高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题八系列4选讲第一讲坐

专题八 系列4选讲 第一讲 坐标系与参数方程适考素能特训 文

1．[2016·合肥质检]在直角坐标系xOy 中，曲线C ：??? x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α＋1

(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρsi n θ＋ρcos θ＝m . (1)若m ＝0时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；

(2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为

22，求实数m 的取值范围． 解 (1)曲线C 的普通方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2，是一个圆；当m ＝0时，直线l 的

直角坐标方程为：x ＋y ＝0，

圆心C 到直线l 的距离为d ＝

|1＋1|12＋12＝2＝r ，r 为圆C 的半径，所以直线l 与圆C 相切．

(2)由已知可得，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1－m|12＋12

≤322，解得－1≤m ≤5. 2．[2016·湖南四校联考]已知直线l 的参数方程为????? x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝

4si n ?

????θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；

(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4si n ?

????θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围． 解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4si n ?

????θ－π6， 所以ρ2＝4ρsi n ? ????θ－π6＝4ρ? ??

??32sin θ－12cos θ 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ，

所以x 2＋y 2＝23y －2x ，

所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.

(2)设z ＝3x ＋y ，

由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0?(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，

所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2，

将????? x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y 得z ＝－t .

又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2，

所以－2≤－t ≤2，

即3x ＋y 的取值范围是[－2,2]．

3．[2016·山西质检]已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：??? x ＝6cos φ，y ＝2sin φ

(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．

(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程； (2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．

解 (1)C 1：ρsi n ?

????θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ? ????32，12， ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6

， 把θ＝π6代入ρsi n ? ????θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ?

????1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin2θ得ρ2＝2，Q ?

????2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.

4．[2016·长春质量监测]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为??? x ＝2＋tcos α，y ＝3＋tsin α(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ? ??

??θ－π3. (1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．

解 (1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ?

????θ－π3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsi n θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，其表示一个圆．

(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得：t 2－23si n α·t －13＝0，|AB |＝|t 1－t 2|＝＋－4t1t2＝3sin α－－＝12sin2α＋52，因此|AB |的最

小值为213，最大值为8.

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