2015年高考试题（新课标卷） - 理科数学（解析版）

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试题类型：A

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

(1)设复数z满足

1?z=i，则|z|=( ) 1?z（A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】A

（2）sin20cos10?cos160sin10 =( )

（A）?【答案】D

oooo1133 （B） （C）? （D）

2222 1

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（3）设命题p：?n?N,n2?2n，则?p为( )

（A）?n?N,n2?2n （B）?n?N,n2?2n （C）?n?N,n2?2n （D）?n?N,n2=2n 【答案】C

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

（A）0.648 【答案】A

（B）0.432

（C）0.36

（D）0.312

??????????x22?y?1上的一点，F1,F2是C上的两个焦点，若MF1?MF2?0，（5）已知M（x0,y0）是双曲线C：2则y0的取值范围是( ) （A）（-

33，） 33 （B）（-

33，） 66（C）（?【答案】A

22222323，） （D）（?，） 33332??????????x02?y0?1，所以MF1?MF2= (?3?x0,?y0)?(3?x0,?y0) 【解析】由题知F1(?3,0),F2(3,0)，2222=x0?y0?3?3y0?1?0，解得?33，故选A. ?y0?33【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

??????????【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将MF1?MF2表示为关于点M坐标的函数，利用点M在

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??????????双曲线上，消去x0，根据题意化为关于y0的不等式，即可解出y0的范围，是基础题，将MF1?MF2表示为y0的函数是解本题的关键.

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 【答案】B

????????D（7）设为?ABC所在平面内一点BC?3CD，则（ ）

?????4????????1????4????1???（A）AD??AB?AC (B)AD?AB?AC

3333??????????????????4????1????4????1（C）AD?AB?AC (D)AD?AB?AC

3333【答案】A

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(8)函数f(x)=cos(?x??)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )

(A)(k??(C)(k?1313,k??),k?Z (B)(2k??,2k??),k?Z 44441313,k?),k?Z (D)(2k?,2k?),k?Z 4444

【答案】D

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=( )

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 【答案】C

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【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=执行第2次，S=S-m=0.25,m?1m=0.5,S=S-m=0.5,m?=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环， 22m=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环， 2执行第3次，S=S-m=0.125,m?m=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环， 2m=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环， 2执行第4次，S=S-m=0.0625,m?执行第5次，S=S-m=0.03125,m?m=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环， 2m=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环， 2m=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C. 2执行第6次，S=S-m=0.015625,m?执行第7次，S=S-m=0.0078125,m?【考点定位】本题注意考查程序框图

【名师点睛】本题是已知程序框图计算输出结果问题，对此类问题，按程序框图逐次计算，直到输出时，即可计算出输出结果，是常规题，程序框图还可考查已知输入、输出，不全框图或考查程序框图的意义，处理方法与此题相同.

（10）(x?x?y)的展开式中，xy的系数为( )

（A）10 （B）20 （C）30 （D）60

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（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20?，则r=（ ）

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（A）1 （B）2 （C）4 （D）8 【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为

1?4?r2??r?2r??r2?2r?2r=5?r2?4r2=16 + 20?，解得r=2，故选B. 2【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.

12.设函数f(x)=ex(2x?1)?ax?a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)是（ ） (A)[-0，则a的取值范围

333333，1） (B)[-，） (C)[，） (D)[，1）

2e2e42e42e【答案】D

【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点

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在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论，本题用的就是思路2.

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题～第（24）题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数f(x)=xln(x?a?x2)为偶函数，则a= 【答案】1

x2y2??1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程（14）一个圆经过椭圆

164为 . 【答案】(x?)?y?322225 4?x?1?0y?（15）若x,y满足约束条件?x?y?0，则的最大值为 .

x?x?y?4?0?【答案】3

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，

y是可行域内一点与原点连线的斜率，由图x可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故

y的最大值为3. x 7

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【考点定位】线性规划解法

【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.

（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 . 【答案】（6?2，6+2）

【考点定位】正余弦定理；数形结合思想

【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC长定，平移AD，当AD重合时，AB最长，当CD重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB的长，即可求出AB的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

2 Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，an?an=4Sn?3.

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

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（Ⅱ）设bn?1 ,求数列{bn}的前n项和. anan?111? 64n?6【答案】（Ⅰ）2n?1（Ⅱ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{an}的递推公式，可以判断数列{an}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{bn}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.

【考点定位】数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 【名师点睛】已知数列前n项和与第n项关系，求数列通项公式，常用an???S1,n?1将所给条件化

?Sn?Sn?1,n?2为关于前n项和的递推关系或是关于第n项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.

18.如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

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【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

3 3试题分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平

????????????面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间

直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=3. 由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC， 又∵AE⊥EC，∴EG=3，EG⊥AC， 在Rt△EBG中，可得BE=2，故DF=2. 2在Rt△FDG中，可得FG=

6. 2232可得EF=， 22在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=∴EG?FG?EF，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

222∵EG?面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分

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