电磁学习题及解答

电磁学部分习题解答

一、判断题

1、磨擦起电只能发生在绝缘体上（ × ） 2、试探电荷的电量

q0应尽可能小，其体积应尽可能小

（ √ ）

PQ3、一对量值相等的正负点电荷总可以看作是电偶极（ × ） 4、电场线如图所示，P点电势比Q点电势低 （ √ ）

5、如果库仑定律公式分母中r的指数不是2，而是其它数，则高斯定理不成立（ √ ） 6、电荷沿等势面移动时，电场力永远不作功（ √ ） 7、由公式E??知，导体表面任一点的场强正比于导体表面?0处的面电荷密度，因此该点场强仅由该点附近的导体上的面上的面电荷产生的。（ × ）

8、一导体处静电场中，静电平衡后导体上的感应电荷分布如图，根据电场线的性质，必有一部分电场线从导体上的正电荷发出，并终止在导体的负电荷上。（ × ）

9、一封闭的带电金属盒中，内表面有许多针尖，如图所示，根据静电平衡时电荷面密度按曲率分布的规律，针尖附近的场强一定很大。（ × ）

10、孤立带电导体圆盘上的电荷应均匀分布在圆盘的两个圆面上。（ √ ） 11、通过某一截面上的电流密度j?0,通过该截面的电流强度必为零 （ √）

12、如果电流是由几种载流子的定向运动形成的，则每一种载流子的定向运动对电流都有贡献(√ ) 13、若导体内部有电流，则导体内部电荷体密度一定不等于零( × ) 14、在全电路中，电流的方向总是沿着电势降落的方向( × )

?15、设想用一电流元作为检测磁场的工具，若沿某一方向，给定的电流元I0dl放在空间任意一点都

不受力，则该空间不存在磁场(× )

16、对于横截面为正方形的长螺线管，其内部的磁感应强度仍可用?0nI表示( √ ) 17、安培环路定理反映了磁场的有旋性( × )

?18、对于长度为L的载流导线来说，可以直接用安培定理求得空间各点的B( × )

19、若感应电流的方向与楞次定律所确定的方向相反，将违反能量守恒定律( √ ) 20、楞次定律实质上是能量守恒定律的反映( √ ) 22、自感系数L??I,说明通过线圈的电流强度越小，自感系数越大( × )

24、对一定的点，电磁波中的电能密度和磁能密度总相等( √ )

25、一根长直导线载有电流I，I均匀分布在它的横截面上，导线内部单位长度的磁场能量为

?0I2( √ ) 16?26、在真空中，只有当电荷作加速运动时，它才可能发射电磁波(√ )

1

27、当同一电容器内部充满同一种均匀电介质后，介质电容器的电容为真空电容器的

1?r倍( × )

28、在均匀电介质中，如果没有体分布的自由电荷，就一定没有体分布的极化电荷( √) 29、电介质可以带上自由电荷，但导体不能带上极化电荷( √ )

?D30、电位移矢量仅决定于自由电荷( × )

31、通过某一截面上的电流密度j?0,通过该截面的电流强度必为零（ √）

32、如果电流是由几种载流子的定向运动形成的，则每一种载流子的定向运动对电流都有贡献(√) 33、若导体内部有电流，则导体内部电荷体密度一定不等于零( × ) 34、在全电路中，电流的方向总是沿着电势降落的方向( × )

二、单选题

1、将一带电量为Q的金属小球靠近一个不带电的金属导体时，则有( C ) （A）金属导体因静电感应带电，总电量为-Q

（B）金属导体因感应带电，靠近小球的一端带-Q，远端带+Q （C）金属导体两端带等量异号电荷，且电量q

（D）当金属小球与金属导体相接触后再分离，金属导体所带电量大于金属小球所带电量

2、两块无限大平行面上的电荷面密度分别为??，图中所示的三个区域的电场强度大小为（ D ）

??? EⅢ? EⅡ?2?0?02?0??0 EⅢ?（B） EⅠ? EⅡ?　

2?02?0??0 EⅢ?（C） EⅠ? EⅡ?　

