山东交通学院线代作业纸及答案

线性代数标准作业纸答案

第一章 行列式

一、填空

1. 按自然数从小到大为标准次序，则排列3421的逆序数为 5 ，32514的逆序数 为 5 .

2.四阶行列式中含有因子a11a23的项?a11a23a32a44，a11a23a34a42. 3.按定义，四阶行列式有4!项，其中有12项带正号，有12项带负号.

2x1?1 4.在函数f(x)??x?xx中，x3的系数是?2. 12x111 5. abc?(b?a)(c?a)(c?b).

a2b2c23?11 6.设D??2?31，Aij为元素aij的代数余子式(i,j?1,2,3)，0122A13?A23?4A33?37. 二、选择

a100b11. 四阶行列式

0a2b200ba的值等于（ D ）

330b400a4（A） a1a2a3a4?b1b2b3b4 （B） a1a2a3a4?b1b2b3b4

（C） (a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4) （D） (a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)

x1122.设f(x)?1x1?1332x1，则x的系数为 （ C ）

112x1第 1 页

则线性代数标准作业纸答案

（A）2 （B）1 （C）?1 （D）?2 3.在五阶行列式det(aij)中，下列各项中不是det(aij)的项为 （ A ） （A）a31a43a21a52a55 （B）?a31a23a45a12a54 （C）a12a23a34a45a51 （D）a41a14a25a52a33

1?11x?11?1x?1?14.行列式的值为 （ D ）

1x?11?1x?1?11?1（A）0 （B）(x?1)(x?1) （C）x （D）x

2224三、计算

2141

23?121r2?r151. ?????1232150625

1020463612?0（因有两行相同） 22?111c1?b?????abcdef1?11 c2?c11?1c3?e?ab2.bdac?cdcfbf?bcer1?ade ?????adfb?ce?efr2?dbc?er3?fae ?111r2?r1?????abcdef002?4abcdef r3?r1020 a10?1b13.

0?1c00?100r1?ar2 ?????1d 01?aba?1b10?1c00?101?aba0c10c1 ??????110?1dd 第 2 页

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c????3?dc?21?abaadr?1c1?cd?????31?abad?11?(1?ab)(1?cd)?ad 0?10?cd 四、证明

a2abb21.2aa?b2b?(a?b)3

111a2abb2c?ca2?b2ab?b2b2c证 2aa?b2b?????131?2c2(a?b)2ab?b2?c2(a?b)a?b2b?????0a?b111c23001 00 ?(a?b)3

a2(a?1)2(a?2)2(a?3)2b22.

(b?1)2(b?2)2(b?3)2c2(c?1)2(c?2)2(c?3)2?0

d2(d?1)2(d?2)2(d?3)2a2(a?1)2(a?2)2(a?3)2a22a?12a?32a?5b2(b?1)2(b?2)2(b?3)2c2证

4?c3b2b?12b?32b?5c2(c?1)2(c?2)2(c?3)2??????c23?c2c2c?12c?32c?5

d2(d?1)2(d?2)2(d?3)2c22?c1d2d?12d?32d?5 a22a?122c4?c3b2?????2b?122c?c232c2c?122?0（因有两列相同）

d22d?122

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b22b1 线性代数标准作业纸答案

x03.?0a0?1x?0a10?00?x00??anxn?an?1xn?1???a1x?a0 ?1an?1??0a2??an?1?1x证： 递推法，按第一列展开，建立递推公式

Dn?1?xDn?(?1)n?2a0?10???x?1?xDn?(?1)2n?2a0?xDn?a0

又 D1?an，于是

Dn?1?xDn?a0?x(xDn?1?a1)?a0?x2Dn?1?a1x?a0

?? ?xD1?an?1x ?anx?an?1xnnn?1???a1x?a0 ???a1x?a0.

n?1五、计算

xa?aax?a1.Dn?

???aa?xxa?aax?ar1?r2???rn[x?(n?1)a]解Dn?????????r1?[x?(n?1)a]aa?x 11?1ax?a

???aa?x1ci?ac1?????[x?(n?1)a]i?2,?,n 1?x?a?1?(x?a)n?1[x?(n?1)a].

x?a第 4 页

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anan?12.Dn?1?(a?1)n?a?11?(a?n)n?，提示：利用范德蒙德行列式的结果

(a?1)n?1?(a?n)n?1??a?n1?a1解 ：将行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将行列式左右翻转，由于上下翻转与左右翻转交换次数相等，故行列式于上下翻转再左右翻转其值不变.于是，利用范德蒙德行列式的结果，可得

Dn?11a?n??(a?n)nan?1?1a?n?1?a??(i?j). 1?j?i?n?1??(a?n?1)n?anbn?a1c1b1d1?dnbndn0D2(n?1)0，其中未写出的元素都是0

3.D2n??cnr2?r2nan解： D2n?????cnc2?c2n 即有递推公式

?(andn?bncn)D2(n?1)

D2n?(andn?bncn)D2(n?1)

又D2?a1c1b1d1?a1d1?b1c1，利用这些结果递推得

nD2n?(andn?bncn)?(a1d1?b1c1)??(akdk?bkck).

k?1

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