高中数学 函数模型及其应用人教版必修1

一次函数模型【例1】 某商人购货，进价已按原价a元扣去25%, 他希望对货物订一个新价，以便按新价 让利20%后仍可获得售价25%的纯利，求 此商人经营这种货物的件数x与按新价让 利总额y之间的函数关系式.

【解析】设新价为b元，则售价为b(1-20%)元. 因为原价为a元，所以进价为a(1-25%)元. 依题意得b(1-20%)-a(1-25%) =b(1-20%) 25%, 5 a 化简得b= a,故y=20%bx= x( x N* ). 4 4

本题关键是要理清原价、进价、 新价之间的关系，为此，引进了参 数b,建立新价与原价的关系，从 而找出了y与x的函数关系.

【变式练习1】 电信局为了配合客户的不同需要，设有方 案A、B两种优惠方案，这两种方案的应付 电话费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的关 系 如 图 所 示 ， 折 线 PMN 为 方 案 A , 折 线 CDE为方案B,MN∥DE.

(1)若通话时间为x=2小时，按方案 A、B各付话费多少元？ (2)方案B从500分钟以后，每分钟收 费多少元？ (3)当方案B比方案A优惠时，求x的 取值范围.

【解析】1 方案A:M 60,98 ,N 500, 230 . 98(0 x 60) 得f A x = 3 . 10 x 80( x 60) 方案B:由MN / / DE, 168(0 500) 得f B x = 3 . 10 x 18( x 500) 3 当x=120时，f A 120 = 120+80=116, 10 f B 120 =168.

2 因为f B (n+1)-f B n 3 3 = (n+1)+18- n-18=0.3, 10 10 所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元. 880 168) 3 由图可知，MN 与CD的交点为( , , 3 880 所以，当0 x 时，f A f B; 3 880 当x 时，f A f B . 3 880 故所求x的取值范围是( ,+ ). 3

二次函数模型【例2】 某型号的电视机每台降价x成(1成为10%),售出 的数量就增加mx成，m∈R+. (1)若某商场现定价为每台a元，售出量是b台， 试建立降价后的营业额y与x的函数关系.问当m =5/4时，营业额增加1.25%,每台降价多少元？ (2)为使营业额增加，当x=x0(0<x0<10)时，求m 应满足的条件.

x 【解析】1 每台降价x成后的价格为a (1- ) 10 mx 元，降价后售出b(1+ )台， 10 x mx 则y=a (1- ) b(1+ ) 10 10 m 2 m 1 =ab(- x+ x+1). 100 10 5 x2 x 当m= 时，y=ab(- + +1). 4 80 40 因为营业额增加1.25%, x2 x 所以1.25%ab=- + +1, 80 40

即x 2-2 x+1=0,得x=1, 即每台降价1成 10% .

2 为使营业额ab增加，m 2 m 1 当x=x0时，y=ab(- x0 x0 1). 100 10 m 1 m 2 依题意得y-ab 0,即 x0- x0 0, 10 100 10 解得m 0 x0 10 , 10 x0 这就是m应满足的条件.

本题的关键是弄清关系式：销 售额=销售量×价格，建立降价前 与降价后销售额的等量关

系，找出 未知的等量关系是解决函数应用题 的基本思路和规律.

【变式练习2】 某工厂生产某种产品，已知该产品的月 产量x(吨)与每吨产品的价格P(吨/元)之 间的函数关系为P=24200-1/5x2,且生 产x吨的成本为R=50000+200x元，问 该厂每月生产多少吨产品才能使利润达 到最大？最大利润是多少？

【解析】设生产x吨产品，利润为y元， 1 2 则y=Px-R=(24200- x ) x-(50000+200 x ) 5 1 3 =- x +24000 x-50000. 5 3 2 令y =- x +24000=0,得x=200. 5 所以当每月生产200吨产品时，利润达到最大， 最大利润是315万元.

分段函数模型【例3】2010年上海世博会组委会为保证游客参观 的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开 园区的人数作了一个模拟预测.为了方便起见， 以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一 个计算人数的时间，即n=1;9点20分作为第二个 计算人数的时间，即n=2;依此类推，…,把一 天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.

对第n个时刻进入园区的人数f n 和时间n (n N )满足以下关系：*

3600(1 n 24) n 24 3600 3 12 (25 x 36) * f n = ,n N 300n 21600(37 n 72) 0(73 n 90)

对第n个时刻离开园区的人数g n 和时间n (n N* )满足以下关系： 0(1 n 24) * g n = 500n 12000(25 n 72),n N . 5000(73 n 90) 1 试计算在当天下午3点整(即15点整)时， 世博园区内共有多少游客？12 3=1.096) (

2 请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻.

【解析】1 当0 n 24且n N*时，f n =3600, 当25 n 36且n N*时，f n =3600 3 [ f 25 +f 26 + +f 36 ] =3600 24+3600 [12 n 24 12

所以S36=[ f 1 +f 2 +f 3 + +f 24 ]+ + 3 3 1 12 12 12

3 1 =86400+82199=168599;

]

另一方面，已经离开的游客总人数是： T12=g 25 +g 26 + +g 36 = 12 11 12 500+ 500=39000; 2

所以S=S36-T12=168599-39000=129599(人) 故当天下午3点整(即15点整)时，世博园区内共 有129599位游客. (2)当f(n)-g(n)≥0时园内游客人数递增；当f(n) -g(n)<0时园内游客人数递减. (ⅰ)当1≤n≤24时，园区人数越来越多，人数不 是最多的时间； (ⅱ)当25≤n≤36时，令500n-12000≤3600,得出 n≤31, 即当25≤n≤31时，进入园区人数多于离开人数， 总人数越来越多；

当32 n 36时， 3 3600 越多； (ⅲ)当37 n 72时，

n 24 12

500n-12000,

进入园区人数多于离开人数，总人数越来

令-300n+21

600=500n-12000时，n=42, 即在下午4点整时，园区人数达到最多. 此后离开人数越来越多，故园区内人数最 多的时间是下午4点整.

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