?0?0?（D） EⅠ?0 EⅡ? EⅢ?0

?0（A） EⅠ?3、关于场强线有以下几种说法（ C ） （A）电场线是闭合曲线 （B）任意两条电场线可以相交 （C）电场线的疏密程度代表场强的大小 （D）电场线代表点电荷在电场中的运动轨迹

4、两个点电荷q1和q2固定在一条直线上。相距为d，把第三个点电荷相距为d，故使

??????????q3放在q1,q2的延长线上，

与q2q3保持静止，则（ C ）

2q2

（A）q1?2q2 （B）q1??（C）q1??4q2 （D）q1??22q2

5、电偶极矩p?ql的电偶极子位于电量为Q的点电荷的电场中，点电荷Q到偶极子中心O的距离为r（r>>l）当P与r平行时，偶极子所受的力和力矩为（ A ）

2

?QP（A）? ， 0 （B） 0 ， 0

2??0r3???QPQPQP（C） ， (D） ，0 3324??0r4??0r4??0r6、一点电荷q位于边长为d的立方体的顶角上，通过与q相连的三个平面的电通量是（ D ）

qq （B） 4?08?0q（C） （D）0

10?0（A）

7、设匀强电场的方向与半径为R的半球面的轴线平行，通过此半球面的电通量 （ A ）

222?RE ?RE（A） （B）

12?RE2（C）2?RE （D）2

z?E0y8、一绝缘的不带电的导体球，被一封闭曲面S所包围，如图如示，一电量为q位于封闭曲面外的正点电荷向导体球移近，在移近过程中（ D ）

（A）当q到达a点场强逐渐减小，b点场强逐渐增大 （B）当q移过a点后，a点场强逐渐增大，b点场强逐渐减小

xq?0 q?0

（D）q在S面内时，通过封闭曲面S的电通量为

（C）q在S面外时，通过封闭曲面S’的电通量为（E）q在S面上时，通过封闭曲面S的电通量为0 9、关于导体有以下几种说法：（B） （A）接地的导体都不带电。

（B）接地的导体可带正电，也可带负电。 （C）一导体的电势零，则该导体不带电。

sq+a导体b（D）任何导体，只要它所带的电量不变，则其电势也是不变的。

10、一面积为S的很大金属平板A带有正电荷，电量为Q，把另一面积亦为S的不带电金属平板平行放在A板附近，若将A板接地，则A、B两板表面上的电荷面密度是：（A）

?1??2??3??4?0

QQ????2，?3?????42S2S（B）

Q?1??4?0，?2????3S（C） Q?1??2?0，?3????4S（D）

（A）

ABQ1Q211、两个平行放置的带电大金属板A和B，四个表面电荷面密度为

?1、?2、?3、?4如图所示，则有(A)

（A）

?1??4，?2???3

3

?1?2?3?4（B）（C）（D）

?1??4，?2??3 ?1???4，?2???3 ?1???4，?2??3

RRA12、描写材料的导电性能的物理量是(A ) （A）电导率? （B）电阻R （C）电流强度I （D）电压U

A13、在如图所示的测量电路中，准确测量的条件是( C ) （A）RA?R （B）RA>>R （C）RA<

?r14、把一电流元依次放置在无限长的栽流直导线附近的两点A和B，如果A点和B点到导线的距离相等，电流元所受到的磁力大小( C )

（A）一定相等 （B）一定不相等 （C）不一定相等 （D）A、B、C都不正确 15、半径为R的圆电流在其环绕的圆内产生的磁场分布是( C ) （A）均匀的 （B）中心处比边缘处强 （C）边缘处比中心处强 （D）距中心1/2处最强。

16、在均匀磁场中放置两个面积相等而且通有相同电流的线圈，一个是三角形，另一个是矩形，则两者所受到的( A )

（A）磁力相等，最大磁力矩相等 （B）磁力不相等，最大磁力矩相等 （C）磁力相等，最大磁力矩不相等 （D）磁力不相等，最大磁力矩不相等

??I和I设电流IIBB21单独产生的磁场为1,电流2单独产生的磁场为2,17、两个载流回路，电流分别为1下列各式中正确的是( D)

??（A）

（C）

C2C1??B1?dl??0?I1?I2???????B1?B2?dl??0?I1?I2? （B）

D）

????C1B2?dl??0I2C1????C2???B1?B2?dl??0?I1?I2?

