF………8分 （3）因为ED?平面ABCD∴ED?BD又?EF∥BD且EF=

12BD， ?BDEF是直角梯形，又?ABCD是边长为2的正方形，BD?22,EF?2?梯形BDEF的面积为（2?22）?12?322，由（1）知AC?平面BDEF，

所以几何体的体积

V2V1132ABCDEF?A?BDEF?2?3SBDEF?AO?2?3?2?2?2.………12分

20．（1）由点P(1,3)在椭圆上得，

1a2?94b2?1 ①又e?1c122,所以a?2 ②

由 ①②得c2?1,a2?4,b2?3，故椭圆C的方程为x24?y23?1.......4分 （2）假设存在常数?，使得k1?k2??k3.

由题意可设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y?k(x?1) ③

代入椭圆方程x24?y23?1并整理得(4k2?3)x2?8k2x?4(k2?3)?0 ·7·

2）

（

8k24(k2?3)设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1?x2? ④......6分 ,x1x2?224k?34k?333y2?2,k?2, 在方程③中，令x?4得，M(4,3k)，从而k1?2x1?1x2?1y1?32?k?1.又因为A、F、B共线，则有k?k?k， k3?AFBF4?123k?即有

y1y?2?k x1?1x2?133y2?2?2?y1?y2?3(1?1) 所以k1?k2?x1?1x2?1x1?1x2?12x1?1x2?1x1?x2?23=2k?. ⑤

2x1x2?(x1?x2)?1y1?8k2?22314k?3将④代入⑤得k1?k2?2k?.，又， k?k??2k?1324(k2?3)28k2?2?124k?34k?3所以k1?k2?2k3

故存在常数??2符合题意......12分

111x21．（1）当a?时，f(x)?x?e,f(1)??e

22211f'(x)??ex,f'(1)??e,???3分

2211故函数f(x)在x?1处的切线方程为y??e?(?e)(x?1),

22即(?e)x?y?0???6分

（2）令g(a)?x?f(x)??ax?x?e， 只需证明g(a)?0在1?a?e?1时恒成立

x12g(1)??x?x?ex?ex?0 ① g(1?e)??x(?1e?)x?ex?ex?ex

设h(x)?e?ex,则h(x)?e?e???8分

·8·

x'x当x?1时，h'(x)?0;当x?1时，h'(x)?0. 当x?1时，h'(x)?0;当x?1时，h'(x)?0.

∴h(x)在（-?，1）单调递减；在（，1+?)单调递增. ∴h(x)?h(1)?e?e.1?0，即g(1?e)?0 ② ……10分 由①②知，g(a)?0在1?a?e?1时恒成立 故当1?a?e?1时，f(x)?x???12分

22．（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分

∴OD//AE 又AE⊥DE …………………………………3分 ∴OE⊥OD，又OD为半径

∴DE是的⊙O切线 ………………………5分 （II）解：过D作DH⊥AB于H，

则有∠DOH=∠CAB

cos?DOH?cos?CAB?AC2? …………6分 AB5设OD=5x，则AB=10x，OH=2x， ?AH?7x

由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x ……………8分 又由△AEF∽△DOF 可得AF:DF?AE:OD?7 5?AF7? ……………………………………………………10分 DF5·9·

24.解：（1）?x?a?m,?a?m?x?a?m??1?x?5?a?m??1?a?2??,??.................................................................5分?a?m?5?m?3（2）?a?2?x?2?t?x当x?2时，x?2?t?x,?0?t?2,?舍去当0?x?2时,2?x?t?x?0?x?当x?0时,2?x?t??x?成立?解集为（??,

t?2,成立2t?2]...................................................................10分2·10·

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