?I1I2

C218、一导体棒AB在均匀磁场中绕中点O作切割磁感线的转动AB两点间的电势差为( A )：

（A）0 （B）1/2OAωB （C）-1/2ABωB （D）OAωB

19、在一长直螺线管中，放置ab，cd两段导体，一段在直径上，另一段在弦上，如图所示，若螺线管中的电流从零开始，缓慢增加。则a、b、c、d各点电势有如下关系( A )

（A）a点和b点等电势，c点电势高于d点电势 （B）a点和b点等电势，c点电势低于d点电势 （C）a点电势高于b点电势，c点和d点等电势 （D）a点电势低于b点电势，c点和d点等电势

4

acbd20、如图所示，在一圆筒上密绕两个相同的线圈a b和a′b′，a b用细线表示，a′b′用粗线表示，如何连接这两个线圈，才能使这两个线圈组成的系统自感系数为零( C )。

（A）联接a′b′ （B）联接a b′ （C）联接b b ′ （D）联接a′b

2?nV，则半个螺线管的自感系数是（C） 021、一体积为V的长螺线管的自感系数为L=

1122?nV?nV200?nV（A）0 （B）2 （C）4 （D）0

aa'bb'22、一平行板真空电容器，充电到一定电压后与电源切断，把相对介质常数为?r的均匀电介质充满电容器。则下列说法中不正确的是（ D ）：

（A） 介质中的场强为真空中场强的

1?r倍。

（B） 介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的（C） 介质中的场强为原来场强的

1?r倍。

1?r倍。

（D） 介质中的场强等于真空中的场强。

23、如果电容器两极间的电势差保持不变，这个电容器在电介质存在时所储存的自由电荷与没有电介质（即真空）时所储存的电荷相比（A）

(A)增多 （B）减少 （C）相同 （D）不能比较 24、在图中，A是电量中不正确的是（ D ）

q0的点电荷，B是一小块均匀的电介质，s1、s2和s3都是封闭曲面，下列说法

?????E?ds??s1D?ds （A）s3??????D?ds??D?ds??D?ds?s1s2s3（B）

?????E?ds?E?ds?E?ds?f?f?f（C）（D）

s1s2s3S1S2S3a

Aq0bBcEa?Ef，Eb?Ef，Ec?Ef

??????P底面与P垂直，当h?r时，则空腔中心E0和D0与介质中E和D的关系为（ C ）：

25、在均匀极化的电介质中，挖出一半径为r，高度为h的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极化强度

h??D??E0?E??rE?0 （A）0 （B）

????D??ED?D00（C）0（D）0

??P?E2r26、在一无限长螺线管中，充满某种各向同性的均匀线性介质，介质的磁化率为度上绕有N匝导线，导线中通以传导电流I，则螺线管内的磁场为（ C ）

（A）

?m设螺线管单位长

B??0NI

(B)

B?5

1?0NI2

将⑦式代入④式得

R23R1R2?R13Q?1??3??12??R?R18????R?RR0210212

3Q?lnR2lnR1?R2?R13?????3??12??0?R2?R1R2?R1??R2?R1?R2Qln??

当R2?R1时 ?1?? 将⑦式代入⑤式得

?R22R13R13?QQ??2?ln?3?3?3??12??0?R2?R1?r18??0?R2?R1??R2r??

当R2?R1时 ?2??

将⑦式代入⑥式得

3?R2?R1?R12?R22?R1R2QR2?R13Q?3??33R2?R1??12??R?Rr12??r0210

Q22??R?R?R1R2?123 12??0r

6、半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，体电荷密度为?，求场强和电势的分布（以圆柱体的中

????心轴线作为电势的零参考点），并画出E?E(r)和???(r)曲线。

解：由对称性和高斯定理，求得圆柱体内外的场强为

?E?????r2?l??E1?dS?2?r?l?E1??0r

??r?E1?er2?0

?????R2?l??E2?dS?2?r?l?E2??0 r>R ??R2?E2?er2?0r

场强的变化规律如图5-8所示，由电势与场强的 关系求得圆柱体的内外的电势为

ORr图5-8

???0ee20?1??E?dr???rdr??r|rr2?4?00 r

?2?r4?0

Rr图5-9

?2???E2dr??Edr???rRR0Rr0?r?R2?R2R?2dr??dr??ln?RR2?0r2?02?0r4?0

?R2?r???1?2ln?4??0?R?

电势的变化规律如图5-9所示

16

7、 求均匀带电球面产生的电场,已知球面的半径为R,电量为q

解：根据题意可知，均匀带电球面产生的电场具有球对称性，以带电球面的球心为中心，r(r

以r(r>R) 为半径作一球面S2为高斯面,如图所示,同理 得球面外的场强为

??2E?ds?Eds?E?4?r?0??ss1qS2rRrS1

??12E?ds?Eds?E?4?r?q????ss2?0图5-10

qE? 4??0r2

8、两无限长的同轴圆筒,半径分别为R1与R2,均匀带有等量异号电荷,已知两圆筒有的电势差为求场强的分布

解：设圆筒上单位长度的电量为?，根据对称性和高斯定理求得两筒之间的场强为

1?1??2 s

??1?E内?ds?2?rl?E内??l?0?E内?1??re2??0r(R1?r?R2)由电势差定义 得

?1??2???R2R?ln22??0R1R1??R2E内?dl??R11?dr2??0r2??0(?1??2) ??Rln2 R1于是两圆筒之间的场强为

图5-11

R1R2E内?????2?12??0rrlnR2R1?q?q图5-12

而两筒外的场强为

E外?017

9、 电量为q的点电荷绝缘地放在导体球壳的中心，球壳的内半径为R1，外半径为R2，求球壳的电势 解：点电荷位于球壳的中心，球壳内表面将均匀带有总电量-q，球壳外表面均匀带有总电量q，电场的分布具有球对称性，此时可用两种方法求球壳的电势。

1）积分法

2）叠加法

??????E?dr??q4??0rR2dr?214??0qR2??q4??0R1??qqq??4??0R14??0R24??0R210、两导体球，半径分别为R和r，相距甚远，分别带有电量Q和q，今用一细导线连接两球，求达到静电平衡时，两导体球上的电荷面密度之比值。

解：当导体球相距甚远时，每一导体球都可以看作为孤立导体处理。导体球的电势分别为

??

''Qq当用导线连结时，两导体球上的电荷重新分布，电量变为 和 但导线很细，分布在导线上的电

1Q4??0R

1q??4??0r荷忽略不计。这是两导体球的电势相等，即

''Qq ?Rr而

Q'?q'?Q?qQ'?R(Q?q)R?r由此可求得

q'?r(Q?q)R?r图5-13

面电荷密度 所以

?R?Q'q?Q1?4?R24?(R?r)R?r?q'q?Q1?4?r24?(R?r)r?Rr??rR11、 一球形电容器内外薄壳的半径分别为R1和R4，今在两壳之间放一个内外半径分别为R2和R3的同心导体壳，求半径为R1和R4两球面间的电容。

解：因静电感应，各球面带电情况如图所示，导体内部无电场。

???1??4??E?dr?

?R2Q4??0rR1dr??2R4Q4??0r2R3dr?QQ?QR1QR2R3Q?1111????????4??0?R1R2R3R4??图5-14 R418

C?4??0R1R2R3R4Q??1??4R2R3R4?R1R3R4?R1R2R4?R1R2R3图5-14

12、试从电场的能量密度出发计算一均匀带电薄球壳的固有能，设球壳半径为R，带电量为q。 解：带电球壳的场分布在球外，离球心为r处的场强为

E?q4??0r21(r?R)电场的能量密度为

11q22?E??0E?232?2?0r42dV?4?rdr球壳的固有能为 能量分布具有球对称性，取体积元

W???EdV??1q2?8??0R?Rq2?4?r2dr2432??0r113、如图所示，两块厚度都是δ的无限大平行平板均匀带电，电荷体密度分别为??试求电场对每一平板单位面积的作用力，设A板带正电，B板带负电。

解：A板处在B板的电荷所产生的电场中，B板上的电荷在A板处所产生的场是均匀电场，其场强为

?1?1?EB??i???i2?02?0因此，A板每单位面积所受到的力为

???F?dqEB??????SEB??122?12?f???EB???i??i2?02?0? ?? 式中是带电板单位面积所带来的电量。

r1?r2?r3?1?，?3?3V，?2?2V，14、在如图所示的电路中?1?1V，

?

图5-15

?

?的电流；R1?1?，R2?3?，（2）R2消耗的功率。求：（1）通过3

解：1）设各支路电流方向如图所示，由基尔霍夫方程有 对回路I：?I1(r1?R1)?I2r2??2??1

?2I1?I2?1??①

?I2r2?I3(r3?R2)??3??2

对回路II：

I2?4(I1?I2)??1

5I2?4I1??1??②

①式×2+②式得

I1?1r1I3R1I2?2R2?r2???3r37I2?11I2?A7

19

图5-16

由支路方程

I3?I1?I2得

2A??0.29A7

R?2.0?，R1?R2?R4?R5?4R3，R6?3R3，15、在图示电路中，3二个理想电压源的电动势分I3??别为

?1??2?10V，求流过R3的电流。

I1I1?I4解：设各支路电流如图所示，由基尔霍夫方程得 对回路I：

R1I3?I4R3?1??R4R5???R6I3?I4?2?(I3?I1)R2?I3R3?(I3?I4)R5???1 9I3?4I1?4I4?5??① I1R1?I4R4?I3R3??1 4I1?4I4?I3?5??②

对回路Ⅲ：

R2对回路Ⅱ： I3?I1图5-17

?I3?I4?R5?I4R4?(I1?I4)R6??2

4I3?3I1?11I4?5??③

由①式+②式得

10I3?10

I3?1A

16、 一圆柱形的长直导线,截面半径为R,稳恒电流均匀通过导线的截面,电流为I,求导线内和导线外的磁场分布。

?解：假定导线是无限长的，根据对称性，可以判定磁感强度B的大小只与观察点到圆柱体轴线的距离

有关，方向沿圆周的切线，如图5-18所示。在圆柱体内部，以r?R为半径作一圆，圆心位于轴线上圆面与轴线垂直。把安培环路定理用于这圆周，有

?Ir22??C B?dl?B?2?r??0?R2??r??0R2I

?B?

?0rI22?R(a) 图5-18 (b)

在圆柱体外部，以 r?R为半径作一圆，圆心亦位于轴线上，把安培环路定理用于这一圆周有

??

C??B?dl?B?2?r??0IB??0rI22?R20

2?4??10?7?24?102?102?3?10?4?2?103?60?10?2?7 ?4.5?10C

23、真空中，在同一平面内有一条无限长的载流为I1的细直导线和一边长为a载流为I2的正方形线圈，已知直导线与正方形线圈的一边平行且相互最近距离为b，在线圈向左移动到b/2的过程中，若维持I1和I2都不变，求磁力作功A和磁能增量?W。

解：1）建立坐标如图16-1所示，由对称性和环路定理得I1在x处产生的磁感应强度为

B??0I12?x

由安培公式知，线圈在y轴方向上受力为零，在x轴方向上平行直导线的两边受力分别为

??I?F1??01aI2i2?x??0I?F2?aI2i2?(x?a)

线圈所受合力为

yI1?F1aI2?B?F2????0aI1I211?F?F1?F2?(?)i2?x?ax

磁力作功为

xOx??dA?F?dlA??b2b图5-28

?0aI1I22a?bln2?b?a

??0aI1I211(?)dx2?x?ax

2）如图5-29所示，在线圈平面中取面元dS?adx，则通过该面元的磁通量为

?0I1?adx2?x

当线圈距直导线距离为b时，通过整个线圈的磁通量为

a?b?Ia1?Iaa?b01?1??dx?01lnb2?x2?b

d??BdS?由自感系数定义得

yI1a?0aa?blnaI12?b

dx当线圈距直导线距离为时，通过整个线圈的磁通量为

dxx2ba??Ia1?Ia2a?b?2??b201dx?01ln2?x2?b 图5-29 2M1??1?此时的自感系数为

M2??2I1??0a2a?bln2?b

自感系数的变化为

?M?M2?M1?

?0a2a?bln2?a?b

26

I1，I2不变情况下由自感磁能公式W?MI1I2得磁能的变化为

?W??MI1I2??0aI1I22a?bln2?a?b

24、如图所示，电路中直流电源的电动势为12V，电阻R=6Ω，电容器的电容C=0.1uF，试求： (1)接通电源瞬时，电容器两极板间的位移电流；

?6(2)经过t=6?10s时，电容器两极板间的位移电流。

RC解：由图得电路方程 （1）

??uc?iR?qdq?Rcdt

?K图5-30

dq1??q??0R dtRc

dqRc?q??cdt

由初始条件t?0,q?0解微分方程得电容器极板上电量变化规律为

q??（c1?e?1tRc）

由高斯定理知，电容器极板间的电位移矢量为

1?tq?cRcD????（1?e）ss

极板间的位移电流密度为

1t?D??RcjD??e?tRs

所以接通电源瞬时极板间的位移电流为

11?tt??Rc???RcI???jD?ds?e?s?esRsR

?12I???2AR6当t=0，

（2）将已知数据代入上式得

I??Re?1tRc12?6?0.1?10?6?6?10?6??e?2?e?10A6

124、一无限长的同轴电缆由两薄壁空心导体圆筒所组成，内、外圆筒的半径分别为R1和R2，如图21-1所示，设电流沿内筒流出、由外筒流回，大小为（r

解：在距轴线为r'处取圆形线，如图21-2所示，由对称性和环路定理得，只有内、外圆筒间存在磁感强度

I?12At2，A为一正的恒量，试求出到电缆线的距离为r

??B??dl??0I

B?2?r???0R2?0At2B?4?r? 图5-31

27

12At2

R1rP

??EE变化的磁场产生感应电场k，k的方向与轴线平行，在距轴线为r处取矩形线，如图21-3所示，

则有

????B??Ek?dl?????t?dS

?A2tEk?l?0???ldr?4?r?

21IIr'?0AtRdr??0AtlR2?l??lnR2?r?2?R1

图5-32

所以在r?R1范围内的感应电场强度为

Ek??0AtR2ln2?R1

r'dr'L变化的电场产生位移电流，则有

dE?0?0AR2jD??0?lndt2?R1

再以r为半径作圆形线，由环路定理得

???B?dl??0Ilr图5-33

B?2?r??0?

??ARjD?ds??000ln2??r22?R1

所以，r处的磁感强度为： B??0?0?0ArR2ln 4?R125、一中空的长圆柱体（半径为R、长为L且L>>R），在其表面均匀带电，每单位面积所带电量为?，一个外加的力矩使这圆柱体以恒定角加速度β绕其轴线旋转（设圆柱体的初角速度等于零）。（1）求圆柱体内的磁感强度B（将这圆柱体作为螺线管处理）；（2）求圆柱体内表面上的场强E；（3）求圆柱体内表面

d?R2L2B) 上的坡印廷矢量S的大小；（4）证明进入圆柱体内部的S的总通量等于(dt2?0解：（1）圆筒旋转时，设角速度为???t，则单位长充的电流为

I??2?RL?2?R?i?????R?tLTL2? 由对称性和安培环路定理得，筒内的磁感强度为

?B??S?EB??0i??0?R?t??①

?Rl其方向如图所示 （2）由法拉第电磁感应强定律得

???dB??Ek?dl????Sdt?dS EK?2?R??0?R???R2

12所以 Ex??0??R ??②

2其方向如图所示

28

图5-34

?1??（3）对坡印亭矢量公式S?E?B得

?011?0??R2??0??Rt?02 1??0?2?2R3t 2??③

S?其方向如图所示

?（4）进入圆筒长为l一段S的通量为

drI?s?S?2?RL???0?2?2R4tL??④

d?R2L2(B)???0?2R4?2Lt又dt2?0??⑤

比较④、⑤两式得

rRb?aBd?R2L2?s?(B)dt2?0

图5-35

27、一根无限长的直导线，其中通有变化的电流，电流以恒定的速率J0增长，一长为a宽为b的矩形导线框，与直线电流位于同一平面，平行于直导线的两条边到直导线的距离分别为R和R+b。如图5-34所示，试求导线框中的感应电动势。

解：直导线中电流产生的磁场的磁感强度为

因I?I(t)，故B?B(t)。磁场对导线框圈围面积中一宽为dr的狭条的磁通量为 d?m 于是

?0IB?2?r?0Iadr2?r?Badr??aI?m?0 2?

?R?bRdr?0aIR?b?lnr2?b由法拉第电磁感应定律，导线框中的感应电动势为

???d????0alnR?bdI???0aJ0lnR?bdt2?bdt2?R图5-36

?的正方向为逆时针方向。

28、一根很长的同轴电缆，由半径为a和b的两圆筒组成，电流由内圆筒流向负载，经外圆筒返回电源，求长度为l的一段电缆的自感系数。

解：设圆筒中的电流为I，则两圆筒间的磁场的磁感强度为

B??0I2?r?m?12B2?029

磁场的能量密度

长为l的一段电缆内的磁场能量为 于是 L?1I2Wm???mdV??0224???ba1?2?rldr2r?02bdr?0l2a?IlnlI?a4?b4?r?12LI2?0laln2?b29、一半径为a的导体球被内半径为b的同心导体球壳所包围，两球间充满各向同性的电介质，在离球心为r处介质的相对介电常数?r??A?r?r（A为常数）。如果内球带电荷Q，外球壳接地，试求：

（1）在电介质中离球心为r处的电势；

（2）介质表面上的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度； （3）介质中极化电荷的总量。

?S解：（1）根据对称性，以球心为心，r为半径在介质内作球面（高斯面），由D的高斯定理得

??2?D?dS?D?4?r?QS

所以

Q4?r2DE??D?

bQ?4??0?rr24??0?A?r?rQdr4??0?A?r?rQQ

a?r?0?rb因球壳的电势为零，故有

?r?? ? ? ?r??bE?dr??r图5-37

4??0A?rQQ4??0AQb1??1???dr?rA?r?b?A??bln?ln??4??0A?rr?A?lnb?r?A??b?A?r

?a?QA??1??A?a????4?a2?A?a???

(2)半径为a球面上的极化强度为

QQQPa?Da??0Ea???24??0?A?a?a4?a24?a该表面上极化电荷面密度为 ?Pa??P??QA4?a2?A?a?

半径为b的球面上的极化强度为

30

Pb?Db??0Eb?QQQ?b?QA??1????4?b24??A?b?b4?b2?A?b?4?b2?A?b?

该表面上极化电荷面密度为

?Pb?P?QA4?b2?A?b?

半径为r球面上的极化强度为

Pr?Dr??0Er?QQQA1??4?r24??A?r?r4??A?r?r2

介质内极化电荷体密度为

?r'????P

??1?2?1?1?1??2QA1????2?rPr??Pr?sin?P????????22???r?rrsin???rsin???r?r4?A?rr??????QA ?24?r2?A?r?'r?

(3)介质中极化电荷总量包括介质表面上的极化电荷和介质中极化电荷，即

QP??Pa?4?a2??Pb?4?b2???'r?4?r2drab

bQAQAQA222???4?a??4?b???4?rdr222?2a????4?aA?a4?aA?b??4?rA?r

30、一空心的电介质球，其内半径为R1，外半径为R2，所带的总电荷量为Q，这些电荷均匀分布于R1和R2之间的电介质球壳内。求空间各处的电场强度。介质的相对介电常数为?r.

解：由对称性和高斯定理得 当r>R1时 E=0

当R1?R?R2时

QR1R2?r??2?D?dS?D?4?r

?Q43?(R2?R13)3Q(r3?R13) D?334?(R2?R1)D4?(r3?R13) 3图5-38

所以

Qr3?R13QE???33?0?r4??0?rR2?R13r24??0?rR2?R13???????R13???r?r2????

当r?R2时

D?Q4?r2

E?所以

Q4??0r2

31

Pb?Db??0Eb?QQQ?b?QA??1????4?b24??A?b?b4?b2?A?b?4?b2?A?b?

该表面上极化电荷面密度为

?Pb?P?QA4?b2?A?b?

半径为r球面上的极化强度为

Pr?Dr??0Er?QQQA1??4?r24??A?r?r4??A?r?r2

介质内极化电荷体密度为

?r'????P

??1?2?1?1?1??2QA1????2?rPr??Pr?sin?P????????22???r?rrsin???rsin???r?r4?A?rr??????QA ?24?r2?A?r?'r?

(3)介质中极化电荷总量包括介质表面上的极化电荷和介质中极化电荷，即

QP??Pa?4?a2??Pb?4?b2???'r?4?r2drab

bQAQAQA222???4?a??4?b???4?rdr222?2a????4?aA?a4?aA?b??4?rA?r

30、一空心的电介质球，其内半径为R1，外半径为R2，所带的总电荷量为Q，这些电荷均匀分布于R1和R2之间的电介质球壳内。求空间各处的电场强度。介质的相对介电常数为?r.

解：由对称性和高斯定理得 当r>R1时 E=0

当R1?R?R2时

QR1R2?r??2?D?dS?D?4?r

?Q43?(R2?R13)3Q(r3?R13) D?334?(R2?R1)D4?(r3?R13) 3图5-38

所以

Qr3?R13QE???33?0?r4??0?rR2?R13r24??0?rR2?R13???????R13???r?r2????

当r?R2时

D?Q4?r2

E?所以

Q4??0r2

31

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3735.html